旋转几何综合题练习（含答案解析）.docx

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1、旋转几何综合题练习学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .如图，在R3ABC中,NBAC = 90。.将RSABC绕点C按逆时针方向旋转48。得到为ABC,点A在边BC上，则的大小为（）A. 42B. 48C. 52D. 582 .如图，在平面直角坐标系中，点A, C在x轴上，点C的坐标为（-1, 0）, AC=2.将RtA ABC先绕点C顺时针旋转90,再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点3 .如图，在ABC中，ZACB = 90,将ABC绕点。顺时针旋转得到DEC,使点3 的对应点恰好落在边AC上，点A的对应点为。，延长。E交A3于点忆则下列结论 一定正确的是（）A. AC = D

2、EB. BC = EFC. ZAEF = /DD. AB1DF4.如图，将AA8C绕点。顺时针旋转得到ADEC,使点A的对应点。恰好落在边A3上,点3的对应点为,连接班.下列结论一定正确的是（）ff a f故4 AEF ABC,则=,BC AB彳段设BC=EF,则有AE=AB,由图显然可知AEWAB,故假设BC=EF不成立，故B选项错误；假设NAEF=ND,则NCED=NAEF二ND,故4CED为等腰直角三角形，即 ABC为等腰直角三角形，因为题干信息 ABC未说明其三角形性质，故假设NAEF=ND不一定成立,故C选项错误;VZACB=90,AZA+ZB=90.又/A=ND,.ZB+ZD=90

3、.故ABJ_DF, D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作 为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用.4. D【分析】利用旋转的性质得AC=CD, BC=EC, NACD=NBCE,所以选项A、C不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出NA = /8C,所以选项D正确；再根据NEBC=ZEBC+ ZABC= ZA+ ZABC= 180-ZACB 判断选项 B 不一定正确即可.【详解】解：AABC绕点。顺时针旋转得到ADEC,AC=CD, BC=EC, ZACD=ZBCE,ZA=ZCDA=ZA=ZCDA=1800/A

4、CD2NEBGNBEO180。 /BCE2二.选项A、C不一定正确,A ZA=ZEBC,，选项D正确.* ZEBC= ZEBC+ ZABC= ZA+ ZABC= 180-Z ACB 不一定等于 90。,选项B不一定正确；故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.5. C【分析】根据勾股定理的逆定理求解.【详解】解：设小方格的边长为1,得，OC=S + 2? =2返，A0= V22 +22 =2a/2，AC=49/ OG+AO2= (2V2)2 + (2&y = 16, AC2=4

5、2=l6,AOC是直角三角形，NA 00=90。.故选：C.【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法是解题 的关键.6. B【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.【详解】解：MNP绕某点旋转一定的角度，得到MiNFi，连接 PPi、NNi、MMi，作PPi的垂直平分线过B、D、C,作NNi的垂直平分线过B、A,作MMi的垂直平分线过B,三条线段的垂直平分线正好都过B,即旋转中心是B.【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.7. B【详解】分析：连接BB，根据旋转的性质可得AB=AB-判断出 A

6、BB，是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB1然后利用“边边边”证明 ABCDa BBC全等,根据全等三角形对应角相等可得NABC=NBBC,延长BC交AB，于D,根据等边三角形的 性质可得BDJLAB，利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三 角形的性质求出BD、CD,然后根据BC=BD-CD计算即可得解.详解：如图，连接BB：AABC绕点A顺时针方向旋转60。得到 ABrC AB=AB NBAB，=60。，ABB，是等边三角形，AAB=BB在 ABCDa BBC中，AB=BB,AC=BC, BC=BC.ABCABBC (SSS),NABC=NBBC,

7、延长BC交AB吁D,则 BDABVZC=90, AC=BC=正，AB= d (亚)2 +(&)2 =2,BD=2x圾心2CD=yX2=l,.BC=BDCD=G-1.故选B.点睛：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰 直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关 答案第4页，共26页键，也是本题的难点.8. 90【分析】根据旋转角的概念找到NBOB，是旋转角，从图形中可求出其度数即可.【详解】根据旋转角的概念:对应点与旋转中心连线的夹角，可知NBOB，是旋转角，且NBOB，= 90。，故答案为90。.【点睛】本题主要考查了

