FA考试：投资分析的数量方法(投资工具).docx

《FA考试：投资分析的数量方法(投资工具).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《FA考试：投资分析的数量方法(投资工具).docx（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章：正态概率分布Chapter 5. Common Probability Distributions本章简介(Introduction) P226本章的内容，是四种概率分布及它们的应用，即：the uniform；the binomial； the normal； the lognormalo本章的其他数量工具： Hypothesis testing； regression analysis； time-series analysiso不连续的随机变量(Discrete Random Variables) P227 1 定义和解释概率分布(Probability Distribution

2、s)概率分布(Probability Distributions),即将随机变量可能结果的概率予 以特定。每个随机变量都有描述它的概率分布，概率分布的方式有两种： 概率函数(probability functions)。 累积分布函数(cumulative distribution functions / distribution functions / cdf区别：连续的随机变量和不连续(discrete)的随机变量随机变量，是一个未来结果不确定的数。随即变量有两种类型：不连续的随机 变量(discrete random variable) 连续的随机变量(continuous random

3、 variable)。变量的结果能予以历数(个数有限)的随机变量，为不连续的随机变量。 2 描述某特定变量可能结果的集合定义一个概率函数(Probability function)并说明它的关键特征概率函数的表示方法是：P (X = x),它表示随机变量的值为x的概率。不连续随机变量的概率函数，可以缩写为p(x)；连续随机变量的概率函数用 f (x)表示，称之为概率密度函数(Probability density functions / density / pdf)。概率函数有两个关键特征：OWp (x) W1； 随机变量X所有值的概率 的总和等于loE (ro,t) = E (ft. t-i

4、) + E (tt-i, t-2) + +E (ro,i) = jiTo2 (ro,T)= 0 2T比拟St=S oexp (r(),T)和Y = exp (X),我们可以将未来股票价格S t的 模型作为对数正态随机变量。因为，ro,T至少应该是近似的正态随机变量。22 .给定持有期回报率HPR,计算收益的连续复利.解释蒙特卡洛模拟和历史模拟，并说明它们的应用和局限性1 .蒙特卡洛模拟的简介蒙特卡洛模拟的要旨，在爬梯之前要做的最后一件事，就是摇动梯子。就像 摇动梯子让我们接近爬梯的风险一样，蒙特卡洛模拟让我们在实施一项政策前，对 其进行试验。其目的，就是发现对复杂的金融问题的近似解决方法。作为

5、蒙特卡洛模拟整体的一局部，就是通过各种各样的假定，从概率分布中 产生大量的随机样本，以模拟各种可能的风险。蒙特卡洛模拟的应用：在实施一项政策或投资决策前，对其进行试验； 评估处于风险中的价值(Value at Risk)；对复杂的证券估价；研究院用以 测试他们的模型和投资工具。2 .蒙特卡洛模拟的步骤。 根据基础变量，明确规定感兴趣的问题的数量 (Specify the quantities of interest in terms of underlying variable)o 明确规定时 间坐标(Specify a time grid)o 对产生前在变量的风险因素，明确规定其分布假 说(

6、Specify distributional assumptions for the risk factors that drive the underlying variables)o 使用计算机程序或空白表格(spreadsheet)函数，产生每一个风险 因素的随机值。 使用上一步产生的随机观察对象，计算基础变量。 计算感兴 趣的问题的数量。 返回到第4步重新操作，直到试验的详尽数据完成。3 .蒙特卡洛模拟，是分析方法的补充。它只提供统计数据，而不能提供精确 的结果，而分析方法提供了更深刻的因果关系。4 .历史模拟(historic simulation, or back simulati

7、on),从历史纪录中取样来模 拟一个过程。第六章：取样和评估Chapter 6. Sampling and Estimation本章简介(Introduction)本章的主题：是如何取样？以及如何利用样本信息估算群体参数？取样的核 心是中心限制理论和估算(central limit theorem and estimation)0取样(Sampling) 1 定义样本随机取样(simple random samp I ing)样本(simple)随机取样，即群体中的所有元素入选的概率都相等。两种随机取样的方法：简单的随机取样(simple random sampling)和分层次的 随机取样(

