专题13立体几何多选题 解析版.docx

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1、【多项选择题与双空题总分值训练】专题13立体几何多项选择题2022年高考冲刺和2023届高考复习总分值训练新高考地区专用1. （2023福建漳州三模）a, 6是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，以下命题正确的选项是（ ）A.假设 a/a,aJ_分，那么。_1_4B.假设a10,aua ,那么。_1/C.假设aua,al/B，buB，blla ,那么aD.假设 a JL 分,aJ分,那么q二【答案】AD【解析】【分析】根据空间中线面、面面的平行、垂直的判断定理和性质定理分析判断.【详解】alia,那么平面a内存在直线/与直线。平行，那么/，尸，可得A正确；假设a_L，那么平面。内存在直线与

2、平面/?垂直，但不是任意一条直线均与平面夕垂直B不正确；根据面面平行的判定定理要求直线4、相交，C不正确；a工。,那么平面a内存在直线/与平面夕垂直，alB,aaa ,那么/a, a/ aD正确；应选：AD.2. （2022河北廊坊模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立.下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A.平行于同一条直线的两条直线必平行B.垂直于同一条直线的两条直线必平行C. 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补【答案】AC【解析】【分析】根据线线平行传递性和

3、课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一条直线的两条直线位置关系不确定，可对于选项B,因为AO/5C,故A。/平面S8C,所以A到平面S3。的距离等于。到平面S3。的距离, 由平面SOC,平面平面S8C,所以。到SC的距离即为。到平面S3C的距离，当SD = 2, 0c = 1时，A到平面S3。的距离等于拽，应选项B正确；jr对于选项C,角S3。是S3与平面ABCZ）所成的角，当D3 = 2时，线面角为此时+/ =2, +匕=2,方程组无正解，应选项C错误；对于选项D,四棱锥可以补成长方体，长方体的外接球的半径为2+后+4 ,而 怛上生之也 =1,所2V 22以外接球的半径大于等于如，所以其外表

4、积的最小值为2应选项D错误;应选：CD.9. （2022湖北荆门市龙泉中学二模）如图，二面角/的棱/上有4 B两点，Cez, AC/,De。，BD11,假设 AC = A3 = 3O = 2, CD = 2及,那么()A.直线48与CD所成角的大小为45。B.二面角的大小为60。C.三棱锥A-BCD的体积为2GD.直线。与平面口所成角的正弦值为亚4【答案】ABD【解析】【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线N8与所成角、二面角的平面 角、直线C。与平面尸所成角，结合条件计算判断各项正误.【详解】过/作AE/BQ且连接。,。石，那么四边形/班历是平行四边形，如图,所以O

5、E/ /AB且。石=AB ,故NCDE是直线AB与CD所成角或其补角，因 AC_L/, BD11,那么石 _LAC,而 4口4。=4，A,ACu 面 AEC,于是面MC, CEu面 AEC,那么 DJ_C,（cosZCDE = ,那么 NCDE = 45, A 正确； CD CD 2因 8Z）J_/,即 A_L/, |TiJ AC/,那么 NC4E是二面角 a / 一4的平面角，乂C = ）1 = 2,因此，CE=AE = AC = 29即“ICE为正三角形，ZCAE = 60, B正确；因。石，面4。，DEuf3 ,那么尸，面AEC,在面AC内过。作CO_L AE于O,于是COJ_,又。=走

6、4。=行，而1.加=14383 = 2,22所以 VA-BCD = VC-ABD=C- S .ABD =，C 错误；*-Z连接。而COJ_Z?,那么NCDO是直线CO与所成角，sin ZCDO = - = = = , D正确. CD 2V24应选：ABD10. （2022山东临沂二模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，底面是边长为2的正三角形，AA=3,点又在8片上，且P为线段GM上的点，那么（ ）A.平面AMCB.当。为CM的中点时，直线4。与平面Z8C所成角的正切值为递3C.存在点P,使得D.存在点P,使得三棱锥。A/C的体积为西 4【答案】BD【解析】【分析】A：假设GMJ平面AMC,那