8、旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角.9. (1, -1)【分析】连接AA、CC,作线段A4的垂直平分线作线段CC的垂直平分线右凡 直线MN和直线Eb的交点为P,点P就是旋转中心.【详解】解：直线MN的解析式为：广1,C(1,0), C(2,l),/_ + 2 0 + 1、( 1 A所以cc的中点坐标为；一，丁 ，即设直线CC的解析式为：y=kx+b,由题意:由题意:-k + b = b 2k + b = lu 3,直线CC:y = -x + -, 33(1 1 A;直线EF_LCC,且经过CC中点丁彳 (2 L)设直线政的解析式为：y = -3x + m, Q 1_ 1一3

9、XF 77?=一,22: m = 2二直线尸:=一3工+2,y = -3x + 2Li得。点坐标为：(b-i).EXA/N; Ity = -2x2 4x 3【分析】根据旋转的性质，可得。的绝对值不变，根据中心对称，可得答案.【详解】将产2f-4x+3化为顶点式，得产2 (x- 1) 2+1,抛物线y=2f - 4x+3绕坐标原点旋转180。所得的抛物线的解析式是产-2 (x+1) 2- 1, 化为一般式，得y= - lx2 - 4x - 3,故答案为产- 2, - 4x - 3.10. y = 2x-4.【分析】过点C作CDx轴于点D,易知 ACDABAO (AAS),已知A (2, 0),

10、B (0, 1),从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入求得k和 b,从而得解.【详解】解： 42,0), 3(0,1) OA = 2,OB = 1过点。作CDJ_x轴于点。，ZBAC=90,ZBAC=90,.*.ZBAO+ZCAD=90o.VZABO+ZBAO=90,AZCAD=ZABO.VAB=AC,ACD BAO(AAS).：.AD = OB = ,CD = OA = 2：.C(3,2)设直线4c的解析式为 =丘+3 将点A,点。坐标代入得JO = 2Z + b2 = 3Z+ 6k = 2,心=4直线AC的解析式为y = 2x 4 .故答案为y = 2x

11、-4.【点睛】本题是儿何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等.12.加【详解】连接MC MC根据勾股定理可求得ab=ab=Jac2 + BC? =2也,根据旋转不变性，可知NMCM，=90。，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CM二;A3二6，CM.下,所以再次根据勾股定理可求得M00+ (小丫 =回故答案为：Vio【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题时先根据勾股定理求出斜边的长, 然后根据旋转的性质和直角三角形的斜边上的中线求出CM, CMf,然后根据勾股定理可求 解10-276【分析】过点A作AH1DE,垂足为H,由旋转的性质可得AE=AD=6,

12、 NCAE=NBAD=15。， NDAE=NBAC=90。，再根据等腰直角三角形的性质可得NHAE=45。，AH=3正，进而得 NHAF=30。，继而求出AF长即可求得答案.【详解】过点A作AHLDE,垂足为H,V ZBAC=90, AB二AC,将 ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对 应点E,AE=AD=6, ZCAE=ZBAD=15, NDAE=NBAO90。,DE=7aD2 + AE2 =672. NHAE=：NDAE=45。,J AH=；DE=3 V2， Z HAF= Z HAE- Z CAE=30。,3L=平=2显 AF- cos ZHAF y/392CF=AC-A

13、F=10 2故答案为10-2#.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识, 正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.13. 16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明利用相似的性质即可得出答案.【详解】解：在正方形ABC。中，ZBAC=ZADB = 45, A/WC绕点A逆时针旋转到A/3C , ZBAC=ZBAC = 45。，ZEAF=/ADE = 45。，丁 ZAEF=ZAED, AE7aD4 9.AE EF = , DE AE/. EFED = AE2 =42 =16.故答案为：16.【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，

14、相似三角形的判定及性质，掌握正方形的 性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键.14. 82【分析】设NB=x,根据旋转的旋转得CB=CD, ZCDE=ZB=x, ZA=ZE=33, NBCD的度数等于旋转角的度数，再利用三角形外角性质得NBCD=x+33。，接着证明NCDB=NB=x, 则利用三角形内角和得到x+x+33o+x=180。,然后求出x后计算x+33。即可得到旋转角的度数.【详解】解:设NB=x,VAABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与4EDC重合，ACB=CD, ZCDE=ZB=x, ZA=ZE=33, NBCD的度数等于旋转角的度数， NBCD=NCDE+NE=x

