高等数学第五章定积分试题及答案.pdf

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1、第五章第五章 一元函数定积分一元函数定积分1、定积分的定义：证证因为 f(x)f(x)f(x)，由推论 1 得af(x)dx af(x)dx af(x)dx，结论成立.nbaf(x)dx J limf(i)xia0i 1ba0i1nbbb性质性质 5 5(基本估值不等式基本估值不等式)设 M、m 分别为函数在区间a,b上的最大值和最小值，则m(ba)af(x)dx M(ba)性质性质 6 6(积分中值定理积分中值定理)如果函数f(x)在区间a,b上连续，则在区间a,bb上至少存在一点，使得af(x)dx f()(ba)所谓函数f(x)在a,b上可积是指极限af(x)dx limf(i)xi存在

2、,而极限存在就必唯一，且由定义还可看出,这个极限的存在与对区间a,b的划分和点i的取法均无关。b因此定积分af(x)dx表示的是一个实数，它的存在是由被积函数f(x)和积b分区间a,b确定的（如曲边梯形问题），与积分变量用那个字母来表示没有关系，即af(x)dx af(t)dt af(u)du b2、定积分的几何意义：当 f(x)0 且 a 0,f/(x)0,f/(x)0,f/(x)0201sin2xdx20解：1sin2xdx5420sinxcosx2dx2420sinxcosxdxC f/(x)0,f/(x)0,f/(x)02.设 f(x)在(-,)内可导，则A 当 f/(x)为单调函数时

3、，f(x)一定为单调函数。B 当 f(x)为单调函数时，f/(x)一定为单调函数C 当 f/(x)为偶函数时，f(x)一定为奇函数D 当 f(x)为奇函数时，f/(x)一定为偶函数3.设f(x)是奇函数，除x 0外，处处连续，x 0是其第一类间断点，则x4cosxsinxdxsinxcosxdx 5cosx sin xdx 4 2042e,x 03.f(x)求1f(x 1)dx解：设解：设t x 1221 x,x 021013712xf(x 1)dx f t dt 1 x dx edx 121212024ex三、原函数和导数的奇偶性。三、原函数和导数的奇偶性。1.1.f(x)是奇函数，是奇函数

4、，f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)是奇函数。是奇函数。2.2.f(x)是连续的奇函数，则是连续的奇函数，则f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)是连续的偶函数，则是连续的偶函数，则ftdt是（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数0（C）在 x=0 间断的奇函数（D）在 x=0 间断的偶函数4.设 函 数fx是 在(-,+)内 连 续 的 单 调 增 加 的 奇 函 数，F(x)=f(x)是奇函数与常数之和。是奇函数与常数之和。3.3.因为因为x0(2t x)f(x-t)dt,则Fx是：x0f(t)dt表示表示f(x)的一个连续的原函数。所以的一个连续的原函数。所以f

5、(x)是奇函数，则是奇函数，则xA 单调增加的非奇非偶函数B 单调减少的非奇非偶函数C 单调增加的奇函数D 单调减少的奇函数x0f(t)dt是偶函数，是偶函数，f(x)是偶函数，是偶函数，f(t)dt是奇函数。是奇函数。0设设f(x)在 a,a上连续，则2t xfx tdt，设xt uFxxfudu 2ufudu xfudu 0 xxx000解：Fxxx02ufudu3fudu是偶函数，xfudu奇函数因为xfx是偶函数，2ufudu是奇函数，所以Fx是奇函数。Fxfudu xfx2xfxfudu xfx fx xfx因为fx是奇函数，00 x0 xxxx也是以 T 为周期的Ax0f(t)dt

