7.2复数的四则运算 知识点考点总结及配套练习题.docx

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1、7.2复数的四则运算1、基础知识12、考点剖析33、过关检测6【考点目录】考点一：复数的加减运算考点二：复数的乘除运算考点三：复数代数形式的四则运算考点四：复数方程考点五：复数的几何意义1、基础知识知识点一、复数的加减运算1、复数的加法、减法运算法则：设 Z1=a + bi, Z2=c + di (a,b,c,dwR),我们规定：z, + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (/7 + d)iz2 z1 =(c-a) + (d - b)i知识点诠释：(1)复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样.很明显，两个复数的和(差)仍然是一个复数，

2、复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减)的 情形.(2)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式.2、复数的加法运算律：交换律：Z+Z2=Z2+Z结合律：:(Z1+Z2)+Z3=Z1+ (Z2+Z3 )知识点二、复数的加减运算的几何意义1、复数的表示形式：代数形式：z = a + bi几何表示：坐标表示：在复平面内以点Z(aS)表示复数2 =+切(a,beR)；向量表示：以原点O为起点，点Z(a)为终点的向量02表示复数z = a + /.Z的共规复数为9, C正确;故选：ACD.10. （2022,河南商水县实验高级中学高一阶段练习）已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的

3、 是（）A. z + ；是纯虚数 B.若z = （1 + 2i广，则复平面内W对应的点位于第四象限C.若忖=1,则二1D.已知好数z满足|z-l| = |z + l|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】CD【解析】z + W是实数，故A错误；因为z = （l + 2if=l + 4i + 4i2=-3 + 4i,所以三=一3-43所以复平面内）对应的点（一3,-4）位于第 三象限，故B错误，若卜1 = 1，则zz=|z=l,故z = ,故C正确，令z = a+i,则|+万一1| =H + 历 + 1,所以 J（a-l）2+2 =y（a + l +b，化简得a = 0,所以z = i

4、, 所以z在复平面内对应的点的轨迹为直线x二（），故D正确， 故选：CD11.（2022河北石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. z2=|z|2B. | z|2= z zC.若|z|=l,则|z+i|的最大值为2D.若z + N = 0,则z是纯虚数【答案】BC【解析】可设z = a + 6i（a,beR）,对于 A, i z2 =（a+M）2 =a2 + 2abi-b2, |z|2 = a2 +b2,则 z2 Hlz,故 A 错误;对于B,由z-z = M +历）（a-bi） = a:+/r:,则卜f =z-z ,故B正确；对于 C, z = a2 +

5、b2 =1,则|z + i| =|a + （+l）i| = J/+（.+ 1）2 = yl-b2+b2+2b+=y/2bT2易知当方=1时，取得最大值2,故C正确；对于 D, z + W = a + i + a Ai = 2a = 0，但当人=0时，z = 0,故 D 错误.故选：BC.12.（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高一期末）已知复数4,22满足4+222=5-242=生, 则（）A. |z,|=V2B. z2 =2 + iC. z.-z2=3 + iD.鲁在复面内对应的点位于第一象限【答案】 【解析】对于A, 对于B,对于C,对于D,A. |z,|=V2B. z2 =2 + iC.

6、 z.-z2=3 + iD.鲁在复面内对应的点位于第一象限【答案】 【解析】对于A, 对于B,对于C,对于D,ACD由题意得Z1+2Z2+2（2ZZ2）= 5Z =5-i+6i=5+5i,所以4=1+i.|zj = J1+ J =V2 故 A 正确：z2 =2zt -3i = 2-i,故 B 不正确;z（ z2 =（l + i）（2-i） = 3 + i,故 C 正确;Z2;20232-i;4x505+3= l + 2i,在复平面内对应的点为（L2）,位于第一象限，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13.（2022,上海市朱家角中学高一期末）若复数2满足（1” = 4+3为虚数单位），则，,

7、【答案】工-1 2 2,劭+匚,I（X - A . -7-4 + 3i （4 + 3i）（l+i） 4-3 + 3i + 4i 1 7.【解析】由（l i）z = 4+3i, z =-= - + -i ,71-i1+122 2-1 7则 z =2 2故答案为：!-：i.2 2（2022上海市浦东中学高一期末）下列说法中正确的个数是（1） 3 + il + 2i；（2）若一个复:数是纯虚数，则其实部不存在；（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；2（4）设z = l + i （i为虚数单位），若复数z + W在复平面内对应的向量为反，则向量近的模长 z为2；（5）若2 = 则炉+ 1对应的点在复平面