15、+33。，在ZkBCD 中，VCB=CD,AZCDB=x,x+x+33+x= 180,解得 x=49。,旋转角的度数为49。+33。=82。.故答案为82。.【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.15. (4, 2)【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC,的垂直平分线的交点P,点P即为旋转中心.【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是尸点，P (4, 2),故答案为：(4, 2).【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的 交点即为旋转中心.16. (1)等边三角形

16、，理由见解析；(2) 5【分析】由已知帆绕点3顺时针旋转60。至3P,运用AA3C是等边三角形联想：A3绕点3 顺时针旋转60。至BC,问题转化为将AA5P绕点B顺时针旋转60。至AC3P,运用旋转的性 质解题.【详解】解：(1) AB/是等边三角形.理由：3P绕点4顺时针旋转60。至3户，. .BP = BP, ZPBP = 6O；.abpp是等边三角形.(2).ABPP是等边三角形，/. ZBPPf = 60 , PP = BP = 3, ZPPC = ZBPC-ZBPP = 150-60 = 90 ；在& /PC中，由勾股定理得pc = Jp产+0。2 =5,. ZABC = /BPP

17、= 60。,：./ABP=/CBP,在反钻。和ACBP中，AB=BC4ABP = /CBP , BP = BP：.AABP = ACBP, (SAS).PA = PC = 5.【点睛】本题考查旋转的性质-旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、 形状都不改变.18. (1) 90； (2) 120； (3)存在，ZAMD=180 -。【分析】(1)如图1中，设OA交BD于K.只要证明 BOD之AOC,推出NOBD=NOAC, 由NAKM=NBKO,得NAMK二NBOK=90。可得结论.(2)如图2中，设OA交BD于K.只要证明 BOD也AOC,推出NOBD=NOAC,由 NAKM二

18、NBKO,推出 NAMK=NBOK=60。可得结论.(3)如图3中，设OB交AC于K.只要证明 BOD也AOC,可得NOBD=NOAC,由 NAKONBKM,推出NAOK=NBMK=a.可得NAMD=1800-a；【详解】解：(1)如图1中，设OA交BD于K.图1VOA=OB, OC=OD, ZAOB=ZCOD=a, AZBOD=ZAOC, AABODAAOC, .*.ZOBD=ZOAC, VZAKM=ZBKO, 二NAMK=NBOK=90,.ZAMD=180-90=90.故答案为90.(2)如图2中，设OA交BD于K.BEAA. AC = ADB. ABLEBC. BC = DED. ZA

19、= /EBC5 .如图，点A、B、C、D、。都在方格纸的格点上，若是由 A08绕点。按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）C. 90B. 45D. 135)A.点AB.点BC.点CD.点D6 .在如图4x4的正方形网格中， MNP绕某点旋转一定的角度，得到MiNFi，则其7 .如图，在 ABC中，ZC=90, AC=BC=/，将 ABC绕点A顺时针方向旋转60。到ABC，的位置，连接CB,则CB的长为（）.BA. 1C. 2D. 272-2二、填空题8 .在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中， ABC的顶点都在格点上，将 ABC绕点。按顺时针方向旋转得到ABC1使各顶点仍在格点上，则

20、其旋转角的度数是图2VOA=OB, OC=OD, ZAOB=ZCOD=a,.*.ZBOD=ZAOC,.BODAAOC,AZOBD=ZOAC,VZAKM=ZBKO,AZAMK=ZBOK=60,ZAMD=180o-60=120,(3)如图3中，设OB交AC于K.图3VOA=OB, OC=OD, ZAOB=ZCOD=a,AZBOD=ZAOC,AABODAAOC,.ZOBD=ZOAC,VZAKO=ZBKM,ZAOK=ZBMK=a.ZAMD=180o-a.【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等.19. (1) ZBA