7、么可得/C匚平面3。蜴，口/。8=90。与矛盾，从而判断假设不成立；B： 取8C中点为N,可证PN口平面Z5C, 以N为力夕与平面A5C所成角，解口/N。即可；C：假设 CPQAM,可得。尸口平面/MN, CPUMN,几何图形即可判断假设不成立；D：假设匕一八女=匕“吹= 正,求出口。%的面积，判断口。%面积是否小于或等于口。加0面积即可.4【详解】对于A,假设平面AMC，那么易知cc,ncxm = q,故/c口平面BCGg,故 ACDBC,这与力C3=60。矛盾，故假设不成立，故A错误；对于B,当。为GM的中点时，取8C中点为N,连接ON、AN,易知/wnca, CG匚平面/3G 那么尸AO

8、平面/8C,故口为即为ZP与平面ABC所成角，PN +)(1 + 3)2G那么 tanDRIN= = 忑=忑= , 故 B 正确;x2,对于C,取3C中点为N,连接ZN、NM,由/NDBC, ZNDCC 知力AO平面 8CGA ,故/NDCRCP LAM , UANHAM=A,那么。口 平面/MN,那么 CP 匚;W,过。作CGDMTV交GM于G,那么CPCG,即口。CG=90。，易知MCG不可能为90。，故不存在。使得CPLAM ,故C错误；对于D,取3C中点为N,连接/N,易知4N口平面8CGA，AN=B假设三棱锥P-AMC的体积为主8 , 4那么 Cpmc二m3, AN _36 一 _9

9、pmc AN - 4 n、/mc ， S cmc Sbccm _S bcm =L(CG + BM), BC = BC- BM C/V7CoCC IvloC/W 2 /2/、112=x(3 + l)x2 x2xl = 3 = 2 v724SMC =故存在尸使SaP/c=（时一，三棱锥尸-40。的体积为地，故D正确.应选：BD.【点睛】此题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在尸点满足条件，然后结 合几何关系推出与条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面的夹 角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可.11. （2022 山东临沂模拟预测）如图

10、，在五棱锥月-ABCDE中，PAJL平面ABCDE,ABI/CD, AC/1 ED, AEI IBC , ZABC = 45, AB = 272, BC = 2AE = 4 , /XPAB 是等腰三角形.那么A.平面PC。_L平面PACB.直线总与平面PCQ所成的角为的大小为60。C.四棱锥P-ACQ的体积为走3D.四边形ACDE的面积为3【答案】AD【解析】【分析】在ABC中，利用勾股定理证得ABJ_AC,又由24_1_平面A5c。石，证得24J_ AB,进而证得AB_L平面 PAC,得到CD _L平面尸AC,可判定A正确；过点A作AH, PC于点，证得AH_L平面PCQ,结合 A3/平面P

11、CQ,得到B到平面PCQ的距离 =2,结合线面角的定义法，可判定B不正确；由CD_L平面 PAC,得到CDJLAC,得出四边形A8E为直角梯形，结合梯形的面积公式和锥体的体积公式，可判定 C不正确，D正确.【详解】因为 ZABC = 45, AB = 272, BC = 4,由余弦定理可得AC? =(20/+ 42 2 20x4cos450 = 8 ,所以AC = 2近，所以432 + 4。2=3。2,所以ablac,又由94，平面至。, AB平面MCDE,所以因为巳4口4。= 4,所以AB,平面B4C,乂因为AB/CD,所以平面PAC,因为8u平面尸CQ,所以平面PC。，平面PAC,所以A正

12、确；过点A作A”J_PC于点H,因为平面PC3JL平面PAC,且平面PSn平面B4C=PC,所以AH_L平面尸CQ,又因为AB/CZ）, ABa平面PCQ,所以A8/平面PCQ, 所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离， 在直角P4C中，可得4/ = 2,即3到平面尸CZ）的距离 =2,h 21设直线总与平面PCQ所成的角为处 可得sinO = 痂 = a = 5，又由0。90。，所以夕= 30，所以B不正确；由CD1平面PAC,可得COJ.AC,因为AC/DE,所以四边形ACDE为直角梯形，其面积为S=g（0 + 20）x&=3, 所以四棱锥P-ACD石的体积为V=1x3x2近