6、B00 xf(t)dt0 x因为0 x f fx，因为fx是单调增加的函数，所以Fx 0，所以Fx是单调减少的函数00四、原函数和导函数的周期性四、原函数和导函数的周期性1.1.f(x)是以是以 T T 为周期的可导函数，为周期的可导函数，f(x)在定义域也是以在定义域也是以 T T 为周期的函数为周期的函数证明：因为f(x)是周期函数，设其周期是T，则对一切x恒有解：A Af(t)dt Bf(t)dtf(t)dtCx0f(t)dt0 xxxTf(t)dtDx0 xx0f(t)dtf(t)dtT0000f(t)dtf(t)dt ftdtx0 xT0 xf(t)dt Tf(t)dtf(t)dtf

7、tdtxxT0f(t)dt f(t)dtxT003.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则在下列函数中以T 为周期的函数是：A解：x0 x0f(t)dtBx0 xf2(t)dtCx0 f(t)2dtD2x0f(t)f(t)dtfx T fx，因为f(x)可导，有：f x Tx T f x，即f(t)f(t)dtf(t)dft01f2x12f202f x T f x，所以f(x)也一定是周期函数。也一定是周期函数。2.2.f(x)是连续周期函数，则原函数是连续周期函数，则原函数f(x)必为周期函数和线性代数之和。必为周期函数和线性代数之和。3.3.f(x)是可积的以是可积的以 T T 为周期

8、的函数，为周期的函数，则原函数则原函数函数的充要条件是函数的充要条件是4.已知F(x)解：Fxx2xesintsintdt，证明F(x)恒大于零。20esintsintdte02sintdcost0 x0costesintdtx0f(t)dt也是以也是以 T T 为周期的为周期的20c o2stes i t n 0T0f(x)dx 0 xxT5.设f(x)以 T 为周期的连续函数，证明：0f(t)dt可以表示成一个以 T 为x0f(t)dt xT0f(t)dtf(t)dt 0 xftdt f(t)dt ftdt00 xT周期的连续函数与 Kx 之和，并求出常数 K。解：例题 1.设fx以T为周

9、期，a为任意常数，证明：解：aTafxdx fxdx0Tx0f(t)dt x Kx，证明存在 K，使x为连续的周期函数即可。x0aTafxdx fxdx fxdx 0TaT设x t T，aaTTfxdx ft Tdt ftdt000aTfxdx，axf(t)dt Kx x TxxT0ftdt KxTftdtKx0 xxTxftdtKtftdtKT00TaTafxdx fxdx，周期函数在任意一个周期区间上的积分值相等。0T若使x是以 T 为周期的函数，只要K x1Tftdt，即证明上述结论0T方法 2：aaTafxdx a fa T fa 0若要使所以a是常数，与 a 无关，所以a0，所以原式

10、成立。2.设函数 f（x）是在（,）上以T 为周期的连续函数，则下列函数中0f(t)dt为周期函数，则必须 K=0，即fxdx 00T所以可得结论，x0f(t)dt是以 T 为周期的函数的充要条件是f(x)dx 00T4五、奇偶函数在对称区间上的积分。五、奇偶函数在对称区间上的积分。(1)若f(x)为偶函数，则有aaaf(x)dx 20f(x)dx；(2)若f(x)为奇函数，则有aaf(x)dx=0.例题 1.积分222(x 1)4x x dx解：原式2 x2dx 22x 4x24 x x2dx 2204x x2dx 2y 4x x2x22 y2 4，积分等于半圆面积。2.2-2(x3cosx

11、212)4-x2dx 解：23x-2x cos24-x2dx 21-224-x2dx 0 221024 x2dx 3.设 M4tanx8-(1 x4 x)dx,N 4-sin8x ln(x x21)dx44P4x-x4-(tan x e cosx-e cosx)dx则4AP NMBNPMCNMPDPMNtanxtanx解：M 4-(8444 x)dx 41 x-dx 41 x4-x8dx 240 x8dx4N 4-sin8x ln(xx21)dx 4sin8xdx 240sin8xdx4-4设fx lnx 1 x2，f x ln x 1 x2，fx f x ln1 x2 x2 0，所以fx是奇