21、E=/CAD, BM = BE+MD,理由见详解；(2) DN = EN,理由见详解.【分析】(1)由题意及旋转的性质易得/B4C = /E4Z) = a, AE = AD,然后可证/ABE/ACD,进而问题可求解；(2)过点作垂足为点Q,交AB于点H,由(1)可得Z4BE = NACQ , BE = CD, 易证BH = BE = CD,进而可得碗=DM,然后可得,最后根据相似三角 形的性质可求证.【详解】(1)证明：9： ZBAC = ZEAD = a,：.NBAE+NBAD = /BAD+NCAD = a, /BAE = /CAD ,由旋转的性质可得AE = A。， AB=AC,J AA

22、BEAACD(SAS),:BE = CD, 点M为BC的中点，Z. BM = CM ,: CM=MD+CD = MD+BE, BM = BE+MD；(2)证明：DN = EN,理由如下：过点E作EHL45,垂足为点Q,交3C于点儿 如图所示：J ZEQB = ZHQB = 90 ,由（1）可得ABEgZiACD,ZABE = ZACD , BE = CD,; AB = AC,：.ZABC = ZC = ZABE, BQEBQH(ASA),J BH = BE = CD,： MB = MC,:.HM = DM ,? MN 工 AB,：.MN/EH ,DMNs 八DHE,.DM _DN , DH D

23、E 2：.DN = EN .【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三 角形的性质、旋转的性质是解题的关键.20. (1) FG=BF+DG； (2) EF2=BE2+FC2,理由见解析；仍然成立；(3) 15【分析】(1)把 AGD绕点A逆时针旋转90。至 ABP,可使AD与AB重合，再证明 AFGAAFP 进而得至！J PF=FG,即可得 FG=BF+DG；(2)根据 AFC绕点A顺时针旋转90。得到 AGB,根据旋转的性质，可知 ACFgAABG 得至【J BG=FC,

24、AG=AF, NONABG, NFAC=NGAB,根据 Rs ABC 中的 AB=AC 得至UNGBE=90。，所以 GB2+BE2=GE?,证 AGE丝ZXAFE,利用 EF=EG 得至Uef2=be2+fc2；将 ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点是G,同上的方法证得GC2+CF2=FG2,再设法利用SAS证得 AFGAAFE即可求解；(3)将 AEG沿AE对折成 AEB,将 AFG沿AF对折成 AFD,延长BE、DF相交于C,构成正方形ABCD,在RQEFC中，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得AG的 长，从而求得答案.【详解】(1) 四边形ABCD为正方形，AB

25、=AD, NADC=NABC=90。，把4 AGD绕点A逆时针旋转90。至4 ABP,使AD与AB重合，ADBAP= ND AG, AP= AG,V ZBAD=90, NFAG=45。，NBAF+NDAG=45。，.ZPAF=ZFAG=45,VZADC=ZABC=90,.-.ZFBP=180,点 F、B、P 共线,在 AFG和 AFP中，AG = AP /FAG = /FAP , AF = AFAAAFGAAFP (SAS),APF=FG,即：FG=BF+DG；(2) FC2+BE2=EF2,证明如下：TAB=AC, NBAO90。，NC=NABC=45。，将 AFC绕点A顺时针旋转90。得到

26、 AGB,.ACFAABG,BG=FC, AG=AF, NC=NABG=45。，ZFAC=ZGAB,，NGBE=NABG +ZABC =90。,AGB24-BE2=GE2,又NEAF=45。,NBAE+NFAC=45。，NGAB+NBAE=45。，即 NGAE=45。，在 AGE和 AFE中，GA = FA ZEAG = NEAF ,AE = AE 、AAAGEAAFE (SAS),AGE=EF,AFC2+BE2=EF2；仍然成立，理由如下：如图，将 ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点为点G,AAACGAABE,ACG=BE, AG=AE, ZACG=ZABE=45, ZB

27、AE=ZCAG,NGCB=NACB +ZACG =90。，即 NGCF=90。， /.gc2+cf2=fg2,NBAE+NEAONBAO90。，AZCAG+ZEAC=90,又NEAF=45。， ZGAF=90-ZEAF=45,，ZGAF=ZEAF=45,在 AFG和 AFE中，GA = EA /GAF = NEAF , AF = AFAAAFGAAFE (SAS),AGF=EF,.FC2+BE2=EF2；(3)将 AEG沿AE对折成 AEB,将 AFG沿AF对折成 AFD,延长BE、DF相交于C,，AAEG = AEB, AFG = AFD,二AB=AG=AD, BE=EG=3, DF=FG=

