人教A版新教材必修第一册《习题课 基本不等式》教案（定稿）.docx

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1、习题课基本不等式【学习目标】1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用2能利用基本不等式证明简单的不等式 及比拟代数式的大小.一、巧用“I”的代换求最值问题I Q例1假设心0, y0,且；+:=1,求x+y的最小值. x )I 9解 V-+-= 1, x0, 0, a ).“+=+凯+y)= 10+旨衿 0+21= 16,Q v v当且仅当今=+即尸4,尸12时，等号成立.y 入即x+y的最小值为16.延伸探究 ”0, b0, u+2b=l,求，=5+、的最小值.解 因为 a0, b0, +2b=l,所以E+RC+加+)吐丝+罕=1+叼+2 a b a b23+223+2即0, y0, x+8y=x

2、y,求x+2y的最小值.解 因为 x0, y0, x+8y=xy,所以9+5=1，x y所以 x+ 2y=(三+，。+ 2y)= 10+：+等210+2y：呼=18,n拓广探究15.0,历0,假设不等式端恒成立，那么，的最大值等于（）A. 10 B. 9 C. 8 D. 7答案B解析 因为0, b0,所以2+0,所以要使弃卜弗恒成立，只需机W（2a+）弓+恒成立，而（24+力）+|=4+华+号+ I 25+4=9,当且仅当=/时，等号成立，所以树W9.16.小人都是正数，求证:crlab+b1又：,+,+/+扇层+店,ab IcP+b即yal).-+r a b,ab IcP+b即yal).-+

3、r a b 2 s 2又由基本不等式得审2标,当且仅当时，等号成立.当且仅当8,1 ,(+尸，x 16y y x，x= 12,c 时等号成立.卜=3所以x+2），的最小值为18.二、别离消元法求最值例2工0, yX）, x+2y+2。=8,求x+2），的最小值.8 Y解 由/+2y+2xy=8,可知丁=不二，因为八。，（）,所以0t0, b0,且2a+b=abl,贝U。+2的最小值为.答案5 + 2班解析 由 2a+b=ab,得b2因为 “(), /?(),所以 a=_)0, b+ 10,所以历2,所以 a+2=+2=S；2)：3 + 2s2 +4 = 2(-2)+E+522、2(b2)./+

4、5 oLbLbL lb1=5+2班,当且仅当2S2)=&,即=2+半时等号成立.所以a+2b的最小值为5 + 2#.三、利用基本不等式证明不等式例3o, b, C均为正实数，且a+Z?+c=l.求证:(卜上吐目证明 因为，b, c均为正实数，+b+c=l,所以卜=亍=皆同y邛上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得(卜)(h)(h率乎事=&当且仅当a=b=c=g时，等号成立.延伸探究 本例的条件不变，求证：证明 +石+丁+1=3 + 匕+/ + 匕+2+(尹城23 + 2 + 2 + 2=9,当且仅当。=b=c=0, h0,且“+6=5+%求证：a+b22.证明 由0, Z?0,那么+力=5+=

5、脸由于 +力0,那么 ab= ,即 a+b22m=2,当且仅当a=b=l时，等号成立，所以。+622.-课堂小结-.知识清单：(I)巧用“1”的代换求最值问题.(2)别离消元法求最值.(3)利用基本不等式证明不等式.1 .方法归纳：配凑法.2 .常见误区：一正、二定、三相等，常因抉少条件或符号导致错误.2随堂演练.OvKLtXXl,且以下各式中最大的是()A./+/ B. 2yab C. 2ab D. ab答案D解析 *.* 0tz 1,0b 1, cra, b2b,a2+b22ab(ab)t2ab+h2a+b.又 2yab(a * b),，a+b 最大.1 .假设Oa2jabb万,a+b (

6、C. blaba答案Ca+b iB. a2jabb万,a+b (C. blaba答案C +一C. babaa-rb iD. ba 2解析 V 0aa+b,b-ab.解析 V 0aa+b,b-ab.又 ,.*ha0, aba2, :. yal)a.故 b-Y-aba.4 I3.x, y是正数且x+)=1,那么己+一的最小值为() 人 I 4 j I 1139A记 R4 C. 2 D. 3答案B解析 由 x+y=l,得(x+2)+(y+l)=4,即 *(1+2)+。+1)=1,=岛+假设)捻+2)+。+1)加1+窄+甯4(_x+2 y-r 1J加1+窄+甯4(_x+2 y-r 1J19河5+4)=

