江西省萍乡市2022届高三理数第三模拟考试试卷解析版.docx

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1、高三理数第三模拟考试试卷一、单项选择题1.如图，全集U = N, A = 1, 2, 3, 4. 5，B = (xeNx3,那么阴影局部表示的集合为()A. 0, 1, 2B. 0, 4, 5C. 1, 2D. (1, 2, 3)【答案】D【知识点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】【解答】由图示可知，阴影局部可表示为6,G4nB),ZnB = 4, 5，.QG4 n 8)= 1, 2, 3).故答案为：D.【分析】先观察Venn图，图中阴影局部表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中,得出图中阴影 局部表示的集合，再结合条件即可求解出答案.2 .在复平面内，复数Z, Z2所对应的点

2、关于虚轴对称，假设zi = l + 2i,那么复数Z2=()A. -1 2iB. -1 + 2tC. 1 2/D. 2 + i【答案】B【知识点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】因为句= l + 2i对应的点为(1, 2)，4, Z2所对应的点关于虚轴对称，所以Z2对应的点为(-1, 2).所以Z2 = -1 + 2L故答案为：B.【分析】根据条件，结合更数的几何意义，即可求解出答案.3 .命题p： PxWR, sinx 1：命题q： Bx E R, (p V q)【答案】B【知识点】复合命题的真假【解析】【解答】因为当 = ?时，sinx = l,所以p： x/xeR, sinx

3、p） A q为真命题.故答案为：B.【分析】根据题意，分析p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案.4 .如图，直三棱柱/18。一4当6中，AC 1 BC,假设/1%=/1，= 8（； = 1,那么异面直线/11（；, /1B所成角的大小是（）A- IB.今C. ID. I【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角t解析】【解答】如下图，连接 v /AB , /BiAC即为异面直线AC, AB所成角 v AAX = AC = 8c = 1, /IjC = y/2, BtC = V2又AC J. 8C，48 = 4出=&在 Bi&C中，A% = AXC = B、C =正Bi&C是正三角形

4、故答案为：C【分析】将两异面直线平移成相交直线即可求解出异面直线/C, A8所成角的大小.5 .几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年.汉语的最早译本是 由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本 概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容.某高 校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，那么学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概 率为（）A. 1B. 1C. 1D.5【答案】B【知识点】占典概型及其概率计算公式【解析】【解答】数学专业的学

5、生从这7章里任选4章进行选修共有：6=35种选法：学生李某所选的4堂中，含有“基本概念”这一章共有：点=20种选法， 故学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为：P = = * 故答案为：B.【分析】先根据题意计算该学生从这7章里任选4章进行选修的总情况数，再计算学生李某所选的4章中， 含有“基本概念”这一章的情况数，最后利用古典概型概率公式求解即可得答案.6.2cos(n- 6) = sin(7i + 6),那么sin26 =()A.1B.C. |D. -I【答案】A【知识点】二倍角的正弦公式：同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】2cos(zr - 0) = sin(zr +

6、 O)，：. 2cos。= sinO tan = 2sin26 2sin0cosO 2tan9 2x2 4 sin20 4- cos20 sin20 + cos20 tan20 4-1 22 + 1 5故答案为：A【分析】由条件利用诱导公式求得tanG=2,再利用同角三角函数的基本关系及正弦二倍角求得答案.7 .定义域为R的函数/(x)的图象关于点(1, 0)成中心对称,且当xNl时,/(x) = x2 +mx + n,假设/(-I) = -7,那么3m + ” =()A. 7B. 2C. -2D. -1【答案】C【知识点】函数的值【解析】【解答】解：因为定义域为R的函数/(4)的图象关于点(

7、1, 0)成中心对称,且当时,/(%) = / +mx + n，假设f(-l) = -7,那么“3) = -/(-I) = 7.故f(3) = 3? + 3?n + n = 7,即3m + n = -2.故答案为：C.【分析】由结合函数的对称性可求出f(3),进而可求m, n,即可求解出答案.8 .如图是计算/+ / + ：+ 虚的一个程序框图，其中判断框内可以填入的条件为()A. i 2022?B. I 2020?C. i 1011?D. i 1010?【答案】C【知识点】循环结构【解析】【解答】因为： + * + * + 矗，共有1011项，所以i = 1011时，应该退出循环体.故答案为

8、：C.【分析】根据算法的功能确定退出循环体n的值和i的值，从而得答案.9 .椭圆C：w+，= l(ab0)的左、右焦点分别为尸】，尸2,直线y = kx(k0)与C相交于M, N两点(M在第一象限).假设M,N, F2四点共圆，且直线NF2的倾斜角为强那么椭圆C的离心率为()A.孚B. V3-1C.孚D. V2-1【答案】B【知识点】椭圆的简单性质【解析】【解答】根据题意四边形MRNB为平行四边形，又由M,吊，N, F2四点共阿，可得平行四边形MF】NF2为矩形，即N% _L N&又直线N尸2的倾斜角为9那么有NMF/2建那么|MBI =；内尸2| = c，|外| 二学尸/2| =后，2那么2

