2023年01483自考概率论历年归纳考点.docx

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1、第一章随机事件与概率一、根据实际情况写出事件的表达式1、A发生必然导致8发生，则Au82、A、8中至少有一个发生，记为AU33、4、8同时发生，记为A34、A发生而8不发生，记为或A 35、A与8互不相容(互斥)，即6、A与8对立(余事件、逆事件)，即8=AB* AU8 =。二、事件的运算一般出现在选择题中，可通过集合的画图方法直观分析。三、概率计算 每年基本有三题左右。1、P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)2、P(AB) = P(A-B) = P( A) - P(AB)3、4与 B互不相容时，P(A8) = 0, P(AJB) = P(A) + P(B)A与 8 互

2、为对立事件，B = A, P(A) + P(B) = P(AUB) = I，P(AB) = O,且对立5、4与8互相独立，P(AB) = P(A)P(B), P(A|8) = P(A),且A与8、印与B、印与A互相独立 6、A发生必然导致B发生，则4uB, P(AB) = P(A) 7、条件概率公式：P(A|8) =今牌四、古典概率方法：每年必考，有时独立考，有时在离散型随机变量的分布律里面考。(1) 从个物品中选择机个物品有种组合(2)将个物品进行排序有!种排法(3)五、条件概率应用题中出现“在的条件下”、“当”等字眼时多用条件概率。每年必考，有时在贝叶斯里面考，有时独立考。方法:(1)三、

3、中心极限定理的应用设随机变量X 3(,)，则一“)近似服从卜()/)分布,其中E(X) = p、D(X) = np(-p) D(X)0事件A不发生(2)设 - 心 (/ = 1,2,且 P(A) = ，乂|/,/”互相独立, 1,事件A发生则丫 = Xj近似服从N5p,npq)分布。(与第种情况类似) ;=1(3)设随机变量乂，乂2,X，互相独立同分布，且E(X,) = ，(X.) = 近似服从N(0,1)分布。, 第六章记录量及其抽样分布一、三种常用的抽样分布名称定义盼望Z-设X1, X2,X”独立同分布于标准正态分布N(),l),则/ = X+ X? + X：服从自由度为的/分布，记为/(

4、)nF设X /(?)、丫/()，旦x与y互相独立，则F = 2上服从自由度为ni与 Yin的尸分布，记为尸尸(2,)n /、(2) n-2tY设x-n(),i)、丫/()，且x与y互相独立，则，=r= 服从自由度为的 y/Y/n/分布，记为r)0(/? 1)(1) a分位数设c为当前记录量7的a分位数，则有PT c = a特殊地，Fa(njn) = !每次均有12题填空或者选择。耳其加，)二、样本均值和样本方差的盼望和方差设玉,当,甚为来自总体x的一个样本，且(X) = ，O(X) = 02,I ”1 nH = 为样本均值，$2=一(七一君2为样本方差。 i=iT aE=,D(x) = , E

5、(s2) = a2 na)当总体 X N(,/), T N(,J) n2b)当总体X分布未知(或不是正态分布)，则元近似服从N(,)(,一)斗=_1)cs/Jn s第七章参数估计矩估计和极大似然估计每次基本都考，但有时考一种，有时两种都考。一、 矩估计 环节：运用第四章知识求E(X)运用E(X)二5或七(X) = ,%求出未知参数的矩估计值 ,=|二、 极大似然估计环节:构造以未知参数为自变量的似然函数：L(e)= p(M；e)p(x2；o)p(z；e)对似然函数进行对数化解决。求出对数似然函数的驻点，即为极大似然估计三、估计量的无偏性方法：运用盼望计算公式计算估计量加勺盼望值E(。)，若E(

6、0) = O,则。是8的无偏估计。注意：设用，乂2,X”为总体X的样本，则XX?,，X”互相独立，且E(XJ = E(X)四、估计量的有效性方法：设是未知参数。的两个无偏估计，假如(假如题目没给出，可运用方差计算公式计算)，则。比a更有效。注意：设XrX2,X”为总体X的样本，则X1,X2,X”互相独立，且/)(XJ = Q(X)五、参数的置信区间正态参数总体的区间估计表(置信度为1-a)所估参数条件置信区间人已知吟,+% 吟未知5_%2（_1）5,元 + %2（-1）我一.两类错误的判断及概率第一类错误：”0成立时拒绝“0,也叫拒真错误，其概率与显著性水平a相等。第二类错误：。不成立时接受“