8、stratified random sampling)。两类数据：横截数据(cross-sectional date)和时间系列数据(time-series date)。 2 定义并解释取样误差(sampl ing error)取样误差，即统计观察到的值和统计要估算的量之间的差。 3 定义取样分布(sampl ing distribution)一个统计的取样分布(sampling distribution),是我们从同一群体中随机抽取 规模相同的样本、并对样本进行统计计算,而得出的所有相互区别的可能值的分布。 4 区别：简单的随机取样和分层的随机取样(stratified random sam

9、pling)简单的随机取样(simple random sampling),即样本的获得是任意的，群体中的 每一个元素，都有同等的机会被选中。分层次的随机取样(stratified random sampling),即根据一个或多个分类标准， 将群体进一步分为亚群体(sub p叩ulation / strata)。然后按每一层(亚群体)的相 对规模，按比例地抽取简单的随机样本，并将这些样本集中起来。 5 时间系列(time-series)数据和横向(cross-sect i ona I )数据时间系列数据，是时间间隔相等地、不连续地收集到的一系列数据。横截数据, 是在某一时间点上的个体、团体、

10、地区或公司的特征的数据。样本平均值的分布(Distribution of the sample mean)说明中心极限定律(central I imit theorem)并说明它的重要性假定任一概率分布描述的群体有平均值以和限定的方差。2,当我们从群体中 抽取规模为n的样本以计算样本平均值x 一时，如果n足够大(n 2 30),那么可得:样本平均值x 一的取样分布是近似的正态分布； 该取样分布的样本平均值x.= 口，方差。/= o2/n o中心极限理论：能估计群体的平均值；样本统计的标准差，就是统计的 标准误差(Standard Error of Statistic)； 能够建构信心区间和测试

11、假定。 7.计算和解释样本平均值的标准差(standards error)样本平均值的标准差s x- (Standard Error of Statistic)的定义。样本统计 的标准差(Standard deviation),就是统计的标准差(Standard Error)o因此， 样本平均值x 一的标准差(Standard Error)的计算公式有二：o x- = o / Jn ；或 s x- =s / Jn 。ns2 = X (x i x - ) 2 / (n 1)i = 1群体平均值的点估算和区间估算Point and Interval Estimates of the Populat

12、ion Mean鉴别和描述估算公式的必要特性(the desirable properties)估算公式(Estimators/ estimation formulas)和估算值(estimate)o 估算值是 我们使用估算公式对样本观察对象进行计算所得出的特定值。估算值和估算公式的区别：从群体中抽取不同的样本进行重复的抽样统计时, 估算公式会产生不同的结果(即估算值)。 公正性(unbiasedness)o 一个公正的估算公式，就是它的预期值(即取样 分布的平均值)正好等于它要评估的参数。 有效性(efficiency)。如果某个公正的估算公式是有效的，那么除了该公式外, 再没有另外一个公正

13、的估算公式，就同样的参数得出具有更小方差的取样分布。一致性(consistency)。如果估算公式具有一致性，那么随着取样规模的增大, 准确的估算值(接近群体参数值的估算值)的概率也会增加。即随着取样规模无限 扩大，估算值的取样分布越来越集中于我们要估算的参数的值。这三个特征，也是选择估算公式的三个标准。 8 区别群体参数的点估算(a point estimate)和信置区间估算(a confidence intervaI estimate)对平均值或其他参数的关注，集中于两个问题：假定测试。它针对的问题 是“参数值是等于某个特定值吗？ 估算(estimation)o它针对的问题是参数 的值是

14、什么？ ”估算包括：点估算(a Point Estimates)和信置区间估算。O 点估算(a Point Estimates)按照样本平均值计算而得的群体参数的单个估算值，称之为平均值的点估算。群体平均值的信心区间(Confidence Intervals for the Population Mean)1 .信置区间的定义信置区间，即我们能够以给定的概率1a (信置度)肯定该区间包括了它要 测算的参数。这个区间称为该参数的(l-a ) %信置区间。信置区间对参数给出概率解释或实践解释。按照概率解释，例如群体平均 值95%的信置区间表示，在重复取样中，在长远上，有95%的这样信置区间将包 括