13、=2&，所以C不正确，D正确.12. （2022福建龙岩模拟预测）正多面体也称帕拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由 一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都 相等）,某中学在劳动技术课上，要求学生将一个近似正八面体的玉石切制成如下图的棱长为2的正八面体P-45CDQ （其中反2”分别为刃，PB, 3。的中点），那么（）A. 4。与C0为异面直线B.平面见8平面PC。C.经过瓦工的平面截此正八面体所得的截面为正六边形D.此正八面体外接球的外表积为87【答案】CD【解析】【分析】对于选项A,根据图像的共面可以得出该选项错误；对于选

14、项B,求出两个平面的二面角证明二面角不是90度即可得出结论；对于选项C,根据中位线定理证明相等关系，即可证明该截面为正六边形；对于选项D,根据外接球的直径，代入公式5 = 4乃大即可.【详解】对于A选项，由多面体的对称性知，A, B, C,。四点共面，又因为必=4。=。=。，结合PQ=AC,所以四边形为。是正方形，所以选项A错误；对于B选项，设中点为N, CQ中点为“，那么ZNPM为平面PAB和平面PCD的二面角,NP = N*-f =5 MP =五-12 =5 NM=2所以 NP?+MP2 wNM?,所以平面PAB和平面PCD的二面角不为直角,所以选项B错误；对于选项C,设QC, CD, D

15、4的中点分别为J, K, 3顺次连接E, F, H, J, K, L, E,根据中位线定理能够得到EF=FH=HJ=JK=KL=LE,所以经过E、& H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形，应选项C正确；对于选项D,根据题意，外接球的直径为万方= 20，所以外接球的半径为近，外表积 S - 47rH2 = 8，故该选项正确.应选：CD.13. （2022辽宁鞍山二模）如图，点P是棱长为2的正方体Z8COABCQ的外表上一个动点，那么A.当。在平面BCC4上运动时，四棱锥p的体积不变7T TTB.当P在线段4C上运动时，2P与AC所成角的取值范围是g，yC.使直线AP与平面ABCD所成的角为4

16、5。的点P的轨迹长度为乃+ 40D.假设尸是AA的中点，当夕在底面力8C。上运动，且满足PF平面4cA时，尸产长度的最小值是逐【答案】ABC【解析】【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到尸的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.【详解】A选项，底面正方形A4QQ的面积不变，P到平面A4QQ的距离为正方体棱长，故四棱锥尸一AAQ。的体 积不变，A选项正确；TTB选项，0P与AG所成角即。，与AC所成角，当尸在端点4 C时，所成角最小，为不，当。在4。7T中点时，所成角最大，为丁，故B选项正确；2C选项，由于。在正方体外表，。

17、的轨迹为对角线45/, ADi,以及以4为圆心2为半径的,圆弧如图，故。的轨迹长度为乃+ 48, C正确；D选项，b 所在的平面为如下图正六边形，故的最小值为，D选项错误.（2022广东二模）在所有棱长都相等的正三棱柱中，点4是三棱柱的顶点，M, N、。是所在棱的中点，那么以下选项中直线4。与直线N垂直的是（）【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，从而求得而，标的坐标，计算版加，即可判断A,B,C,D 的正误.【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中，点/是三棱柱的顶点，N、。是所在棱的中点,故可设棱长为2,在正 三棱柱中建立如下图的空间直角坐标系：对于 A, A(G,0

