高等数学第五章定积分试题及答案.docx

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1、第五章 一元函数定积分证 因为- f (x) f (x) f (x) ，9b f (x) dx = J = lim nf (x) Dx由推论 1 得 - bf (x)dx b f (x)dx b f (x) dx ， 结论成立.1、定积分的定义：aal0 =iiaaai 1所谓函数 f (x) 在a , b 上可积是指极限b f (x) dx = lim nf (x) Dx存在,性质 5 (基本估值不等式)设 M、m 分别为函数在区间 a , b 上的最大值和最aal0 i =1ii小值，则m (b - a) b f (x) dx M (b - a)a而极限存在就必唯一，且由定义还可看出, 这

2、个极限的存在与对区间a , b 的性质 6 (积分中值定理)如果函数 f ( x) 在区间a , b 上连续，则在区间a , b划分和点xi 的取法均无关。上至少存在一点x，使得b f (x) dx = f (x )(b - a)a因此定积分b f (x) dx 表示的是一个实数，它的存在是由被积函数 f (x) 和积a1b定义：我们称f (x)dx 为 f(x)在a, b上的积分平均值分区间a , b 确定的（如曲边梯形问题），与积分变量用那个字母来表示没有关系，即b f (x) dx = b f (t) dt = b f (u) du =例题 函数 y=b - ax 2a在区间 1 ,3

3、上的平均值为多少1 - x 222aaa2、定积分的几何意义：当 f(x) 0 且 a b 时，由定积分定义知 b f (x) dx 在a几何上表示由曲线 f ( x) 与直线 x = a，x = b，x 轴围成曲边梯形的面积 A.3、可积条件定理 1若 f (x) 在a , b 上连续，则 f (x) 在a , b 上可积.这个结论与不定积分的存在性完全一致，但定积分时可积的条件还可放宽为5、原函数定理：如果函数 f ( x) 在区间a , b 上连续，则函数j (x)= xa数 f ( x) 在a , b 上的一个原函数。6、牛顿莱布尼兹公式f (t )dt ，就是函定理 2若 f (x)

4、 在a , b 上有界，且只有有限多个间断点，则 f (x) 在a , b 上可积.定理 3：单调且有界.定理：若函数 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间a, b上的一个原函数，则b f (x) dx = F (b) - F (a).a4、定积分的性质：aaa1 b Af ( x) + Bg ( x) dx = A b f ( x) dx + B bg ( x) dx一、计算定积分1. 一般方法2 (积分区间可加性)设a c b ，则有 b f (x) dx = c f (x) dx + b f (x) dx2. 特殊方法aac3 (常数的积分)若 f (x) k (常数)，则 b

5、 f (x) dx = k (b - a) .a4 (保号性)若在区间 a , b上 f ( x) 0，则b f (x) dx 0.（1）I p f（sinx）dx （f 为连续函数，f（sinx）f（cosx） 0 ），20 f（sinx）f（cosx）pa推论1 (保序性)若在区间 a , b上 f ( x) g (x) ，则 b f (x) dx bg(x) dx解：（1）令 xt ，则2aapf（cost） pppI 2dt ， 2I2 dt ， I 推论 2 (绝对值性质) b f (x) dx b f (x) dxx a , b .0 f（cost）f（sint）024aap ln

6、(1tanx )dxp t= p + 0 + 1 p 1 + cos 4xd 2x = p + p= 5 p（2）I 40解：令x 4，则288 0283232 p ln11tant d(t)p ln2dtpln2（5）设 f (x) 在 0,p 上连续，证明pxf (sinx)dx = p p f (sin x)dx ，并用此I 40p1tant p 401tant4I，02 0结论计算p x ln(sinx)dx02Iln2 ，I4ln28p(p)f (x) = f (x - p ) + sin xf (x) = x, x 0,p 解：设 x =- t ， sin- t = sin t(3