8、内的第四象限.【答案】I【解析】当复数不是实数时，不能比较大小，3 + i与l + 2i为虚数，不能比较大小，故（1）错误； 若一个复数是纯虚数，则其实部为0,并非不存在，故（2）错误；虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数是实数，故（3）错误；22z = l + i,复数z +- = l+i+L= l + i+l-i = 2,在复平面内对应的向量位的模长为2,故（4）z 1 + 1正确;若2 =则z$+l = l + i在复平面内对应的点为(LI)，在复平面内的第一象限.故(5)错误.正确的只有1个.故答案为：1.14. (2022上海市第三女子中学高一期末)若复数4和复数Z2

9、满足=6.= 4.|z|+zJ = 8,则 kT=.【答案】2屈【解析】设 4 =a + /?i,(a,/?eR),Z2 =c + di.(c,4wR),且 / + = 36, c2 +d2 = 16,则 Z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i ,又k+Z2| = 8,所以(a + cf+S + d)? =64,a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 =64 ,则 2c+2M = 12,因为4 -z? =(q-c) + S-d)i,所以L -zj = yl(a-c)2+(b-d)2 = ylcr+ctr + -lac-lbd=736+16-12=2而故答案

10、为：2jii .15. (2022浙江高一期中)已知zeR,关于k的一元二次方程金(2帆l)x+，1+1=。的一个根z是纯虚数，则|z + 2/|=.3【答案】j【解析】设z = ai(awOMeR),则一-a(2Ll)i + /+ 1 =。，m2 +1 - a? =o因为?eR,故 一。(2? -1) = 0 ,解得故 z + 2m = 1 i ,故 |z + 2m = Jl +； = 3 故答案为：四、解答题(2022上海市第三女子中学高一期末)关于x的方程V +g+ 13 = 0( ?eR)的两个根为巧，若玉=-3 + 2i,求实数施的值;若|不一口=3,求实数，的值.【解析】(1)由玉

11、=-3 + 2i得方程有一对共辄复数根，所以为=-3-2所以 +占=-3 + 2i + (-3-2i) = -6 = -/z,所以机=6.当 = 4x1x1320,即213时，方程有两实数根,所以玉+工2=一6，百=13,则|X -x2 = (x, +x2)-4xx2 =-4x13 = 3 ,归储 m = x6 :当 = /4xid3v0,即W/54-Jik _ -L J54-2， 、J 又 内 2，一则 W _ 引= I 屈二卜 3解行 m = /43 ;综上：实数小的值为土质或土屈.16. (2022上海市朱家角中学高一期末)已知关于x的一元二次方程2丁-履+ 3 = 0(eR)的两根为七

12、、x若为虚数，求k的取值范围；(2)若 I 3-9 1=2,求2 的值.【解析】(I)因为巧为虚数，所以二公一240，即2%2.(2)因为 2/-依 + 3 = 0( e R),所以 +%2=3，占&=|，当?()时，|x, -x212= + xj2=-6 = 4,则& = 2府；一 4当()时，I X=(X +工2)2 4XR = 6 ，= 4 则女=5综上，&的值为2或2屈.17. (2022上海市金山中学高一期末)已知复数z = a + i(cR),i为虚数单位.(1)若z是关于x的实系数方程公+ 2 = 0的一个复数根，求久的值；(2)若三为实数，求的值.1 + 1【解析】(1)若z是

13、关于x的实系数方程Y+法+ 2 = o的一个复数根,则 zz = a2+l = 2，所以。=1,所以力=-(z + z) = -2a ,所以或, b = _r（2）由题意得三=把1 = 5 +改一）1+ （）i为实数, 1 + i 1+i22所以1-。= 0,所以a = l.18. （2022上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）设。、为实数，关于z的方程（Z?-2z + 5）（z2+az + 9 = 0有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点.（1）当=力=1时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积；（2）若对应的四个点构成正方形，求实数“、/2的值.【解析】（1）

14、当。=6=1时,方程为（z2-2z+5）（z2+z + 1） = 0, n. -1 + V3i -1-V3i解得 Z = 1 + 21/=I - 21,z3 = , z4 = ,其在复平面对应的点的坐标分别为：（1,2）,（1,乎乎,如图四点围成的图形为等腰梯形面积为gx(石+ 4卜| = 3(1+4)(2)若对应的四个点构成正方形，由 z2-2z+5 = 0 的解为马=l + 2i,Z2=l-2i ,则 z2 +az+b = 0 的解为-3+2i,-3-2i 或5 + 2i,5 2i卜。= (-3 + 2i)+(-3-2i) U =(5 + 2i)+(5-2i) )8=(-3 + 2i)(-