28、2, NEAG=NEAB, NFAG=NFAD, NB=ND=90。,ZEAF=45,NEAB+NFAD=NEAG+NFAG=NEAF=45。，A ZBAD=90,四边形ABCD为正方形，设 AG5 则 AB=BGCDX在 RtA EFC 中，EF=3+2=5, EOBC-BE= x-3 , FC=CD-DF= x-2 ,/. FC2 + EC2 = EF2,故(-3)2+供- )2= 2解得：王二一1 （舍去），入2=6,，AG=6,S aff =-EFAG = -x5x6 = 15 .aef 22故答案为：15.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与

29、性 质，勾股定理，三角形的面积等知识，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力, 综合性较强，难度适中.21. （1）见解析；/8+/。= 180。，理由见解析；（2）【分析】（1）根据旋转的性质得出AE=AG, ZBAE=ZDAG, BE = DG,求出NEAF= ZGAF=45,根据SAS推出4EAF也ZXGAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可 求出答案；根据旋转的性质得出AE=AG, ZB=ZADG, ZBAE=ZDAG,求出C、D、G在一条 直线上，根据SAS推出4EAF也AGAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答 案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理

30、求出NABC=NC=45。，BC=4,根据旋转的性 质得出 AF=AE, ZFBA=ZC=45, ZBAF=ZCAE,求出NFAD= NDAE=45。，证 FADAEAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x, BF=CE=3-x,根据勾股 定理得出方程，求出x即可.【详解】（1）如图1,*.把AABE绕点A逆时针旋转90至ADG,使A3与AD重合，AE = AG9 ZBAE = ZDAG, BE = DG9： /BAD = 90 , NE4r = 45 ,； ZBAE+ZDAF = 45 9：.ZZMG+ZZMF = 45,即 NEAF = /GAF = 45 ,在和产中AF =

31、AF = 180(2) ABC中，AB = AC = 2j2 ZBAC = 90：.ZABC = ZC = 45 ,由勾股定理得：bc = Nab? + 3 = J(22 +(22 = 4 ,把绕A点旋转到AEB,使A5和AC重合，连接。尸.NBAF = ZCAE,则 AF = AE, NFB4 = NC = 45。， ZZME = 45, ZFAD = /FAB+/BAD = ZCAE + /BAD = ABAC-/DAE = 90-45 = 45 ,，ZFAD = NDAE = 45 ,在E4O和E4D中AD = AD/FAD = NEADAF = AE/. FMXEAD,：.DF = D

32、E ,设。 = x,则。尸二x, . BD = 1, BF = CE = 4-1-x = 3-x9 .* ZFBA = 45, /ABC = 45。， ZFBD = 90 ,由勾股定理得：df2=bf2 + bd2x2 =(3-x)2+12 ,解得：V，J J即DE=-.3【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放 性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决 问题的能力要求比较高.22. (1)见解析；(2) ZCFA = a【分析】（1）根据“边角边”证AADB会ACE3,得到ZADB = NCB = 90。即可;（

33、2）由（1）得，/DAB = NECB,再根据三角形内角和证明/CE4 = a即可.【详解】证明：线段绕点B顺时针旋转角。得到线段的，/. BD = BE, /DBE = a. . ZABC = a , /. ZABC = ZDBE.vADlBC,:.ZADB = 90.在AAB。与ACHE中，AB = CB,/ABD = AC BE.BD = BE, 、 AADBdCEB . ZADB = /CEB = 90.s.BELCE.(2)解：AADB心CEB ,. /DAB = /ECB,又. ZADB = /CDF,/CFA = /CBA = a,【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与