7、）设 f(x)在 R 内满足求f ( x )dx3p,且，I = p xf (sinx)dx = 0 (p - t)f (sint)d(- t)= ppf (sint)dt - p0p00(sint)dtp3pf (x)dx = 2pf (x)dx +3pf ( x )dx所以2I = ppf (sint)dt I = ptf02 p f (sint)dt0，所以上式成立。pp2pppp设t = x -p ， 2p f (x)dx = pf (t + p )dt根据已证明等式： x ln(sinx)dx =ln(sin x)dxp0()( )02 0因为 f (x) = f (x - p )

8、+ sin x ，所以 f t + p= f t- sin tI = p p ln(sinx)dx = p p 2 ln(sin x)dx + p pln(sin x)dx2p f (x)dx = p f (t + p )dt = p( f (t) - sin t)dt = p(t - sin t)dt2 02 02 p 2p0003pp设 x = p - t ， p p ln(sin x)dx = p0ln(sint)d(- t)= pp 2 ln(sint)dt设t = x - 2p ，f ( x )dx = 2p0f (t + 2p )dt2 p 2pp2 p 22 0p 2f (t +

9、 2p )= f (t)， 3pf ( x )dx = pf (t)dt = p tdt所以 I =2ln(sinx)dx = pln(sinx)dx2p0000p所 以 3ppf (x)dx = p(t - sin t)dt + p tdt = p 2 - 200设 x =- t ，可以证明：p2p 2 ln(sinx)dx = p0p 2 ln(cosx)dx0(4) 设函数 f (x) 为 - a, a 上连续的偶函数。求证：2I =p p 2 ln(sinx)dx + p p 2 ln(cosx)dxaf (x)apex4所以：00 dx =f (x)dx ，并利用结果计算2sinxd

10、xp 21p 21pp 2-a 1 + ex0-p 1 + ex=pln( sin 2x)dx = p ln( )dx +ln(sin2x)d2x =af (x)0f (x)2af (x)02022 0dx =-a 1 + exdx +-a 1 + exdx0 1 + exp设t = 2x ，2p 2 ln(sin2x)d2x = p02pln(sint)dt0设 x = -t ， 0f (x) dx = 0f (t)d (- t )= a f (t) et dtp1p 21- 1 + ex1 + e(-t )01 + et因为 I =pln(sin x)dx， 2I =p p 2 ln( )

11、dx + I ，所以 I =ln a所以af (x) dx = aaf (x)dx 成立2 00222p 2-a 1 + ex0ppexp14（2）当已经证明I =pp 2ln(sinx)dx 时，还可以用另一种方法来证明：0p 4p 22 sin 4-p 1 + exxdx = 2 sin 4-p 1 + e(- x )xdx =20sinxdxI =p 0ln(sinx)dx =p0ln(sinx)dx +p p 4ln(sinx)dx22pp 2p 4p 1 - cos 2x 2p1p1p设 x =- t ，p ln(sinx)dx = p ln(cost)dt= 2 dx = - 2

12、cos 2xd 2x + 2cos 2 2xd 2x2p 400 284 08 0I =p p 4 ln(sinx)dx + p p 4 ln(cosx)dx00=p 21后面思路同上，一样可以得出： Iln f (x)dx = xf (t)dt + C全体函数为偶函数若f (x)为奇函数220唯一的一个原函数为奇函数 若f (x)为偶函数思路提示：通过变量代换把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分，一般讲，积分区间为对称的，令 x=-u；积分区间为 0,p，令x = p - u ，证明：连续的偶函数有且仅有一个原函数是奇函数。p pp p若函数 f (x)是- a, a上连续的偶函数，则它

13、的全部原函数表示为：积分区间为0,2 的，令 x =2 - u ；积分区间为0,4 ，令 x = 4 - uF (x)= xf (t)dt + C ， - a x a二、分段函数的定积分- x 2 , x p 0F (x)+ F (- x)= x00f (t )dt + - x0f (t)dt + 2C ，在第二项中t = -u 则有1.f (x) = x ,0 x1 求2f (x)dx( )()x( )x( )epF x + F - x =f t dt - fu du + 2C = 2C ，当且仅当C=0 时，即只()ln x, x f 1-300解： 2f (x)dx = 0- x 2 d