18、,0),Q(0,0,0),M(0Jl),N(0,0,2),故版= (-6,0,0),加=Q 1,1),那么版.加=(g,0,0).(0,1,1) = 0,故而J,而曾，即AQ_LMN,故A正确;对于 B, A(0,1,0),Q，-刁,2),故版=（4，白，2）,而= （0,1,0）,那么而.布=（当,一|,2）.（0,1,0） = -5，故4Q,MN不垂直，故B不正确;对于 C, A(V3,0,0),2(0,U),M(0,-l,l),故版=(-6,1,1),耐=(今1/), 那么而瓦万=(一6,1,1) (乜,一,1) = 0,故 AQJ.MN,即 4Q_LA/N,故 C 正确;、ng1对于

19、D, A(0,l,0),Q(,2),M(,0), A(0,1,1)，2222|而=（亭，-1，2），丽=（-乎，总1）， 那么版.拓？=（且,-3,2）（-走,1） = 2 ,故AQ,MN不垂直，故D不正确;应选：AC（2022海南海口 模拟预测）如图，在长方体A3CO-4AG2中，M = 2AB = 2AD, E,尸分别是棱CQ, 的中点，那么（）判断B,通过举反例可判断D.【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知c正确;如图，=那么OA CE

20、,CD OB,但AAOB和/DCE的关系不确定,故D错误.应选：AC3. （2022重庆三模）如图，在正方体43C。-44GR中，。为正方形ABC。的中心，当点P在线段8a上（不包含端点）运动时，以下直线中一定与直线。尸异面的是（）【答案】BCD【答案】BCDC. AAD. AD.【解析】【分析】 对于A,当P为8G的中点时，OP/AB1，故A不正确；对于BCD,根据异面直线的判定定理可知都正 确.【详解】对于A,当。为5G的中点时，OPIIDCHAB,故A不正确;A. 口台。/7是等边三角形B.直线4七与3月是异面直线C. A/1平面友）尸D.三棱锥与三棱锥4-尸。5的体积相等【答案】AC【

21、解析】【分析】A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点4, E, B,b四点共面得出矛盾；C选 项证4尸，。尸，4尸，8尸线线垂直，可得线面垂直；D选项点/与点/到平面的距离不相等，即 是高不相等，体积也不会相等.【详解】对于A,设48=1,那么尸=血，故二归是等边三角形，A正确；对于B,连接跖、JC,如下图：易知所，,跖，故点4，E, B,歹共面，B错误；对于C,设/3=1,那么4。=指，DF = 0 = 6 所以4斤=。尸+4尸所以A尸，。尸，同理可知4/，班又因为。尸cM =尸，所以4尸，平面故C正确；对于D,三棱锥A- ABD与三棱锥A - FDB有公共的面DB ,假

22、设要它们的体积相等，那么点4与点/到平面AOB的距离相等，这显然不成立，故D错误.应选：AC.16. （2022山东肥城市教学研究中心模拟预测）如图，正方体A8CO-AgG2的棱长为2 ，线段与2上有两个动点E，F ,且所=形,以下结论正确的有（）A. EFAB = 2B.正方体ABC。-体积是三棱锥AB斯的体积的6倍C. AC1AED.异面直线AE,即所成的角为定值【答案】AC【解析】【分析】根据数量积的定义判断A,根据锥体的体积公式计算即可判断B,根据线面垂直的性质判断C,利用特殊 点判断D；【详解】解：对于A选项，易知DCJ/AB , NCQ内=45。，所以乔.福=0x2cos45。=

23、2 ,所以A正确；对于B项，连接5。交AC于点O,那么AC_L3。，又。，平面ABCQ, ACu平面ABCZ）,所以。AJ_AC, BDCDD=D,平面。，旦3,所以 AC J_ 平面,1 1iiJ22所以三棱锥 A B所的体积%_的尸=-SEF-AO = -EF-ABBBrsin450 = -x-x42x2x2x = -, Dj 乙J乙乙J所以正方体ABC。-A4CQ体积是三棱锥A 应力的体积的12倍，所以B错误；对于C项，如图建立空间直角坐标系，那么。（0。0）, A（2,2,2）, 4（220）,。（2,0,2）, 4（0,2,2）,所以雷二（2,2,2）, 肛=（0,2,2）, 编=