15、群体平均值。按实践解释，我们有95%的信心肯定单个该区间(95%的信置 区间)即能够包括群体平均值。2 .信置区间的建构(Construction of Confidence Intervals)参数的(l-a ) %信置区间的结构：点估算值土信赖因素X标准误差 (Point estimate Reliability factor X Standard error )o点估算值(Point estimate),即一个样本统计的值；信赖因素(Reliability factor), 是以点估算值的假定分布和信置度(1 a )为根据的一个数据；标准误差(Standard error),是提供点估算

16、值的样本统计的标准误差。 9 描述 t-分布的特征(Students t- distribution)1 . t 分布(t -Distribution),是由单一参数即自由度 df (degrees of freedom) 定义的一个对称的概率分布。2 .t分布与正态分布的比拟。假定我们从一个正态分布中取样，那么比率z= (x 4)/。/ Vn,是一个 标准的正态分布(平均值为0,标准差为1)；比率t = (x A) /s/ Vn,那么是 t分布(平均值为0,自由度为n1)。这个用t表示的比率，不是正态分布，因为它是两个随机变量(样本的平均值 和标准差)的比，而标准正态分布的定义只有一个随机变

17、量X.。然而，随着自由 度的增加，t一分布接近于标准正态分布(分布越尖锐、尾巴越瘦)。 10 计算和解释自由度(degrees of freedom)自由度的概念。对P40计算样本标准差s的公式，分母上的项(n-1)就是使 用该等式估算群体标准差的自由度数字。使用“自由度”术语其原因为：在随机样本中，我们假定观察对象的选取是 互不依赖的。假定计算有n个互不依赖的观察对象的样本的平均值，那么只有(n-1) 个观察对象是可以独立地选择的。(n1)也常常被作为根据t分布(tDistribution)确定信赖因素的自由度。12对群体方差或未知的正态分布，计算和解释群体平均值的信 置区间方差的呈正态分布

18、的群体的平均值的信置区间从方差为。2的正态群体分布中取样，那么群体平均值U的(1-a ) %信置区 间为：X - Z a/2 X o / V n标准正态分布Z (0, 1)信置区间的信赖因素(Reliability Factors)a信置区间Z Q / 2a = 0. 190%的信置区间Z o. 05= 1.645a = 0. 0595%的信置区间Zo. 025= 1.96Q = 0.0199%的信置区间Zo. oo5 =2.575随着信置度的增加I,信置区间越来越宽，对我们要估算的数据能给出的信息就 越不精确。方差未知的群体的平均值的信置区间的求解1 .方法一：z 替换法(the zAlte

19、rnative)从方差未知的任何分布的群体中取样，当取样规模较大时，那么群体平均值u 的(1a ) %信心区间为：x - z a/2 XS / Vn2 .方法二：t 分布法(tDistribution )如果从一个方差未知的群体中取样，并且满足以下两个条件中的任一条件的, 即： 样本较大； 样本较小但是群体呈正态分布或近似的正态分布。那么群体平 均值的信心区间可以表示为：X - ta/2 XS / V n计算信赖因素(Reliability Factors)的根据取样的群体样本规模较小的统计样本规模较大的统计方差的正态分布Zz方差未知的正态分布tt （或 z）方差的非正态分布Not avail

20、ablez方差未知的非正态分布Not availablet （或 z）13.从任何类型的分布中抽取大量的样本，在群体方差未知时，计算 和解释群体平均值的信置区间 1 对选择适当样本规模的问题进行讨论讨论数据挖掘偏见(date-mining bias)数据窥探偏见(Date-snooping),即以刺探他人经验性结果来引导自己的分析 而得出推论所产生的偏见。防止方法：检验新数据，以防止过分依靠过去的研究，来解释发现和得出结论。数据挖掘偏见(Date-mining bias),指重复的钻研同一数据，直至有所发现。数据挖掘偏见的四点迹象：对数据挖掘太多而又缺乏信心(Too much digging