15、3-2i)p =(5 + 2i)(5-2i)a = 6= -10解得八s或八on .19. (2022上海市浦东中学高一期末)已知复数z = (/-5a-6)+ (叱6)i(acR).若z是纯虚数，求。的值；若a + 1-5是方程x2+2x+5 = 0的一个根，求z的实部.【解析】由已知可得卜:二6 = ,解得。二一.(2)由/+2工 + 5 = 0可得(x + l=-4 = (2i)2,解得x = l2i ,a+ = 1若。+ 1-5=-1 + 2可得,解得。=一2 ；-a = 2若。+ 1-5=T-2i,可得无实数解.Q = -2综上所述，。=-2,则z = 8-8i,所以，复数z的实部为

16、8.20. (2022湖北啰田县育英高级中学高一阶段练习)已知复数z满足z2=2i (其中i是虚数单位),且兔数z在复平面内对应的点在第一象限.若z=? + i,且幺是纯虚数，求实数加的值. Z【解析】设2 =工+吊(.工)，1),由 z? = 2i 得(x+= 2i,即 x2 -y2 + 2xyi = 2i，故广？T解得归或即z = l+i或z = -l-i,2xy=2)=1y=-l因为复数z在复平面内对应的点在第一象限，所以z = l + i,. 一一 ,z, m+i +m + -m + i tn +1 -m.又4=? + i,所以= h = 7T合彳=- =+i,z l + i (l +

17、 i)(l-i)222因为幺是纯虚数，所以1 = 0且?*0,故加=-1z22知识点诠释：复数z = a+bi 复平面内的点Z(a,b) 平面向量OZ2、复数加、减法的几何意义：如果复数4、Z2分别对应于向量西、0P；,那么以。鸟为两边作平行四边形056, 对角线OS表示的向量OS就是2, + z,的和所对应的向量.对角线优勺表示的向量P0就是两个复 数的差4-Z2所对应的向量.设复数zi=a+bi, Z2=c+di,在复平面上所对应的向量为。2；、西,即0Z；、区的坐标形 式为0Z；= (a, b), 0口= (c, 4) ,以0Z；、。乙为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线0Z对 应的

18、向量是。2,由于 0Z = 0Z； + 0Z； = (a,) +(G) = (a + c/ + d),所以。Z；和。Z；的和就是与复数(a+c) +3d) i对应的向量知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算 去处理知识点三、复数的乘除运算1、乘法运算法则：设4= + ，z?=c + di (a,b,c,dwR),我们规定：Z) z2 = (a + bi)(c + di) = ac - bd) + (be + ad)iZ1 _a + bi _(a + bi)(c - di) _ ac + bd bc-ad .z2 c + di (c + di

19、)(c - di) c2 + d2 c2 + d2知识点诠释：(1)两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把尸换成7,并且把实部与虚 部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.(2)在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母 的共辗复数(分母实数化)，化简后写成代数形式.2、乘法运算律：(1)交换律：zi(z2z3) = (zlz2)z3(2)结合律：z,(z2 +z3) = zlz, +ztz3(3)分配律：zt(z2 +z3) = z,z2 +ztz2、考点剖析考点一：复数的加减运算例1. （2022黑龙江大庆中学高三期中（理）设2（z + 1） +

20、 3（z=） = 4 + 6，则2=（）A. 1-2/B. 1 + 2/C. 1 + /D. 1-/【答案】C【解析】设z = a+i,则）=4一次，贝lJ2（z + z） + 3（z-z） = 4a + 6切= 4 + 6i,4。= 4所以，/，解得 = = 1,因此，z = +i.6b = 6故选：C.例2. （2022黑龙江齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数马=-1 + 2，Z2=l-i, 4=3-2i, 则 |马 + Z2 + Z3I =.【答案】M【解析】解:由题意得4+Z2+Z3=l + 2i + l i + 3 2i = 3 i,则忆+ Z2 + Z31 =附+产=Vio ,故

