第2章-控制系统状态空间表达式的解优秀PPT.ppt

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1、其次章其次章 限制系统状态空间表达式的解限制系统状态空间表达式的解 建立了限制系统的状态空间表达式后，本章探建立了限制系统的状态空间表达式后，本章探讨求解问题。讨求解问题。引言引言 2.1 2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.2 2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵矩阵指数函数状态转移矩阵 2.3 2.3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解 2.4 2.4 线性时变系统的解线性时变系统的解 2.5 2.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解 2.6 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化1其次

2、章其次章 限制系统状态空间表达式的解限制系统状态空间表达式的解状态空间模式的数学模型的建立 （前一章探讨的内容）系统数学模型的分析 （接下来三章的内容）揭示系统状态的运动规律和基本特性定量分析确定系统由外部激励作用所引起的响应状态方程的求解问题运动规律的精确结果定性分析确定系统行为的关键性质能控性、能观测性稳定性2 线性定常系统的运动可分为：线性定常系统的运动可分为：1、自由运动：状态方程：齐次方程x2.1 线性定常齐次状态方程的解2.1 线性定常(时不变)(LTI)系统齐次状态方程的解2、强迫运动：状态方程：非齐次方程32.1 线性定常齐次状态方程的解齐次状态方程：限制输入为零设初始时刻 t

3、0=0,则(1)若A为标量，有：(2)若A为方阵，级数矩阵称为矩阵指数矩阵指数。验证42.1 线性定常齐次状态方程的解结论:方程 当时，有此解是系统输入u=0时的解，故称为零输入解或零输入响应或自由解。的解为满足初始条件5证明：假设2.1 线性定常齐次状态方程的解两边比较系数，有：则：代入齐次状态方程得：6于是，齐次状态方程的解可表示为：2.1 线性定常齐次状态方程的解代入得：由于：定义：72.1 线性定常齐次状态方程的解解：例 已知 求 82.2 2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵矩阵指数函数状态转移矩阵2.2.1 状态转移矩阵(2)定义，称为状态转移矩阵。线性定常系统齐次状态方程 的解(1)

4、反映了从初始状态 x(t0)到随意时刻的状态向量 x(t)的一种变换关系。变换矩阵就是矩阵指数函数 。这样，线性系统的自由解又可表示(3)当 时，状态转移矩阵为状态方程解为92.2 矩阵指数函数状态转移矩阵 矩阵指数和状态转移矩阵是从两个不同的角度所提出来的概念，矩阵指数是一个数学函数的概念，而状态转移矩阵是表征从初始状态到t时刻状态之间的转移关系。状态转移矩阵的几何意义代入比较，得101、组合性（分解性）2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2.2.2 转移矩阵的基本性质2、3、可逆性114、导数2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵5、对于nn方阵，当且仅当ABBA时，有121、若A为对角阵2.2 矩

5、阵指数函数状态转移矩阵2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数2、若A能通过非奇异变换对角化，即若有 则133、若A为Jordan矩阵2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵144、若2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵 则对照151、依据定义干脆计算【例21】已知系统矩阵 求解：解：此法步骤简洁，适合用计算机计算，但无法得到解析解。2.2.4 矩阵指数的计算2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵162.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2 标准型法：(1).设A具有n个互异的特征值则有其中T满足17【例22】求 ，2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵解:1)特征值2)特征向量由 得：182.2 矩阵指数函数状态转移矩阵3)构

6、造变换矩阵则有192.2 矩阵指数函数状态转移矩阵(2).设A具有n个重特征值 ，则有 当当A A同时具有重特征值和互异特征值时，可同时具有重特征值和互异特征值时，可根据根据(1)(2)(1)(2)两原则求出两原则求出 。20例23 已知 ，求 。2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2)计算特征向量和广义特征向量，求变换矩阵解：1）求特征值212.2 矩阵指数函数状态转移矩阵3)求矩阵指数222.2 矩阵指数函数状态转移矩阵3 拉氏变换法：有：而故可用拉氏反变换求矩阵指数23例2-4 用Laplace 变换法计算矩阵指数：解：对此式采用部分分式法分解2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵242.2 矩阵

7、指数函数状态转移矩阵则有：254.化有限项法（凯莱哈密顿定理法）2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵依据凯莱-哈密顿定理，有可以有进一步，A的特征值有262.2 矩阵指数函数状态转移矩阵1)A特征根两两互异：272.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2)A有n重特征值两端对 求1至 阶导数得：解方程组可求得282.2 矩阵指数函数状态转移矩阵写成矩阵的形式为29例26 已知 ，用有限项法求2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵解：特征值：302.2 矩阵指数函数状态转移矩阵例26 已知 ，用有限项法求31例 2-7 ，求 。2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵解：（1）求A的特征值32（2）求系数2.2 矩阵指数

8、函数状态转移矩阵或解方程组1 是重根，故需补充方程33 （3）求2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵342.3 线性定常系统非齐次方程的解考虑系统：两边积分得：将x(t)左乘 后求导得：可以得到35更一般的形式为：系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；另一部分是由限制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。2.3 线性定常系统非齐次方程的解36【例2-8】系统状态方程为：求解方程。解：2.3 线性定常系统非齐次方程的解372.3 线性定常系统非齐次方程的解382.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解 矩阵差分方程的迭代法（递推法）求解方法