21、/ Too little confidence)；没有过去也没有将来(No story/ No future) o防止的方法是在样本数据之外测试交易规那么。 15 讨论样本选取偏见、现存关系偏见、超前偏见、时间期间偏见。1 .样本选择偏见(Sample selection bias),即因为数据可获得性的原因，而将 某项资产排除在分析之外，由此产生的问题为样本选择偏见。2 .现存关系偏见(survivorship bias)。如果测试设计没有考虑到已经关闭、 被兼并或因其他原因离开了数据库的公司的账户，那么属于现存关系偏见。3 .超前偏见(look-ahead bias)。如果一项测试设计在测

22、试数据上使用了不能 获得的信息，那么会产生超前偏见。4 .时间期间偏见(time-period bias)o如果作为测试设计根据的时间期间，使 结果在时间一期间上特定化，属于时间期间偏见。耍注意对取样期间长度的选择。第七章：假定测试Chapter 7. Hypothesis Testing假 定洒!1 试(Hypothesis Testing ) 1 定义假定并描述假定测试的步骤假定，即对群体的说明。假定测试的步骤(Steps in the Hypothesis Testing)： 提出假定(stating the hypothesis)； 确定测试统计和它的概率分布(Identifying

23、the test statistic and its probability distribution)；有效度的特定化(Specifying the significance level)； 声明决定规那么(Stating the decision rule)； 收集数据和进行计算(Collecting the date and calculating the test statistic)； 做出统计结论(make statistical decision)； 做出经济或投资结论(make the economic investment decision)o上述第、步是假定测试的传统方法，

24、可以用p值(p-value)方法来替 代这些步骤。 2 定义和解释零假定(nul I hypothesis)和替代假定(alternativehypothesis)假定的类型有两种： 零假定(the null hypotheses),用Ho表示；替代假 定(the alternative hypotheses),用 Ha表示。零假定：除非用以进行假定测试的样本有证据说明零假定是错误的，否那么该 假定就被认为是正确。如果有证据说明零假定是错误的，那么将导致替代假定。替代假定，即零假定不成立时的假定。 3 单边(one-tai led)假定测试和双边(two-tailed)假定测试1 .假定公式。

25、假定某一群体有参数为So为该参数的一个值，对于两者 的关系可以通过以下三种方式形成零假定和替代假定：Ho ：。0对Ha ： 900(不等于替代假定)Ho：对Ha： 0 00(大于替代假定)Ho： e 20。对Ha： 9 a = O.lOo a越小, 证明零假定是错误的证据就越强。 9,定义和解释结论规那么（a decision rule）通常的原那么可以简述为：在测试零假定时，对于由特定的有效度a所决定的 给定值，我们将计算所得的测试统计的值与之进行比拟，如果我们发现两者同样极 端，或者后者比前者更极端，那么我们应该否认零假定。如果结果是否认零假定，那么可以说该结果在统计上有效；否那么，我们只

26、能说 该结果在统计上无效。否认点或临界值（rejection points / critical values）的定义。测试统计的否认点, 就是为了决定否认或不否认零假定，而与计算所得的测试统计值相比照的值。对于单边测试，反对点的表示方法是，测试统计的符号（如z、t、F等）和说 明错误类型I的特定概率a的下标（如反对点Za ）；对于双边测试，反对点的表示 方法是Za/2。【例】否认点的应用（以z测试为例，选取0.05为有效度）对于测试 H（）： 0 = 00 versus Ha ：。o该测试为有效度是0.05的双边测试，每一个尾巴的零假定测试统计分布，应 为0. 025的概率。该测试存在正负两