9、a = IMFJ + MF2 = (1 + V3)c.即c = (V3- l)a那么椭圆C的离心率e = = V3-1故答案为：B【分析】根据题意四边形M&N%为矩形，即NF】 INF2,利用椭圆的定义和性质可求出椭圆。的离心率.10 .现收集到变量(x, y)的六组观到数据为：(1, 2), (2, 2.3), (3, 3), (4, 3.5), (5, 5), (6, 4.5)，用最小二乘法计算得其回归直线为匕：？ = 8巾+访，相关系数为门：经过残差分析后发现(5, 5)为离群点(对应残差绝对值过大的点)，剔除后，用剩下的五组数据计算得其回归直线为%： ? = b2x + a2,相关系数

10、为万那么以下结论不正确的选项是(A. 否B. b2blC. r2r1D.去掉离群点后，残差平方和变小【答案】B【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程【解析】【解答】解：由数据得：k x = 1(l+ 2 + 3 + 44-54-6) = 3.5,y=1(2 + 2.3 + 3 + 3.5 + 5 +3.5) x 3.4,r (1x2+2x2.3+.+6x4.5)_ n,瓦= 2-22-2x 0.58,那么访=3.4 - 0.58 X 3.5 = 1.37,1乙+2Z+.+6乙 - 6x3.5”剔除离群点后： 11%： x=g(l+ 2 + 3 + 4 + 6) = 3.2, y =(2 +

11、 2.3 4-3 + 3.5 + 4.5) 3.1G (1x2+2x2.3+.+6x4.5)-5x3.2x3.1 A公cc crb2 = 512-5-5 0.13,那么= 3.1 - 0.58 x 3.2 2.7,r+2z+.+6z-5x3.2zA.式2 ，故正确:B.灰瓦，故错误：C.剔除离群点后，相关程度越大，所以相关系数T21，故正确：D.剔除离群点后，相关程度越大，所以残差平方和变小，故正确.故答案为：B.【分析】根据条件，结合最小二乘法，以及相关系数和残差的定义，即可求解出答案.11.定义在R上的函数/a),对任意勺，x2ER,当勺工应时，都有等三萼 0,假设存在xe臣 可，使不等式

12、/(xcosx) 2 f (a - sin%)成立，那么实数a的最大位为()A. -4B. 1C. 4D. 6【答案】B【知识点】利用导数研究函数的城调性：利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】解：因为对任意与, x2ER,当打工七时，都有等三警 0,所以f。)在/?上单调递 增，那么/(xcosx) /(a - sinx)等价于 xcosx a- sinx,即 a 0,所以g(x) W 0，所以g(x)在生 兀上单调递减, 所以g(%) W g() = 3cos/ +si吗=1,即q & 1,所以q的最大值为I；故答案为：B分析)依题意可得f (x)在R上单调递增，那么不等式/1(xc

13、osx) fa sinx)等价于xcosx a - sinx,即 a xcosx + sinx,令g(x) = xcosx + sinx, x G j n,利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大 值，从而求出实数a的最大值.12 .设a = 21nl.01, b = xL02- 1, c =焉，贝4()A. a b cB. c a bC. b a cD. c b lnl.02 - L02 + 1 = /i(1.02) h=0所以a b,(b + 1)2 (c + I)2 = 1.02 - (1 +221202-200121100 - TH-2 = 100x101 - 2 = 100X10

14、1 - 2 u.所以(b + l)2 (C+ I)2,又因为b = A-l0，c= 11 0,所以b + lc + l,即bc,所以c6b,利用不等式的性质，可得出bc,从而求出答案.二、填空题.双曲线C：。一= l(b 0)的两条渐近线互相垂宜，那么其离心率为.【答案】V2【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线C: 土马=130）的渐近线为y=打, 又b0,那么b = 2, c = 2瓦那么双曲线C的离心率64=竽=遮那么由两条渐近线互相垂克，有那么由两条渐近线互相垂克，有b.2X22-1，解之得力=2故答案为：戏【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，再由两条渐近线互相垂直可得b,然

15、后求解出离心率.13 .单位向量五，石满足26+加=（一6，2）.那么向量了，由勺夹角为.【答案】5【知识点】数埴积表示两个向埴的夹角【解析】【解答】由单位向量%3满足2d + G = （-遥，2），所以|2d +瓦=V7. 2所以（2 五+ E） =4az + 4ab + b =4 +4五3+1 = 7，解得五 b =所以cosd, b） = k； % = I，又（优 b） e |0, tt 所以 2ab - ab = ab （当且仅当a=b时等号成立）即ab 2 n 6 N+)两式相减得到% = 2a_(?i 2, n E /V+)又Qn0, 斯是首项为Qi，公比为2的等比数列，再由。1，