12、函数。P 44-tan xdx 240tan4xdx4因为0,4sin x x tan x 1，所以sin8xx8tan8xtan4x4.设 f(x)为偶函数，且x-f(x)dx 1,令 F(x)=-f(t)dt，则 F(-a)=AF(-a)=12-a0f(x)dxBF(-a)=1-a0f(x)dxCF(-a)=F(a)DF(-a)=2F(a)-1解：因为 f(x)为偶函数，且1-f(x)dx 1,0fxdx 2Faaftdttuafuduafudu0f1audu 0fudu 2a0fuduFaa0aftdt ftdt ftdt1a020ftdt5.设连续函数fx满足fx lnx e1f(x)

13、dx，求e1f(x)dx解：令e1f(x)dxA，则 f（x）lnxA，两边从 1 到 e 进行积分，得eee1f(x)dx 1lnxdxiAdx（xlnxx）e1A（e1）于是 Ae（e1）A（e1），eA1，A1e，则e1f(x)dx1e6.fx在,连续，f(x)x1 cos2xf(x)sin xdx,求 f（x）。解：设l xf(x)sin xdx，所以f(x)1 cos2xl两边同时积分：f(x)sin xdx xsin x1 cos2xdx lsin xdxl xsin x1 cos2xdx lsin xdx xsin x1 cos2xdx 0根据公式：0 xfsin xdx 20f

14、sin xdxl xsin x1 cos2xdx 2xsin x01 cos2xdx 2sin x201 cos2xdx2 101 cos2xd cosx arctancosx0 2f(x)xx21 cos2xl 1 cos2x27.设f(x)，g(x)在 a,a上连续，g(x)为偶函数，f(x)+f(x)=A5（A 为常数）（1）求证：a)g(x)dx Aaaf(x0g(x)dx（2）计算2xsin x arctane dx2解：（1）aaf(x)g(x)dx 0fxgxdx aa0fxgxdx0fxgxdxxt0ftgtdtaaa0ftgtdtaf(x)g(x)dx afxgxdx af

15、xgxdx Aaa000gxdxxxx（2 2）(arctanex)e1 e2x，(arctanex)ee1e2x1 e2x(arctanex)(arctanex)0，arctanex arctanex A当当x 0时，时，arctan1 arctan12，所以，所以A 222sin x arctanexdx sin xdx 220220sin xdx 2六、积分上限的函数六、积分上限的函数定理定理 1 1：若函数f(x)在a,b上连续，则积分上限的函数(x)xaf(t)dt在a,b上可微，且(x)dxdxaf(t)dt f(x)，xa,b.积分上限的函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也

16、是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视，这里我们将积分上限的函数求导拓宽一下。这里我们将积分上限的函数求导拓宽一下。（1）若(x)可导，则(x)与积分上限函数(x)构成了复合函数(x)af(t)dt，由复合函数求导法则知dxd(x)af(t)dt f(x)(x)（2）若Fx2xxftdt，1x,2x可导，fx连续，则1Fx f2x2x f1x1x定理定理 2 2：如果函数f(x)在a,b上连续，则积分上限的函数(x)xaf(t)dt就是就是f(x)在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。定理定理 3 3：若f(x)在a,b可积，则xaf(t)dt在a

17、,b连续。定理定理 4 4：注意奇偶函数或周期函数f(x)的变限积分xaf(t)dt的奇偶性与周期性问题。1.设方程12yetdt sinx0cost2dt 0确定 y 是 x 的函数，则dydx解：原式=sin xy2220cost2dt 1etdt 0 cossin xcosx ey y 0dycosxsinx2cosxdxey212.y=1sint(1 eu)du,其中 t=t(x)由x cos2(0v0，且f/(x)连 续，又xF(x)0tf(t)dtx,x 0（(0)（2）证明在0,f(x-t)dt1）求F内F(x)0.00,x 0 x解：FFx F0tftdt(0)xlim0 x