7、不2 I当且仅当尸宗），=；时等号成立.4 IQ士+一*的最小值为条 x+2 y+144.周长为啦+1的直角三角形面积的最大值为.答案!解析 设直角三角形的两条直角边的长分别为a, b,那么。+亚行=6+1.又。+ b2cib, /+从22仇 所以6+ 1茄=（2+也）解得当且仅当 =乎时等号成立，所以直角三角形的面积即S的最大值为;.课时对点练n基础巩固.设，=+2力，$=“+序+1,那么，与s的大小关系是（）A. $2/ B. st C. sWz D. s2ab答案A解析 *.* a2+b22M=（同一|例）2 一0,a2+从2 21ab|（当且仅当=依时，等号成立）.3 .小王从甲地到乙

8、地往返的时速分别为。和伙兴勿，其全程的平均时速为2 那么（）A. ava,又2y茄，故 av0,当且仅当工=：,即x=l时，等号成立. 9r即）=帚有最大值1.5 .设非零实数4, b,那么是*+（22”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析 片+序2,活成立的条件是任意非零实数，而彳+、22成立的条件是小。同号，由集 合的关系可知选B.6.（多项选择）以下函数中最小值为2的是（）B.尸尸+志C.产师+由4D. J=x+7T（X 2） 人I L答案BD解析 对于A,当xvO时，y=x+：vO, A错误;对于 B,出+ 1 0, y=yjx+

9、15+ 1 Xy= 2,当且仅当出 +1即x=0时等号成立，B正确； 对于C,)，=正不5+322,但d?不5=袅时，等号才能成立，而拉可5=袅 无解.故2取不到，C错误；44/4对于 D. x2, 那么 x+2。，,=、+而=。+2)+而一2227。+2)壬-2=2,4当且仅当工+2=一六，即x=0时等号成立，D正确. 人I4户一4f+ 17 ./0,那么函数y=;的最小值为答案-2 解析V/0, .)+74224=2,当且仅当，=1时，等号成立.；v的最小值为-2.8 .假设小人都是正数，且。+力=1,那么(a+l)S+l)的最大值是,答案I9-4解析 因为a,8都是正数，且。+。=1,

10、所以)9当且仅当。+1=8+1,即=。弓时，等号成立.所以S+DS+1)的最大值为本.假设044,求y=x(12-3x)的最大值； F+6 丫+ 12求产.a 在Q3时的最小值解(1)：0凌-3, /.a + 30, 3x+3+4 22小，当且仅当x+3= 1a，即X=小一3时，等号成立. 人I J/.函数),=+ ?； 12的最小值为2小. 人I J10 .入0,)0,且 2t+8yxy=0,求(1g的最小值；(2)x+y的最小值.解 (1)由 x0, y0,且 2x+8.y孙=0,得a+2=1, x y那么1 =三十92、偿=亲,得xy264,当且仅当x=16, y=4时，等号成立.所以x

11、y的最小值为64.Q 2(2)由(1)可得；+;=1,那么 x+y=(三+-(x+y)=10+1+登 210+2、户亘=18, y xy x当且仅当x=12且)，=6时等号成立，所以x+y的最小值为18.11 . a0, b0, ab= 1,且/=+!，=+，那么? + 的最小值是()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案B解析,.,?(), /?(), ab= 1, ?+=+t=北 + 2心25=4,当且仅当。=力= 1时，等号成立.即m+的最小值为4.12 .0, 0,那么以下不等式中不成立的是(24B. (”+b)2ab f-rD而迎答案D解析。+。+不了22，+国22，当且仅当。=

12、6=乎时，等号成立，A成立;（。+%+2病 2册=4,当且仅当。=6时，等号成立，B成立;2 12:222ab0, j=2ab, 当且仅当时，等号成立，C成立;:a+b22ijb,。0, /?0,网 2 当且仅当6=2“，即”=彳，=大时，等号成立.尸或ib,a+b atb 丫 当且仅当时，等号成立，D不成立.13.设自变量x对应的因变量为），在满足对任意的工,不等式yWM都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做），的上确界.假设a, b为正实数,且。+6=1,那么一十一之的上确界为（）991A. -5 B.g C4 D. 4答案A解析 因为“，b为正实数,且+。=1,仕 = 2一人 +- 五 以9-29一25 -42 1% 有 此 因2 一匕 12 即1414.设041,那么当取得最小值时，X的值是.1 X2答案514（ 1 4A解析 VxG（OJ）,那么1QO,由基本不等式可得=+千=（1-”）+办工+；=71 -X X人 人）1空尸+522、任耳后+5=9,当且仅当日=也严，即=，时，等号成立