14、x +1 ex dx +2 ln xdx = e + 2 ln 2 -11有原函数 F (x)= x0f (t )dt 才是区间- a, a上的奇函数。-32.2p0-3011 - sin 2xdx例题：1. 若 f(-x)=-f(x)，( - x 0,f/(x)0,f/(x)0,f/(x)0解： 2p01sin2xdx 2p0(sinxcosx)2 dx 2p sinxcosxdx0C f/(x)0,f/(x)0,f/(x)02. 设 f(x)在( - ,+ )内可导，则2= p (cosxsinx)dx5p (sinxcosx)dx + 2p (cos x - sin x)dx = 440

15、=e- x , x 0f (x)4p4 2 f (x - 1)dx5p4t = x - 1A 当 f/(x)为单调函数时，f(x)一定为单调函数。B 当 f(x)为单调函数时，f/(x)一定为单调函数3.求21 + x 2 , x p 01()解：设371C 当 f/(x)为偶函数时，f(x)一定为奇函数D 当 f(x)为奇函数时，f/(x)一定为偶函数2 f (x - 1)dx = 11- 122f (t )dt = 0- 121 + x 2dx + 1 e- x dx = - 024e3. 设 f (x) 是奇函数，除 x = 0 外，处处连续， x = 0 是其第一类间断点，则三、原函数

16、和导数的奇偶性。1. f (x) 是奇函数， f (x) 是偶函数， f (x)是偶函数， f (x) 是奇函数。2. f (x) 是连续的奇函数，则 f (x) 是偶函数， f (x) 是连续的偶函数，则f (x) 是奇函数与常数之和。3. 因为 x f (t)dt 表示 f (x) 的一个连续的原函数。所以 f (x) 是奇函数，则0x f (t)dt 是（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数0( )（C）在 x=0 间断的奇函数（D）在 x=0 间断的偶函数4. 设 函 数 f x是 在 (- ,+ ) 内 连 续 的 单 调 增 加 的 奇 函 数 ，F(x)= x (2t - x)

17、f(x-t)dt,则 F (x)是：0A 单调增加的非奇非偶函数B 单调减少的非奇非偶函数C 单调增加的奇函数D 单调减少的奇函数x f (t)dt 是偶函数， f (x)是偶函数， x00f (t)dt 是奇函数。解： F (x)=x (2t - x)f (x - t )dt ，设 x - t = u设 f (x) 在- a, a上连续，则F (x)= x xf (u)du - x 2uf (u)du = xx0000f (u)du - x 2uf (u)du0因为 f (x)是奇函数， xf (u)du 是偶函数， xxf (u)du 奇函数也是以T 为周期的Axf (t)dtB0f (t

18、)dt00因为 xf (x)是偶函数， x 2uf (u)du 是奇函数， 所以 F (x)是奇函数。0Cx0f (t)dt 0 f (t)dtD0- x- xx f (t)dt 00- xf (t)dt00Bf (t)dt =f (t)dt =- xf (t)dt +0f (t)dt00F (x)= xf (u)du + xf (x)- 2xf (x)= xf (u)du - xf (x)= f (e )x - xf (x)解：Axf (t)dt = x+Tf (t)dt = xf (t)dt + Tf (t)dt0因为0 e (e )( )0( )x f fx，因为 fx是单调增加的函数，

19、00所以 F (x) 00000函数的充要条件是 T0f (x)dx = 05. 设 f (x) 以 T 为周期的连续函数，证明：x0f (t)dt 可以表示成一个以T 为x f (t)dt = x+T f (t)dt = x f (t)dt + x+T f (t )dt = x f (t)dt + T000x00f (t)dt周期的连续函数与Kx 之和，并求出常数K。解： x f (t)dt = j (x)+ Kx ，证明存在K，使j (x)为连续的周期函数即可。例题 1. 设 f (x)以T 为周期，a 为任意常数，证明：a+Taf (x)dx = T0f (x)dx0j(x)= xf (