24、（-2,0,2）,所以区.宿 =0, 贝苗 =0,即冤，耳，再J,福，因为 AD n AB = A, AD, AB u 平面 ABD1,所以AC_L平面ABQi，而AEu平面人与。，所以4。_1_他，所以C正确;对于D项，当点在。处，尸为。溢的中点时，异面直线入石,8方所成的角是/FBG， 当E在。溢的中点时，/在用的位置，异面直线尸所成的角是NE4A，显然两个角不相等，所以D错误；应选：AC.17. （2022江苏盐城三模）如图，在棱长为2的正方体A3C。-44G2中，点M在线段8G （不包含端点）上，那么以下结论正确的选项是（）A.三棱锥R-AMC的体积随着点的运动而变化B.异面直线4与所

25、成角的取值范围是倍5C.直线AM 平面ACA3 IttD.三棱锥M-AC2的外接球外表积的最小值为等【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，连接由3G 平面ACQ,即直线3c上任意点到平面ACA的距离相等;对于B选项，VAfCi为正三角形，那么当且仅当加在BG中点时，即可判断;对于C选项，证明43G 平面ACQ即可，对于D选项，当M为8G中点时，外接球半径最小，计算即可.【详解】对于A选项，因为3GA。，所以8G 平面ACR,所以为定值，即A错误;(jr /对于B选项，因为V48G为正三角形，am与8C所成角的范围为三,，即B正确；13 2_对于 C 选项，易知，4GIIAC, ADBC, A

26、C, ? BCX G，ACI AD.=A9 那么平面 48 G 平面 acr ,可知Au平面A3G，4M 平面AC2，即c正确；对于D选项，易知当M为3G中点时，外接球半径最小，此时设AC2的中心为p, V43G的中心为。，BG的中点为兀贝半，吟苧,QT泻,那么易知G贝半，吟苧,QT泻,那么易知G所以最小球即为以P为球心，半径曝外表积Si4字即D错误.应选：BC（2022 辽宁模拟预测）在三棱锥中，底面/8C是等边三角形，MC = 4,点为的垂心，且47_L侧面那么以下说法正确的选项是（）BC.LAMA. 平面 48”MA, MB, MC互不相等D.当三棱锥M-A3C的体积最大时，其外接球的体

27、积为36岳【答案】AB【解析】【分析】对于A,延长交5。于点。，连接4。，由线面垂直的性质可判断；对于B,连接8,并延长交以。于 点、E,连接由线面垂直的判定可判断；对于C,过/作MOJ_AO,垂足为。，那么脑9,平面/3C, 延长C。交于点G 连接A/凡 可得他4 = M3 = MC,由此可判断；对于D,由三棱锥M-A3C为正三 棱锥，得。时，MHC的面积最大，M4_L平面A/3C时，三棱锥ABC的体积最大，将三棱 锥A-6c补成正方体AEFG-MB。，求得三棱锥A-M5c的外接球半径R,由球体的体积公式计算可 判断.【详解】解：对于A,如图，延长交于点。，连接力，MB因为为的垂心，那么又

28、A_L 平面5C, BCu 平面 所以 3C_LA，又AHcMD = H ,所以BCJL平面加4D,又Au平面M4Z）,所以A项正确；对于B,因为3CLAD,又ABC为等边三角形，所以。为8c的中点,连接8并延长交A/C于点E,连接力,那么3ELMC,因为AHJL平面M8C, MCu平面所以A_LMC,又AHCBE = H ,所以MC_L平面48”, B项正确；对于C,因为平面所以八MC,过/作垂足为。，那么MOJL平面/5C,又平面N3C,所以MOJ_A8,延长。交48于点R 连接“，因为MOcMC = M,所以A3,平面/C凡 因为“凡 bu平面MC尸，那么CFAB9得MA = MB,所以