9、Z变换法2.5.1 递推法：考虑离散时间系统：则有：当给定初始状态x(0)和输入信号序列u(0),u(1),u(l-1)，即可求得x(l)392.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解此式称为线性定常离散系统的状态转移方程。其中，称为线性离散定常系统的状态转移矩阵。定常情形：G和H都是常值矩阵，于是可得依次递推下去，有与连续系统状态的解很相像402.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解状态转移矩阵的性质：或离散系统状态转移方程的一般形式：412.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解2.5.2 Z变换法考虑离散时间系统：取Z变换得：取Z反变换得：由解

10、的唯一性可得：422.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解例2-12 考虑离散时间系统：其中：试求u(k)=1时，系统状态方程的解。解法1：432.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解依次递推下去，可得到状态的离散序列表达式：442.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解解法2：用Z变换法，先计算452.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解则有：而u(k)=1，故462.5 离散时间系统状态方程求解离散时间系统状态方程求解经Z反变换得：472.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化2.6.1 离散化方法考虑

11、定常系统：其状态方程的解为：(1)等采样周期T：假设：482.6 连续时间状态空间表达式的离散化则有：令则令492.6 连续时间状态空间表达式的离散化则线性时不变系统离散状态方程为：令一般地502.6 连续时间状态空间表达式的离散化对于连续时间的状态空间表达式：离散化之后，得离散时间状态空间表达式为：式中结论：512.6 连续时间状态空间表达式的离散化2.6.2 近似离散化考虑系统当采样周期T很小时，有令比较两式经整理522.6 连续时间状态空间表达式的离散化记：有此即所得近似离散化方程53例：例：定常系统试求离散系统的状态空间描述。解解：先求 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化54再求故

12、离散化状态方程为:2.6 连续时间状态空间表达式的离散化55(2)接受近似离散化2.6 连续时间状态空间表达式的离散化(3)将以上两种结果对比，采样周期T很小时，两者极为接近。562.6 连续时间状态空间表达式的离散化考虑时变系统：其状态方程的解为：假设：(1)等采样周期T：2.6.3 线性时变系统的离散化572.6 连续时间状态空间表达式的离散化则有：令582.6 连续时间状态空间表达式的离散化连续系统离散化的几点说明：(1)近似离散化是一般离散化的特例(2)定常系统离散化是时变系统离散化的特例(3)一般说来，没有精确离散化(4)离散化是有条件的，“连续化”是无条件的(5)连续系统的结论可以

13、在离散系统中找到对应，反之则未必59总总 结结一、线性连续系统的运动分析一、线性连续系统的运动分析（一）线性定常系统运动分析（一）线性定常系统运动分析 1 运动的分类运动的分类 自由运动自由运动强迫运动强迫运动2 运动解的形式运动解的形式自由运动的解：自由运动的解：其中其中 为状态转换矩阵。为状态转换矩阵。强迫运动的解：强迫运动的解：603 状态转换矩阵的概念状态转换矩阵的概念定义：满足关系式定义：满足关系式称称 为系统的状态转移矩阵。为系统的状态转移矩阵。对线性定常系统对线性定常系统4 的计算方法的计算方法1)1)依据矩阵指数的定义求解：依据矩阵指数的定义求解：2)2)用拉氏变换法求解：用拉

14、氏变换法求解：3)将将 化为化为A的有限项多项式来求解：的有限项多项式来求解：总总 结结61a）A的特征值的特征值 两两相异时，两两相异时，b）A的特征值为的特征值为 (n重根）重根）总总 结结624)通过非奇异变换法求解：通过非奇异变换法求解：（1）当）当A的特征值的特征值 为两两相异时，为两两相异时，式中：式中：P、Q为使为使A化为对角线、约当规范形的变换矩阵。化为对角线、约当规范形的变换矩阵。（2）当）当A的特征值为的特征值为 （n重根）重根）总总 结结635 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质（1）可逆性：）可逆性：（2）分解性：）分解性：（3）传递性）传递性:（4）6 由状态转移矩

15、阵求解系统矩阵由状态转移矩阵求解系统矩阵A总总 结结64二、线性离散系统的运动分析二、线性离散系统的运动分析（一）线性离散系统的状态空间描述（一）线性离散系统的状态空间描述 1 将标量差分方程化为状态空间描述将标量差分方程化为状态空间描述 2 将脉冲传递函数化为状态空间描述将脉冲传递函数化为状态空间描述（二）线性离散系统的运动分析（二）线性离散系统的运动分析1 求解方法求解方法 矩阵差分方程的迭代法矩阵差分方程的迭代法 Z变换法变换法2 线性定常离散系统解的形式线性定常离散系统解的形式总总 结结65或：或：其中其中 为离散系统的状态转移矩阵。为离散系统的状态转移矩阵。3 线性连续系统的离散化线性连续系统的离散化1)三个基本假定三个基本假定2)定常系统状态方程的离散化定常系统状态方程的离散化3）近似方法）近似方法总总 结结662）线性定常系统离散化则其离散化方程为式中，G、H、C、D为常矩阵，且3）近似方法总总 结结67