20、t)dt - Kx j(x + T )-j(x)0解： a+Taf (x)dx = 0af (x)dx + T0f (x)dx + a+TTf (x)dx ，x+Tf (t )dt - K (x + T )-x f (t)dt + Kx = x+Tf (t)dt - Kt = Tf (t)dt - KT = 0设 x = t + T ， a+T f (x)dx = a f (t + T )dt = af (t )dt00x0T00若使j(x)是以 T 为周期的函数，只要K = 1 T f (t )dt ，即证明上述结论a+Taf (x)dx = T0f (x)dx ，周期函数在任意一个周期区间

21、上的积分值相等。T0方法 2：f(a)= a+Taf (x)dx f(a)= f (a + T )- f (a)= 0若要使xf (t)dt为周期函数，则必须K=0，即Tf (x)dx = 0f( )f( )= f(0)00xT所 以 a是常数，与a 无关，所以 a，所以原式成立。所以可得结论， f (t)dt 是以T 为周期的函数的充要条件是 f (x)dx = 02. 设函数f（x）是在（,+ ）上以T 为周期的连续函数，则下列函数中00五、奇偶函数在对称区间上的积分。解：因为f(x)为偶函数，且+ f(x)dx = 1, +f (x)dx = 1(1) 若 f (x) 为偶函数，则有 a

22、-af (x)dx = 2 a f ( x)dx ；0-F (- a)= -a f (t)dt t=-u a0f (- u)d(- u)= 2f (u)du(2) 若 f (x) 为奇函数，则有 a-af (x)dx = 0.-= 0 f (u)du + f (u)du = 1 - aaf (u)du 例题 1. 积分 2(x + 1)4 x - x 2 dxa0201-2F (a)= af (t )dt = 0f (t )dt + af (t )dt = + af (t )dt解：原式 2x4 x- x 2 dx + 24 x - x 2 dx = 224 x - x 2 dx = 2p-0

23、204x - x2-2()-205. 设连续函数 f (x)满足 f (x)= ln x - ef (x)dx ，求ef (x)dxy =x1x - 22 + y2 = 4 ，积分等于半圆面积。解：令e11f (x)dx A，则f（x）lnxA，12. 2 (x 3 cos + )4 - x 2 dx =-222x11两边从 1 到 e 进行积分，得ef (x)dx =e ln xdx - eAdx解： = 2 x 3cos4 - x 2 dx + 24 - x 2 dx = 0 + 224 - x 2 dx = p11ix 2 + 1)-22-220 2（xlnxx） eA（e1）于是Ae（

24、e1）A（e1），ptanxp 13. 设M 4 ( + x8 )dx, N = 4sin8 x + ln(x +dxeA1，A 1 ，则e1f (x)dx -p1 + x 4-peepP 4p-44(tan 4 x + ex cosx - e-x cosx)dx 则16.f (x)在- p,p 连续， f (x) =x1 + cos 2 x+ p-pf (x) sin xdx ,求 f（x）。4AP NMBNPMCNMPDPMNptanxptanxpp解：设l =pf (x) sin xdx ，所以 f (x) =x+ l-p-p1 + cos 2 x解： M = 4 ( + x8 )dx

25、= 4 dx + 4x8dx = 2 4x8 dxx sin x)x 2 + 1)(44 4p -1 + x 4-p 1 + x 4-p0p两边同时积分： pf (x) sin xdx = p dx + pl sin xdx()N = 4sin8 x + ln(x +dx = 4 sin8 xdx = 2 4 sin 8 xdxl = p x sin xdx + pl sin xdx = p x sin xdx + 0p-( )4-p01 + x2pp)4-p1 + cos 2 x-p-p1 + cos 2 xln 1 + x1(+ x2设 f x = ln x +， f -) x= ln -