29、M4 = M3 = MC, C项错误；对于D,因为三棱锥-A3C为正三棱铺，当时，M3C的面积最大，当M4_L平面M3C时，三棱锥加-ABC的体积最大，将三棱锥A-A四C补成正方体AEFG-MBOC,此时正方体AEFG-MBDC的体对角线长即为三棱锥人-儿出。的外接球的直径，设三棱锥A-A7BC的外接球直径为2火，PlJ 2R = MA2+MB2+MC2 = 473 即R = 2a/L因此三棱锥M - ABC的外接球的体积V = 位-=x（2V3）3= 32鸟，D项错误.应选：AB.18. （2022山东滨州二模）在边长为4的正方形/3C。中，如图1所示，E, F,分别为8C, CD, BE

30、的中点，分别沿/, 4厂及 川所在直线把ZV跳, VAFD和石FC折起，使B, C,。三点重合于点P, 得到三棱锥A所，如图2所示，那么以下结论中正确的选项是（）图2图2A. PA.LEFB.三棱锥A/-Ab的体积为4C.三棱锥P-AE尸外接球的外表积为24D.过点/的平面截三棱锥P-AEb的外接球所得截面的面积的取值范围为肛6加【答案】AD【解析】【分析】 将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A：由平面PEF即可判断；对B：由九.八改=:匕3）即 可求解；对C：三棱锥P-A即外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对D：由最大截面为 过球心O的大圆，最小截面为过点垂直于球心。与连

31、线的圆即可求解.【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，如下图：对A：因为庄，APPF, PECPF = P,所以平面汽砂，所以Q4JLEF,应选项A正确;对B：因为M为BE的中点，所以%yq =不匕-斤=5*,*5*2*2*4 =鼻，应选项B错误；对C：三棱锥P-A所外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R =22+22+42 =24,所 以三棱锥P-AE厂外接球的外表积为S =24 ,应选项C正确；对D：过点用的平面截三棱锥P-AE尸的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心。的大圆，此时截面圆的面积为川=（=6不，最小截面为过点垂直于球心。与M连线的圆，

32、此时截面圆半径r = ,65 =截面圆的面积为万，=，所以过点M的平面截三棱锥尸AE尸的外接球所得截面的面积的取值范围为肛6%,应选项D正确.应选：AD.19. （2022 山东济南二模）在棱长为1的正方体ABC。-中，E, F, G分别为线段CG, CD, CB上的动点（E, F, G均不与点。重合），那么以下说法正确的选项是（）A.存在点E, F, G,使得平面MGB.存在点 E, F, G,使得 /FEG+/EFC+/EGC =%C.当A，平面MG时，三棱锥4-EFG与C-FG体积之和的最大值为:D.记CE, CF, CG与平面瓦6所成的角分别为。，夕，X,那么sin2o + sin2/

33、? + sin27 = l【答案】ACD【解析】【分析】以点。为原点建立空间直角坐标系，设b = a,CG = A,CE = a（Q,O,C（O）,对于A,当/G时，易 证得/G _1_4石，那么要使平面MG,只需/即可，利用向量法即可得出结论；对于B,要使 NFEG+/EFC+/EGC =兀,只需要 NFEG = NFC+NGEC即可，判断 NREG 和 NFEC+NGEC 是否相 等，即可；对于C,根据4CJ平面FG,可得。也c的关系，由！_即；+匕一七房=:4。工的，只要求出J JS.“g的最大值即可；对于D,利用等体积法求出C到平面EFG的距离d,分别求出sina,sin/?,siny

34、,即 可判断.【详解】解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，设b = ,CG = b,CE = c,（a,c（0），对于A,因为A41，平面ABC。，BDu平面A8C。，所以A41&）,又因 AC_LBD,ACcA41 = A,所以3O_L平面A4GC,又A/U平面A4CC，所以3。，4石，当时，FGAE,此时 Cb = CG,要使4E_L平面用G,只需b即可，4（l,0,l）,F（0,l-0）,E（0,l,c）,那么乖= （U,c 1）,而= （O,a,c）,那么章.丽=-a c（c 1） = 0, a = c-c2,当a = 9时，c = 1, 42故存在点, F, G,使得4EJ_平

