例2020年济宁市中考第22题.docx

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1、例2020年济宁市中考第22题如图1,在菱形ABCO中，ABAC,点、E、F、G分别在BC、CD上,BE=CG, AF 平分NEAG,点是线段A歹上一动点（与点A不重合）.（1）求证：AE”名AGH；（2）当 A5=12, 8石=4 时.求OGH周长的最小值；若点。是AC的中点,是否存在直线OH将ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边 形的面积比为1 ：3.若存在，请求出任的值；若不存AF在，请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“20济宁22”，拖动点H在A/上运动，可以体验到，HG与E保持相等，当点落在OE上时，G+。取得最小值，OGH的周长也最小.点击屏幕左下角的

2、按钮“第（3）题”，可以体验到，当点P是AE或CE的中点时，直 线。”分成的三角形与AACE的面积比是1 ： 4.思路点拨1 .第（1）题给第（2）题提供了 HG=,于是第（2）题就是“牛喝水”问题，河流 是对称轴AF.2 .第（3）题先把分成的小三角形与ACE的面积比转化为1 : 4,再分两种情况讨论.直 线。”与AC交于AC的中点，或与CE交于CE的中点.满分解答（1）如图2,因为A3=AC, AB=BC,所以ABC是等边三角形.因为AB=AC, ZB=ZACG=60 , BE=CG,所以A3E0ZV1CG.所以AE=AG.（2）如图2,由也GAH,得HG=HE.由 3E=CG=4, DC

3、=AB=29 得。G=124=8.如图3,在DG”中，DG为定值.所以当HO+7/G取得最小值时，OG”的周长最 小.等量代换，当”O+UE取得最小值时，OGH的周长最小.当点落在线段OE上时，取得最小值（如图4所示）.如图4,作。交3C的延长线于点M.在 RtZV)CM 中，ZDCM=60 , DC= 12,所以 CM=6, DM= 673 .在 RtZXDEM 中，EM=EC-CM=S-6= 14,由勾股定理，得 DE= 4牺所以OG周长的最小值等于4M+ 8.如果分成的三角形与四边形的面积比为1 ：3,那么这个三角形的面积与ACE的面 积比是1 : 4.连结。.因为。是AC的中点，所以平

4、分ACE的面积.q 1情形一，如图5,直线。与AE交于AE的中点P,那么上”=.S&ACE 4Aj-j An 1因为OP是ACE的中位线，所以OP/CE.此时生=上,AF AC 2情形二，如图6,直线0H与CE交于CE的中点P,那么入业= _L.S ace 4因为OP是ACE的中位线，所以。P/AE.延长尸。交AD于点。，那么四边形AEP。是平行四边形，AQ=EP=4.由?!/与AAG尸关于直线A/对称，得EF=GF.设EF=GF=m.如图7,作GNL8C交的延长线于点N,那么CN=2, GN= 2百.由E/ = G/，得病=（2指）2+（1。加）2 .解得m=空.由2“厂 ” e 28）8二匚2 AHAQA S5始AH5所以 PF=EFEP=4 =-.所以 = = 4+ =所以二一.55 FHPF 52 AF7图5图6图7考点伸展在本题情景下，连结EG,那么AEG是等边三角形，A尸是等边三角形AEG的一条对 称轴.