26、 x +，根据公式：p xf (sin x)dx = p pf (sin x)dxf (x)+ f (- x)=pp2 - x 2= 0 ，所以 f (x)是奇函数。0l = px sin x2 0dx =2px sin xpdx = 2psin xdxP = 4p-tan 4 xdx = 2 4 tan 4 xdx0-p 1 + cos2 x01 + cos2 x2 0 1 + cos2 x4p = -p p1d cos x = -p arctan(cos x)p = - p 2因为 0,sin x x tan x 1，所以sin8 x x8 tan8 x tan4 x0 1 + cos2

27、x024 +xf (x) =x+ l =x- p 24. 设 f(x)为偶函数，且f(x)dx = 1, 令F(x)=f(t)dt ，则 F(-a)=1 + cos2 x1 + cos2 x2-1-AF(-a)=-a f(x)dxBF(-a)=1- a f(x)dx7. 设 f (x) ， g(x) 在a, a上连续， g(x) 为偶函数， f (x) + f (-x) =A-p1 + cos 2 x-p200CF(-a)=F(a)DF(-a)=2F(a)-1（A 为常数）（1）求证： af (x)g(x)dx = Aa g(x)dx定理 2：如果函数 f (x) 在a, b上连续，则积分上限

28、的函数f (x) = xf (t)dtp（2） 计 算 2-a0sin x arctan ex dx就是 f (x) 在a, b上的一个原函数。a2-p解：（1） af (x)g(x)dx = 0f (x)g(x)dx + af (x)g(x)dx定理 3：若 f (x) 在a, b可积，则xaf (t)dt 在a, b连续。-a-a0定理 4：注意奇偶函数或周期函数 f (x) 的变限积分 xf (t)dt 的奇偶性与周0f (x)g(x)dx x=-t 0 f (- t )g(- t )d (- t )= a f (- t )g(t )dta期性问题。a0()()()()()-a1. 设方

29、程1 et 2 dt + sinx cost 2 dt = 0 确定 y 是 x 的函数，则 dy y0a f (x)g(x)dx = a f x g x dx +a f - x g x dx = A a g x dxdx-a000sin xy()exe- x- ex解： 原式= cos t 2 dt - et 2 dt = 0 cos sin x 2 cos x - e y 2 y = 0（2） (arctan ex ) =， (arctan e- x ) =011 + e2 x1 + e-2 x1 + e2 xdycos x(sin x)2 cos x = (arctan ex ) + (

30、arctan e- x ) = 0 ， arctan ex + arctan e- x = Adxey2当 x = 0 时， arctan1 + arctan1 = p，所以 A = p+ 1 x = cos2updy222. y= 1sint (1 + e u )du ,其中t=t(x) 由(0v0， 且 f/(x)连 续 ， 又的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视，这里我们将积分上限的函数求导拓宽一下。F(x) = x tf(t)dt x f(x - t)dt0,x 0（1）求+F (0)0,+0.F (x)（2）证明在内（1）若j (x) 可导，则j (

31、x) 与积分上限函数F(x) 构成了复合函数 0j( x) f (t) dt ，由复合函数求导法则知d j( x) f (t) dt = f j(x)j(x)0,x = 0F (x)- F (0)x tf (t )dtadx a解： F (0) =lim=lim0（2）若 F (x)= j2(x )f (t )dt ， j(x),j(x)可导， f (x)连续，则+x0+x - 0x0+ xx0f (x - t )dtj (x )121设 x - t = u ，xxf (x - t )dt = x0 f (u)d (- u)= xxf (u)duF (x)= f j(x)j (x)- f j (x)j(x)0x02211x tf (t)dt( )( )( ) a(a2 - x2 )1a(a2 -x2 )2211 ()()-2 - x 2aa2xf xf x + xf x1xedx ed a - x e ae1F(0) = lim0= lim= lim ( )( )( )=02 0202+x0+xx0f (u)dux0+xf (x)+ x0f (t)dtx0+ fx + fx + xf x27. 设 f (x)在0,+)上可导， f (0)= 0 ，反函数为 g(x)，