21、答案为：J证.考点二：复数的乘除运算例3. （2022山西怀仁高三期末（文）复数z满足（z-l）（l-i） = 2i,则z对应复平面内的点的坐 标为（）A. （0,-1）B. （0,1）C. （2,-1）D. （2,1）【答案】B【解析】 不妨设复数z = a+加(a,beR),则有：(z-l)(l-i) = (a+bi-l)(l-i) = 2i则有：(/? + -1) + (/?-r/-l)i =0b+a-=0 b-a-=0故选：B考点三：复数代数形式的四则运算 例4. （2022云南高三期中（理）已知复数z满足（l-i）z = 3-i （i为虚数单位），贝I的虚部为A. 1B. iC. -

22、2D. -2i【答案】A【解析】心 . o xp. 3 i (3 i)(l + i) 4 + 2i _ .解：rh(iT)z = 3_i,得z = ；= = 2 + 1, l-i 22所以虚部为I.故选：A.例5.(2022.新疆一模(文)已知复数z = ： + i,则|z|=()A. VioB. 2V2C. x/5D. 2【答案】c【解析】* Jz| = /l2 + 22 =旧.* Jz| = /l2 + 22 =旧.z = A + i 2i(.-i) i = | + 2i 1 + i (l + i)(I-i)故选：C例6. （2022福建龙岩高三期中）已知复数z满足（3+i）z =（2 +

23、 ai）, |z| 二 JL则正数=（）A. -2B. -1C. 4D. 2【答案】C【解析】 又因为目=0,所以筌尸+（七2）2 =夜，解得正数0 = 4.因为(3 + i)z = (2 + ai),所以 z 二2 + ai a+ 6 3a-2.=+13+i1010故选：C考点四：复数方程例7. （2022江苏扬州中学高二期中）已知z是复数，12i和三都是实数. 1-1（1）求复数z；（2）设关于的方程d+Ml + z） -（3l）i = 0有实根，求纯虚数?.【解析】(I )设 z = a + 6i(a,be R),1-2i = o 加一2i = -S + 2)iwR ,所以-S + 2)

24、 = 0, b = -2f所以哈。,a = 2.a + ai + bi+bi2 a-b a + b.如=+1 e R所以 z = 2-2i；(2)设/ =例。0),又xeR,l-2x = 0E+3X解得l-2x = 0E+3X解得x2 +x(l + z)-(3/w-l)i = x2+x(l + 2-2i)-(3Ai-l)i =x2 +3x + 3A: + (I-2.r)i=O ,所以2I所以3例8. (2022福建泉州五中高一期中)已知复数4=2 + 5是方程9+法+5 = 0(”(),6号的一个 解.(1)求、的值；(2)若复数Z2满足122 Tbi4一利,求同的最小值.【解析】(1)依题意

25、得，(2 + i)2+/?(2 + i)+5 = 0,即(4-/+2b + 5)+(4a + )i=0,4-/ + 2 + 5 = 0所以,解得。=,Z? = -4；67 0(2)由(1)可得 4=2 + i,设 z?=x+M(x,yeR),则卜2 _zJ = J(x 2)2+()_,|z2-3i| = x2+(v-3)2，因为忆一4月4-3i|,所以J(x-2)2+(y-l)2 =/2+(),一3,整理得产x + 1.|z2| = Jx2 + y2 = yjx2 +(x+1)2 = j2x2 +2x4-1 = 2 4-g) + g，故当x = g时，闾取得最小值孝.考点五：复数的几何意义 例

26、9. (2022.全国.高一课时练习)如图所示，平行四边形Q1BC的顶点O,人，C分别对应复数0,3+2/, 2+47.求：(1)向量褥对应的复数；(2)向量直对应的复数；(3)向量而对应的复数.【解析】(I)因为A0 = -O/，所以向量示i对应的复数为-32i；(2)因为由=。4一 oC，所以向量直对应的复数为(3+2/)(2+4，)=5一2人(3)因为丽=丽+近，所以向量而对应的复数为(3 + 2/)+(-2+4i)=l+6i.例10. (2022全国高一课时练习)已知四边形。AC6是复平面内的平行四边形，0是原点，点A3 分别表示复数3 + i,2 + 4i,是。，4/3的交点，如图所

27、示，求点CM表示的复数.【解析】因为。底，0后分别表示复数3 + i,2 + 4。所以布=。4 +加表示的复数为(3+i)+(2 + 4i) = 5 + 5i,即点C表示的复数为5 + 5i, 1 S 55 5又om=3。,所以丽表示的复数为5+1，即点m表示的复数为；+彳3、过关检测一、单选题(2022上海市第三女子中学高一期末)下列命题中，真命题的个数是()(1)若复数 Z1、Z2,且 Z/Z2=0,贝 |JZ|=O 或 Z2=0（2）若复数Z|、z2,且闻=忆|,则z,=土z2.（3）若复数z,则|zf=z2.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】设4 =a +例、z2 =c