27、个反对点，即：Z 0. 0 2 5 = 1.96和-Z00 0 2 5 = - 1. 96o假设 Z表示计算所得的测试统计值，那么当zl. 96时，那么应该否认零假定。对于测试 H（）： 0 1.645,那么应该否认零假定。 对于测试 Ho ：。2 0 o versus Ha ：。V。o,反对点是 z0o 05= 1. 645。 如果zV L 645,那么应该反对零假定。 10 .解释信心区间和假定测试的关系两者的关系：对于测试Ho ： 0 = 0（）versus Ha ：。0,零假定条件下，当 群体参数的假定值在相应的信心区间之外时，那么零假定就应该被否认。如：对。=0.05 的 z测试（两

28、边测试），当。0。+ 1.96sx- 时（Za /2 =1.96）,那么零假定就应该被否认。平均值为U的群体的95%的信心区间是X- L96xsx-。 11 11.区分：统计结论（statisticaI decision）和经济结论（economic decision）我们应该注意假定值的统计上有效与经济上有效区别：在统计上有效，不一定义概率密度函数(Probability density function) 5 定义累积分布函数(cumulative distribution function)并根据 累积分布函数计算随机变量的概率累积分布函数 (cumulative distributio

29、n functions / distribution functions / cdf), 表示随机变量的结果位于某一范围的概率。cdf函数的功能相当于累积相对频率。连续的或不连续的随机变量的结果的累积概率分布，可以记作F(X) = P(X Wx),或 F (X) = P(X1WXWX2),或 F (X) =P (X2x)。累积概率函数(cdf函数)的特征：OWF (x) W1； (2)随着x的增加，cdf 函数或增加或保持不变。不连续的单项分布(The Discrete Uniform Distribution) P228给定不连续的单项分布(a discrete uniform distri

30、bution), 定义不连续的单一随机变量并计算概率单项分布(Uniform Distribution),即随机变量所有可能结果的概率都相等。单项分布的应用： 它是为其它概率分布产生随机数以作为随机观察对象 (random observation)的基础； 它可以用来描述结果概率相等的随机变量。贝诺里分布(The binomial Distribution) P230给定贝诺里概率分布(binomial Probabi I ity Distributions), 定义贝氏随机变量(Bernoul I i Random variable)并计算概率1 .贝诺里(Binomial)分布的功能贝诺里

31、(Binomial)分布的功能：描述有两项可能结果的随机变量的每一项结 果的概率分布。其模型是：两项选择的价格模型(the binomial Option Pricing Model, BOPM),即价格的上升或价格的下降。2 .贝氏随机变量(Bernoulli Random variable)贝诺里分布的建构元素是贝氏随机变量(Bernoulli Random variable)。假定某个 能重复进行的试验有两个可能的结果，每次试验产生的结果必为其一，这样的试验 称为贝诺里试验(Bernoulli trial)。在结果为成功时，那么丫=1;在结果为失败时，那么丫=0,那么贝氏随机变量Y的 概

32、率函数为：p (1) = p (Y=l) = p定在经济上有效。因为要考虑到交易本钱、税收和风险。经济结论不仅要考虑统计 结论，还要考虑到所有有关的经济问题。P一值（p-value）的定义，就是指否认零假定的最低有效度。如果P一值小于特定的有效度，零假定就应该受到否认；否那么，零假定就不应 该受到否认。P一值越小，否认零假定和有利于替代假定的证据就越强烈。与反对点方法相比，P一值提供了更精确的有关证据强度的信息。有关 平均值的测试（Hypothesis Tests Concernin? the Mean ）内容：第一局部，是有关单个群体的平均值是否与假定值相等的测试；第二、 三局部针对的问题是

33、：两个样本平均值之间的差（分别针对相互独立的样本和不相 互独立的样本）。12对于方差或未知的正态分布群体，进行群体平均值的假定测 试时，能确定适当的测试统计并能解释其结果（单个平均值的测试）O t测试有关潜在（underlying）或群体平均值的假定测试，一般使用t测试。t一测试，即假定测试使用的统计分布遵守t一分布。t一分布是由一个参数（即 自由度df）定义的分布。t一分布与标准正态分布的关系。相同点：对称分布；平均值为0。不 同点：标准差大于1;远离平均值的结果的概率更大。1 .方差未知的群体平均值假定测试的测试统计方差未知的取样群体，如果满足两个条件之一的，那么测试单个群体平均值R 的假