16、a2 + 1，。3成等差数列得,得2(。2 + 1) =+。3,即2(2% + 1) = % + 4%,那么4 = 2,二即的通项公式为g=2(n G N+). 2, n e N+)两式相减得0n = 2%_i(nN2, nWN+)，进一步结合2(。？ + D = % +。3，即可求出ai，最后利用等比数列通项公式求 出数列的3的通项公式：(2)由(1)可知瓦=3四丁 2n+2=H = J(A 急),从而利用裂项相消求和法即可求出K,进一步结合nGN*即可证明合nGN*即可证明3-418.北京冬奥会于2022年2月4 口至20 口在北京市和张家口市联合举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，也是

17、中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运 动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某高校组织了 20000名学生参加线上冰雪运动知识竞赛活 动，并抽取了 100名参赛学生的成绩制作了如下表格：竞赛得分50, 60(60, 70(70, 80(80, 90(90, 100频率0.050.250.450.200.05(1)如果规定竞赛得分在(80, 90为“良好”，在(90, 100为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得分的 频率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率.现从该校参加知识竞赛的学生中随机抽取3 人，记竞赛得分结果为“良

18、好”及以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望；(2)此次知识竞赛全校学生成绩S近似服从正态分布N(73, 64)，假设学校要对成绩不低于97分的学生 进行表彰，请估计获得表彰的学生人数.附：假设随机变量f N(，苧)，那么P(一 6 f V + 6) = 0.6827, PQ - 26 V f V + 26)=0.9545, P3 - 36 f 97) =73 + 3x8) = 1-0973 = 0.00135.估计获得表彰的学生人数为n = 20000 X 0.00135 = 27人.【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

19、【解析】【分析】(1)由题意如，X所有可能取值0, I, 2, 3,分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可 求解出随机变量X的分布列及数学期望；(2)根据条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解出获得表彰的学生人数.19 .如图，在水平放置的直角梯形为8co中，AB/CD, Z.DAB = 90, /W = DC = 1.以48所在直线为轴I,将48CD向上旋转角。得到48EF,其中8 W (0,区).(1)证明：平面40F 1平面COFE；(2)假设平面与平面8CE的夹角余弦值不超过率求6的范围.【答案】(1)证明：由题意，AB 1AD, AB LAF, ADrAF =

20、A且力。，AP u平面4DF,:.AB 1 平面HDF：X4FHCD, ：.CD1ADF,而CD u平面CDEF,所以平面ADF J_平面CDEF：(2)解:根据题意,旋转角。即以A为原点，在平面ADF内，作AD的垂线为z轴，AD, AB所在直线分别作为x, y轴，建立空间直角坐标系，那么。(1, 0, 0), 8(0, 2, 0), C(l, 1, 0), F(cos0. 0, sin。)，FC= (1, - 1, 0)，EC = FD = (l-cos0, 0, 一sin。)， 设五=(x, y, z)为平面BCE的-个法向量,那么五近= x-y = 0，n - FC = x (1 cos

21、f?) z - sin。= 0(1, 1,1-COS0, sin。)平面ADF的一个法向量为沅= (0, 1, 0),记平面ADF与平面BCE的夹角为a,那么 cosa = |cos(n, in)| =耦=1J 工 f,小+ 1+(偌)化简得sind + cos0 = V2sin(0 4- ) 1, sin(6 +$* 冬 所以竽 + 2kn6 + 的圆心重合，p为r上一动点，点M(l, 1).假设帜F| + |PM|的最小值为2.(I)求抛物线7的标准方程；(2)过焦点的直线/与抛物线T和圆尸从左向右依次交于4B, C,。四点，且满足M8/ + |8C|2 + |Cm2 = 18,求直线，的

22、方程.【答案】(】)解：由圆的方程知：F(0 a),那么抛物线T方程可设为：x2 = 4ay(a .1 白，”在抛物线开口内部，过M作抛物线准线的垂线，垂足为H,由抛物线定义知：PF = PH,.MP + |PF| = PF + PH MH (当且仅当M, P,“三点共线时取等号),(|PF| + |PM|)min = MH = 1 + a = 2,解得：a = 1, 8C为圆F直径，: |BC| = 2,又|8F| = |CF| = 1,|4即=|4|一1,= |A8|2 + |8C|2 +|CD|2 = (HF| - I)2 + (|DF| - I)2 + 4：由题意知：直线/斜率存在，可