28、 + Ji ,且a, b , c, d均为实数.对于（1）, Z1 z2 =（a+bi）（c+（/i） = （ae-M）+（ad+bc）i=（）,贝ij有一：? ,，则有。二二0或 ad + be = 0c = d = O,所以4、z2中至少有一个为0, （1）正确；对于（2）,若z）=l + 2i, Z2=2 + i,此时|马|=忆| =6,但此时z产土4,故（2）错误;对于（3）,若 Z=l + 2i,则 2=5,而 z：=（l+2i）2 = l+4i4 = 3 + 4i,此时 IzlJz?, （3）错误.故选：B（2022上海华东师范大学第三附属中学高一期末）方程2x + Z=0有一个根

29、为1 + 2求人 的值为（）A. 5B. 3C. 4D. 2【答案】A【解析】由（l + 2i）22（l + 2i） + k = 0 可得，k=5.故选：A（2022上海市向明中学高一期末）设i是虚数单位,则i+i?+i3+1他的值为（）A. i+1B. i-1C. iD. 0【答案】B【解析】i+iiS + iO，-的取值周期为4,连续4项的和为0,所以i+i2+p+ i2O22=i_i， 故选:B.1. （2022河南高一期末）已知复:数z满足z-iz = 2,则|z|二（）A. 75B. V?C. 2D. 5【答案】B【解析】由题意，4数z满足z = W= 2,：）=1 +，则|z| =

30、 |l + i卜不=正l-i （l-i）（l + i）1 1 1故选:B.2. （2022.安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知复数z满足?卫= 1 + 2则复数z在复平 1-1面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D1 I 7【解析】.复:数z满足F = l + 2i, l-i/.l + zi=(l + 2i)(l-i)=l-i + 2i-2i2=3 + i , .zi = 2 + i.“辛/=2i在复平面内所对应的点（1,-2）位于第四象限.故选：D.3. （2022浙江永嘉中学高一竞赛）已知复数2 = - +且i （其中i为虚数单位），z的共枕复数

31、为 2 2z ,则下列说法箱逐的是（）A. z2=zB. （z）2=zC. z3=lD. （z）3=-l【答案】D【解析】复数z =+且i, Wz=- 222 2所以A正确;所以A正确;(可2=(_2_立=_ + i = z,所以B正确； /2222X/Z3 =2-2= 一；一半i 一;+ 手1=1,所以 C 正确： X/ X/3 = =当I,所以 D 错误. / /故选：D（2022上海市香山中学高一期末）已知关于x的实系数一元二次方程V+履+ 3 = 0有两个虚根 七和，且|%-苍| = 2/，则k的值为（）A. 2B. -2C. 2D. 2石【答案】C【解析】因为方程9+依+ 3 = 0

32、有两个虚根巧和，所以D=/-4?3 0，则25/5&2G，又由求根公式知两虚根为4T J；T 1|5-司=2拉，所以|内一回=12-产4 =2&,则疝丁 = 2上，解得2 = 2,满足要求, 所以k = 2.故选：C.4. (2022上海市七宝中学高一期末)非零复数4、z2在夏平面内分别对应向量函、函(。为 坐标原点)，若z；+z；=0,则()A.。、4、Z2三点共线B. aOZZ2是直角三角形C. AOZZ2是等边三角形D.以上都不对【答案】B【解析】设4 =4+历卜漆工0)*2 =c+MQ/w。)，则 zM，),4 (c,4)，故西=36),两=(o,d),因为z；+z”0,所以 z：=Y

33、=&.i)2,所以 Z =z2 i = (-t/ + ci),d-a d = a-或 Jc = bc = -b故 OZ = (b-a)或 OZ； = ( ,a),当0Z； = (b,F)时，?Z,-OZ； = 0,当垣= (一)时，鬲.西=0,所以。4J.OZ2,所以aOzz2是直角三角形，故。、4、z2三点不共线且aOzz?不是等边三角形.故选：B.二、多选题(2022黑龙江哈师大青冈实验中学高一期末)已知复数Z =：=，则()4 + 21A. z的实部是:B. z的虚部是白31VC. z的共钝复数为( +D. |z| =言【答案】ACD14-2i11 .【解析】FET(4 + 2i)(4 . 2户一则有：z的实部是:，A正确：Z的虚部是B错误;