35、面E/P,故A正确；JT7T对于 B, /EFC = 一一/FEC, /EGC = 一一/GEC , 22那么 ZFEG+ZEFC+ZEGC = 7r + ZFEG - ZFEC - ZGEC,要使 ZFEG+ZEFC+ZEGC = 71,只需要ZFEG = ZFEC+/GEC即可,EF = yla2+cEG = ylb2+cFG = y/a2+b2，cos ZFEG =cos ZFEG =6Z2+C2 +b2 +c2+片）2a/2 +。2 +。2c2J/ +。2 扬 +。2cos ZFEC = / c , cos ZGEC = /。77+7y/h2+c2cos ZFEC = / c , co

36、s ZGEC = /。77+7y/h2+c2ahmil sin ZFEC = 1, sin ZGEC =.V7T7病7?2故 8s因为出?0 ,所以 cos （/TEC+NGEC）w cos NFEG ,所以 /FEG w NFEC + /GEC ,所以不存在点E, F, G,使得/FEG+NEFC+/EGC =对于C,因为AC J平面MG,所以V儿 efgVc efc=AC-S efg=S/Aj- tZr C/。一匕广Cj34匕卜U3EFGA（l,0）I（01-a,0）,E（0,G3，l,0）,C（U0）,那么而=优,0）,用=仇0,c）,而=（1J-1）,AC-FG = -b + a =

37、0 一 ,A-EG = b-c = O f 所以b = c,要使S.g最大,那么Q = h = C = l,此时S：fg=，匚 r u 2所以体积之和的最大值为故C正确;对于D，由B，sin/五G =对于D，由B，sin/五G =V+（6Z2+/72）C2a2 -c2 扬+。2那么 s 五巾=- EF- EG-sinZFEG = -yla2h2+a2c2 -c2h2 ,八j 七尸g 22所以C到平面EFG的距离d满足:小5=为 36abc所以=62廿+。2c2+c2b2 所以sinaabsin p =beCF da2b2c?+c2b2 . dacsin y = /二CG 2b2/C2+C2b2

38、所以 sin2 a + sin2 /? + sin2 ya2 b2 + ere1 + c2h2a2 b2 +a2c之 +c2b2故D正确.应选：ACD. 1 .20. （2022福建三明模拟预测）棱长为4的正方体ABC。-44GA中，A =： A3 ,点P在正方体 4的外表上运动，且总满足标.碇=0,那么以下结论正确的选项是（）A.点P的轨迹所围成图形的面积为5B.点。的轨迹过棱42上靠近4的四等分点C.点。的轨迹上有且仅有两个点到点。的距离为6 D.直线gG与直线近所成角的余弦值的最大值【答案】ACD【解析】【分析】首先根据动点尸满足的条件及正方体的结构特征得到动点P的轨迹，然后利用轨迹的特

39、征判断选项A,B, C,对于选项D,将线线角转化为线面角，运用线面角的定义找出线面角进行求解.【详解】如图，Di对于B,因为ACu平面440c，。平面440C，OeA。，Pg平面44CC，所以直线4。与直线OP一定是异面直线，故B正确;对于C,因为AAu平面A4CC，。平面A4G。，0任4人，Pe平面A4，所以直线4人与直线OP一定 是异面直线，故C正确；对于D,因为Au平面ARC,。平面ADC，。eA,金平面A，C，所以直线与直线OP一定 是异面直线，故C正确；应选：BCD4. （2022重庆八中模拟预测）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建 筑，如塔、亭、阁等

40、，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒 尖.以四角攒尖为例，如图，它的屋顶局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥，此正四棱锥的侧面与底 面所成的二面角为30。，侧棱长为2疗米，那么该正四棱锥的（）D过点M作在A。上取一点N,使连接NC,EC,FC , 过点N作NEA4.连接所，易为MF/NE,：eRM,N四点共面； 又M_LMC, MNCMF = M ,.MC_L面MNE/即点P的轨迹为矩形MNEb （不含点M）, 设 AN = x，那么 MN = Jf+l 又;MC7MB2 + BC? =5NC = yiND2 + DC2 = （4-x）2+16:.MN2+MC2