34、性质和三角形内角和定理，解题关键 是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明.23. (1)证明见解析；(2) 5.【分析】(1)直接利用旋转的性质可得AP=AQ, ZB4(2=60,然后根据“SAS”证明区4P之CA。，结合全等三角形的性质得出答案；(2)由 APQ是等边三角形可得AP=PQ=3, ZAQP=609由全等的性质可得NAQC 二乙4。8=150。,从而可求/。=90。，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角一n:9.如图，在平面直角坐标系x。)，中，49。由4/13。绕点。旋转得到，则点P的坐10 .抛物线产2-4X+3绕坐标原点旋转180。所得的抛物线的解析式是.11

35、 .如图，在平面直角坐标系中，A(2,0), B(O,1), AC由绕点A顺时针旋转90。而得，则4C所在直线的解析式是C12 .如图,在心ABC中，ZC=90,将 ABC绕点C顺时针旋转90。得到A5C,M、W分别是A& 49的中点，若AC=4, BC=2,则线段的长为.Bf 形的性质结合勾股定理即可得出答案.【详解】(1)证明：线段AP绕点A逆时针旋转60。到AQ,，AP=AQ, ZPAQ=60, .APQ 是等边三角形，ZPAC+ZCAQ=60,VAABC是等边三角形， NBAP+NPAO60。，AB=AC,二NBAP=NCAQ,在BAP和aCAQ中BA = CAv ZBAP = ZCA

36、Q , AP = AQAABAPACAQ (SAS),PB二QC；(2)解：由(1)得APQ是等边三角形，AP=PQ=3, ZAQP=60,VZAPB=150,.ZPQC=150 - 60=90,VPB=QC,QC=4,A APQC是直角三角形， PC= Jpq2 + QC2 = V32 +42 =5 .【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明84P之CAQ是解(1)的关键，证明NPQC=90。是解(2)的关键.24. (1)见解析；(2) DE=AD-BE,理由见解析【分析】(1)由已知推出NADC=NBEC=90。，因为NACD+NBCE

37、=90。，ZDAC+ZACD=90,推出NDAC=NBCE,根据AAS即可得到答案；(2)与(1)证法类似可证出NACD=NEBC,能推出 ADCgACEB,得至AD=CE, CD=BE, 即可得到答案.【详解】解:(1)证明：如图1,VADDE, BEJLDE,AZADC=ZBEC=90,VZACB=90, .ZACD+ZBCE=90, ZDAC+ZACD=90, NDAC=NBCE, 在 ADC和 CEB中，NCDA = /BEC ADAC = ZECB ,AC = BCAAADCACEB (AAS)； (2)结论：DE=AD-BE.理由：如图 2, V BEX EC, ADCE, NAD

38、C=NBEC=90。，NEBC+NECB=90。，ZACB=90, NECB+NACE=90。， A ZACD=ZEBC, 在a ADC和a CEB中，NACD = NCBE JBD2-BE2 = 16-3 = V13，. NDEA = 30 ,由（2）可得:AEV13+1 - 2.a+6而工口 1 什八1 炳+ G岳 136 +炳AAEBjffiR = -xAxDG = -x-x-=-；22228如图5,当点E在的下方时,图5过点。作DG_LAE,交4的延长线于G, 同理可求：AAZ）石的面积二，xAxQG = 1x 回6、巫 =136 一 回；22228故答案为：3+月或13殍技.-88【

39、点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角 形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.13 .如图，在 ABC 中，NBAC=90。，AB=AC= 1 Ocm,点 D 为 ABC 内一点，NBAD= 15, AD=6cm,连接BD,将 ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对 应点E,连接DE, DE交AC于点F,则CF的长为 cm.14 .如图，正方形A8CQ中，AABC绕点A逆时针旋转到ABf, AC分别交对角线3。于点区尸，若AE = 4,则防D的值为.15 .如图，已知ABC,。是AB上一点，E是8c延长线上一点，将ABC绕点。顺时针方向旋转，恰好能与EDC重合.若NA = 33。，则旋转角为.16 .如图，已知点 A(2, 0), B(0, 4), C(2, 4), 0(6, 6),连接 A5, CD,将线段 A5 绕 着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A与点C重合，点8与点。重合), 则这个旋转中心的坐标为.三、解答题17 .已知，P为等边三角形内一点，且BP=3, PC=4,将BP绕点B顺时针旋转60。至 BP的位置.AP(1