18、0 xlim00 xx0fx tdt设xt u，xx0fx tdt x0fudu xxx0fudu6xF(0)limx0 xfxfxxf x1 lim limfx fxxf x2xfuduxfxftdt0 x0 x0 xx00tftdt1a2x2a1a21a(a2x2)22ee1ed a x0002227.设fx在0,上可导，f0 0，反函数为gx，且axe(a2x2)dx当x 0时，F(x)x Fxfudu0 x0 xtftdtxfxftdt tftdt fx00 xxftdt0 x2fx0fxgtdt x2ex求fx。解：已知gfx xgtdt x2ex gfxf x 2xex x2ex因

19、为0 t x，xftdt tftdt 0，又因为fx 0所以F(x)000 x04.设 f（x）有连续导数且limx0 xf(x)a 0，F（x）(x2t)f(t)dt，0 xxxxxxf x 2e xe fx2e dx xe dx x 1e C当 x0 时，F/(x)与 xk是同阶无穷小，则 k解：limx0 x因为f0 0，C 1，所以fxx 1e 1212arctanx=，f（1）1，求tf 2x t dt01f(x)dx2xf(x)a 0，f0 0,xx0f 0 ax08.设 f（x）连续，且F0 0Fxx f(t)dt 20 xtftdt Fx 2xftdt x2fx xfx解：令

20、u2xt，则2xtf2x tdt 2xuf（u）du02x2xxxx2ftdt xfx fxFx2fx fx xf x f x0lim lim limx0 x0 x0 xkk 1xk2xk1所以k 25.设 f(x)=x2xxf（u）duuf（u）du，已知等式两边对x 求导得：x1 x43fxdx 422xxfudu 2x2 f2x fx2xf2x2 xfx2x x 1 xf x，代入，化简后11 x4t x)arctan(0 x2dt，g(x)=sin x0当 x 0时，(3t t cost)dt，2322xxfudu f(x)是 g(x)的 A高阶无穷小B 低阶无穷小C 等价无穷小D 同

21、阶而非等价无穷小解：设t x u，fuxxex9.设 f（x）连续，且当 x-1 时 f（x）f(t)dt 1，求 f（x）。02(1 x)20 xarctanu du arctanu du02x2解：设Fxftdt 1，Fx fx02xfxlimlimx0gxx0arctan u0 xsinx0arctan u2limx03sin2xsin3xcossinxcosx233t t cost dt2duxexxex，2FxFxdx FxFxdx222(1 x)(1 x)2FxFxdx 2FxdFx Fx C1limx1x0sin2x3sin xcossin x32a2xex1xexex1 xex

22、xdx xe d dx C2，1 x1 x1 x1 x(1 x)26.设 f（x）=ax0ae0t(2 at)dt(a常数)，求I f(x)dx0a解：Ixf(x)0axf xdx xe0ax2aax（1）dxexFxC，因 为Fx1 xF201C C 0ftdt 10 x，F01，7xxFxe1 x 0，fx Fxxe2,x 121 x32x210.求函数f(x)(2t)etdt的最大值和最小值。解：f x 2 x20ex22x x1 0,x2 2,f x 0f0 0,f222eetdt 1 e202,f x 0,fx单调减少，,2,f x 0,fx单调增加f2tet002ettdet2et

23、tetet01所以f0 0是最小值,f21e2是最大值。11.设fx为连续函数，且满足2x00 xf（t）dt2xtf（2t）dt2x3x1，求fx在0,2上的最大值与最小值。解：2x0f（t）dt 8x36x2，再求导得，f2x12x26x，设2x t，因为x0,2，所以t 0,4ft3t23t ft6t3 f10f t 6 f 122最小值。f 1 324,f0 0,f2 6，f2 6最大值。12.设f(x)x,0 x 22x 2,2 x ，又设Sx表示由曲线 yf(x)，x轴及过点xx 0并垂直于x轴的直线所围成图形的面积，求函数Sx的表达式，并求其导函数。解：解：sxxfxdx，0 x 2，sx12x202 x ,sx20 xdx22x 2dx x22x 2sx12x20 x 2s/2sx s2x2 2x 2x 2xli2mx 2 2 x0 x 2sx2x 22x 2x 28