41、=NC2解得V，即AN 土皿哼对于A,矩形N斯的面积为：S = MN-MF =，4 = 5, A正确；43对于 B, A,E = AN = -, B 错误； 4对于 c，CF = yImC2+MF2 =a/41在心CMNi|i, C到MN的距离范围是：5,5-1MN上存在一点到点C的距离为6；在以CM尸中，。到店的距离范围是：（5,01.M/上存在一点到点C的距离为6；但在RCNE、RC所中不存在到点。的距离为6的点，C正确；对于D,直线与直线MP所成的最小角就是直线与平面MNEF所成的角,v AG BC.直线B.C.与平面MNEF所成的即是直线BC与平面MNEF所成的角,延长NM,CB交于点

42、G ,那么/MGB即是直线BC与平面MNEF所成的角,AN/GBAN _ AMMC 4在放WGC 中，sinZMGC =一 GC 53/. cos ZMGC = - , D 正确;应选：ACD.【点睛】此题考查动点轨迹，点、线、面位置关系，线线角、线面角以及几何体中一些线段的最值，考查了空间想 象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，属于难题.22. （2022湖南衡阳二模）正方体ABCD-AgCQ的棱长为1,M,N分别为期,AB的中点.以下说法正确的选项是（）A.点M到平面AAQ的距离为巫2B.正方体外接球的体积为叵 23兀C.面ANR截正方体ABC。-4AG2外接球所得圆的面积为r4D.以顶点

43、A为球心，在为半径作一个球，那么球面与正方体的外表相交所得到的曲线的长等于也 36【答案】BCD【解析】【分析】A选项由等体积法%一人叫求得点M到平面AN的距离即可；B选项由外接球的直径为体对角线即可判断；C选项由面AN。经过外接球球心，求得其外接圆圆心，即可求解；D选项将球面与正方体的外表相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计 算即可.【详解】AD=42.S and= =lxlxl = l ,设 M 到平面 ANA 的距离为，由1 2242 2 2 8%一人犯=5一八mn, K|J - x J x SaAND = xDAx SaANM ,解得 d =立,故 A 错误；334正方体ABC。-4

44、4GA外接球的半径为正正正=正，外接球的体积为=与，故B正223 1 2 ）2确;易得面AN。经过正方体ABC。-AUGA外接球的球心，故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径旦其圆的面积为个，故C正确；2 4如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面A4/0、面A3CO和面M2。上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面Bgcc、面CCQQ和面AAG。上.在面A43由上，交线为弧跖 且在过球心A的大圆上，因为= j孚）-I2 =-,那么/AAE = 7，同理NA4产=器，所以/4尸=看，故弧E尸的长为空、工=叵，而这样的弧共有三条.3 69在面BBCC上

45、，交线为弧所且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为8,半径为8尸=4 =走，3所以弧尸G的长为lx工=立不，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长3x叵+ 3、& = 旭，故D 326966正确.应选：BCD.23. （2022河北模拟预测）如图，在正三棱柱人8C-中，A3 = M=百，。为棱CG上的动点，那么A.三棱锥O-ABC的外接球的最大半径为更2B.存在点。，使得平面480,平面ABgAC. /到平面A/Q的最大距离为立2D. Af。面积的最大值为nI4【答案】BCD【解析】【分析】A选项，当。与G重合时，三棱锥D-A5C的外接球的半径/?最大，由正弦定理求出三角形48C外接圆 半径，进而求出外接球半径；B选项，点。为中点口寸，平面平面作出辅助线进行证明；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解/到平面4罟。的最大距离；D选项，利用空间向量求出点。到直线的距离的最大值，从而求出4出。面积的最大值.【详解】当。与C重合时，三棱锥。-ABC的外接球的半径火最大，如图，找到球心O及球心。在底面48C上的投影。，贝ljoo =立，2设三角形力3C的外接圆半径为尸，由正弦定理得：2r = = 2,解得：厂=1, sin 60故H =故H =叵,A错误; 2当点。为CG中点时，平面A3。