23、设i： y = kx+l，4(%i，%)，8(%2，乃)，(y k x ,得：必一4入- 4 = 0,那么4=16d+ 160,= 4y Xj + x2 = 4/c, XX2 - -4, yi + y2 = kg + x2) + 2 = 4k2 + 2, yy2 =(，卷)=i；AF = yi 4- 1, DF = y2 + 1， AB2 + BC2 4- CD2 =* + * + 4 =(% + y2)2 - 2yly2 + 4 = (4fc2 + 2)2 + 2 = 18.解得：4=，二直线，的方程为、=工+1-【知识点】抛物线的标准方程：直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)过M

24、作抛物线准线的垂线,垂足为H,由抛物线定义知:PF = PH,那么MP +PF = PF + PH MH ,由平面几何知识可求最小值，可求抛物线T的标准方程；(2)由可得AB2 + BC2 + |CD|2 = (AF - I)2 + (DF - l)2 4- 4,由题意知：直线，斜率存在，可设/： y = kx + A, A(xt,力)，8(小，力)，与抛物线联立，利用韦达定理可得力+丫2 = (勺+应)+ 2 =4k2+ 2,力力=臂/=1，+ BC2 + CD2 = yf + y2 + 4 = (y, + y2)2 -+ 4 =(4k2 + 2)2 + 2 = 18 可求出直线l的方程21

25、.函数/(x) = alnx + ax + 1 - xe”.(1)假设a 0，求/(%)的最大值；(2)假设a(0, 1)，证明：f。)有两个零点.【答案】(1)解：/(x) = + a-(ex + xex) = (1 + x)(-ex)；令g(x)=* - ex,由函数y = ?(a0), y =/的图像可知，存在唯一与e (0, +oo),满足言= e*。，且 w 人人Vn，(0, %), - ex, g(x) 0, /(x) 0：x 6 Qo，+ 8)时，二,g(x) 0, /(x) 0；故/1(X)在(0,%)上单调递增，在(%, +8)上单调递减， f(x)max = fQo) =

26、alnxo + ax0 + 1 -4靖。(*),又至=e,那么Ina - lnx0 = x0,代入(*)得:/(x)max = alna + 1 - a；(2)证明：f(x) = a(lnx + x) + 1 elnx+x,令 = nx + %R,那么/(x) =/i(t) = a + 1 - e,；因为是关于x的单调函数，那么f(x)与A。)的零点个数相同：乂%(0) = 0,故 = 0是八()的一个零点：h (t) = a el = 0.得t = Ina 0, h(t)单调递增：当tw(lna, +8)时，h(t) h(0) = 0：又当t = -：0时，/i(_l)= _e-a 0),

27、y = e*的图像可知，存在唯飞(0, 4-00),满足为=，/(均在(0,凡)上单调递增，在(%, + 8)上单调递减，然后求解出/(%)的最大值：(2)令t = Inx + % W R,那么/(x) =/i(t)=琥+ 1 /，判断t=0是h的一个零点，利用函数的导数判断函数 的单调性，结合零点判断定理，推出/(%)有两个零点.22 .在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为，=一：?+百 (为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2 = 1 + 2：E2夕(I)求直线，的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)假设点P为曲线C上任意一点，求点

28、P到直线，距离的最小值.【答案】(】)解：将 = y代入x = 4四+国，消去t得直线，的普通方程为x 6y + 4a=0；由=忌而得p2 + 2p2sin29,将。2=d+产，00由0=代入可得42 + 3y=9,即曲线。的直角坐标方程为+缜=1：(2)解：设点P(3cosa,bsina),那么点P到直线1的距离d = |3cosa-3：ina+4vz = |3、2os (彳q)+4网.当cos(a + 力=-1,即0=当 + 2kzr(k e Z)时，=/，所以点P到直线/的距离最小值为冬【知识点】点到直线的距离公式：参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极

29、坐标方程和直角坐标方程之间进行转换：(2)利用点到直线的距离公式的和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出点P到直线，距离 的最小值.23 ./(%) =。-2| + |X+枭的最小值为771.(1 )求m的值；假设正实数a, b, c满足a + b + c = m,证明:a2 + 2b2 + c21.【答案】(1)解：/(x) = |x - 2| + |x + | |(x - 2) - (x + |)| =当且仅当一9WxW 2时等号成立，.”九 -(2)证明：yq。，b 0,(2)证明：yq。，b 0,(a2 4- 2b2 + c2) - (I2 + (-)2 + l2) (a + b + c)2a2 + 2b2 + c2 当且仅当Q = 2h = c = 1时取等号.【知识点】绝对值不等式的解法；柯西不等式在函数极值中的应用【解析】【分析】(1)根据条件，结合绝对值三角不等式公式，即可求解出m的值: 结合柯西不等式，即可证明出a2 + 2h2 + c2 f.