34、定测试的测试统计为：tn1 = （x - Ho） / s / Vn这两个条件是：样本的规模较大；样本的规模较小，但是取样群体是正 态分布或近似正态分布的。t为有n1个自由度的t统计（n为取样规模）；x 一为样本平均值；Uo 为群体平均值的假定值；s为样本的标准差。2 .方差未知的正态分布群体平均值假定测试的测试统计方差未知的正态分布群体，假设样本规模为n,那么群体平均值100 （1-a ） %的 信心区间为：x-ta/2L645H()： 0 W o vs. Ha ： 0 o1.28z1.28H o ： 06 o vs. H a ：-1.28z-l. 28a =0. 05Ho ： 9-00 VS

35、. Ha ： 0 7 0 01.96z1.96Ho ： 0 W Oo VS. Ha ： 0 Oo1.645z1.645Ho ： 900 vs. Ha ： 9 00-1.645z-l. 645a =0. 10Ho ： 0 = 0 0 vs. Ha ： 9 7 0 02. 575z2. 575H 0 ： 000 VS. H a ： 0。02. 33z2. 33Ho ： 000 vs. Ha ： 0 00-2. 33z0； Ho： 口】一口220 对 Ha： U i U 2 Vo O也可写成其他形式的假定，如：Ho： Ui-口2 = 2对Ha： ULU2W2,等。2 .测试两个群体的平均值之差的测试

36、统计正态分布的两个群体，其方差未知但相等，测试样本为相互独立的随机样本, 那么t测试为：t= (xi x 2) ( u 1 u 2) / (sp2 / ni) + (s p2 / n 2)I1 2计算共同方差sp2 (common variance)的联合估算公式(Pooled estimator)是:sp2 = (n 1 1) si2 + (n 2 1)S22 / (n i+n 2 2)。自由度的数字 为 n 1 + n 2-2o.测试两个群体的平均值之差的测试统计正态分布的两个群体，其方差不等且未知，测试样本为相互独立的随机样本, 那么近似的t测试为：t= (xi x 2) ( u 1 u

37、 2) / (si2 / ni) + (S22 / n2)1 2在使用t一分布表时，“修正(modified)的自由度”用下述公式计算：df =(si2 / ni) + (S22 / n 2)2 / (si2 / ni) 2 / nj+ (S22 / 02)2 / n 2关于差的平均值的测试(Test Concerning Mean Differences) 14两个正态分布的群体的差的平均值进行假定测试时（即成比照拟 测试/ paired comparisons）,能确定适当的测试统计并能解释其结果本局部的t一测试的基础是，成对的观察对象（paired observations）组成的数据。

38、 测试本身也可以称为成比照拟的测试（paired comparisons test）。假定有观察对象A、B,且样本相互关联。观察对象是成对的，用di = X Ai - XBi 表示两个成对的观察对象的差，X Ai和XBi是第i个成对观察对象。用Rd表示群体 差的平均值。Udo是群体差的平均值的假定值。那么三种方式的假定为： Ho： Ud = LldO 对 Ha： 口 dWUdO;（实践中，常令 P dO = 0） Ho： UdWUdO 对 Ha： U d U d0 ; Ho： Ud 211do 对 Ha： Ud差的平均值的标准误差（S）d - = (Edi) / n ； (i = 1, 2,，n)s d2 = ( Sdi d ) / (n1 )； (i = 1, 2,，n)s d = s a / Jn；测试差的平均值的测试统计（群体是正态分布的，方均差未知）有关方 差的假 定以I 试（Hypothesis Tests Concerning Variance ） 15 正态分布的方差进行假定测试时，能确定适当的测试统计并能解 释其结果1 .测试单个方差的假定的形成。假定单个群体的方差为。之,用。，表示方差的