7、。，也叫取伪错误。六、假设检查环节：（1） 根据实际问题提出原假设“0及备择假设“I（2） 选择适当的检查记录量各种记录假设检查情况表（显著性水平为a）检查法条件检查记录量接受域检查 二04*0a2已知仁为-/2 W Ua!2心fa，检查4 = 4。 M）之M）cy 未知s1 jn-2（ - 1）/检查b 二大 2 , 2 b Wb。5）4未知j 二（MX -25；z（77-l）z2 /；（/?-1） 1-22/ w/5-l）/ Nzia（T）（3）根据给定的显著性水平a拟定接受域（4）根据样本值计算记录量的值，若落入接受域，则认为“为真，接受“。；否则，。拒绝（5） 根据实际问题写出最后结论

8、第八章回归分析一、参数的最小二乘估计方法：运用公式A=7-2区求A或4二、运用最小二乘法建立线性回归方程L 工七另一位5公式： /-加2iK = y-P六、全概率公式、贝叶斯公式全概率公式：p（3）= p（4）p（8|4）；=!贝叶斯公式：P（A=尸（4）PA）= P（a）P4）p 的p（4）p 4）1=1基本每年都考，且多数出现在大题里面，且贝叶斯公式的计算一般要运用全概率公式。七、伯努利实验的概率计算凡是题目出现“独立”、“反复”等字眼可考虑贝努利实验，在重贝努利实验中，设每次实验中事件A的概率为，则事件A恰好发生4次的概率为匕（） = C； pA （1 - p）j = 0,1,2,每年必

9、考，一般在大题中结合其他常用分布的概率一起考。第二章随机变量及其概率分布根据实际问题写出离散型随机变量的分布律X%占PPlPlPk二、根据离散型随机变量的分布律求未知参数讲解：95； P30例21P34 2运用性质：三、根据离散型随机变量的分布律求指定范围的概率讲解：98,99,100； P35 6方法：将符合范围的X值相应的概率相加四、根据离散型随机变量的分布律求其函数的分布律讲解：105； P50例2-24, P55 1 x 2环节：（1）列举函数的取值（2）将各取值相应的X的概率作为各取值的概率，如相应多个X值，则将相应的所有概率相加作为当前取值的概率五、分布函数的判断五、分布函数的判断

10、讲解：107； P38 4通过度布函数的性质判断：(1) OF(X)-00X-+CC(3)等号取在区间较小的端点处(即右连续)六、根据离散型随机变量的分布律求其分布函数讲解：108,110； P36例2-11, P38 2环节：运用各个取值将(7,+O0)划分为若干个子区间，且等号取在小端点处。第一个为。，每递增一个则累加一个概率七、 根据分布律求分布函数相应的概率讲解：111公式：歹(x) = PXR,分布函数的实质是一个特殊范围的概率八、根据分布函数求指定范围的概率讲解：113,114,115； P37例213, P382公式： (1) PXb = F(b)(2) PaX b = -F(b

11、)九、连续型随机变量的概率密度的判断讲解：118,119通过概率密度的性质进行判断：(I) /(%)0公=1十、根据连续型随机变量的概率密度性质求未知参数 讲解：121,122,123,124,125； P40例2-14, P48 2运用公式f f(x)dx = 1H、根据连续型随机变量的分布函数求概率密度讲解：128； P41例2-16, P48 3公式：/(x) = Fx)十二、根据连续型随机变量的概率密度求分布函数 公式：尸。)=匚/山十三、根据连续型随机变量的概率密度求其函数的概率密度讲解：134； P53例227、例2-29, P54例2-31公式:A(.y)= *fx(h(y)hy

12、),ayp(),其他其中x = 6(y)为),二g(x)的反函数，a,尸为x相应的g(x)的值域十四、根据连续型随机变量的概率密度求指定范围的概率讲解：135,136,137,138,139,141； P41例2-17, P49 4公式：(1) PX=a = 0(2) PaX b = PaX b = Pa X b = Pa X b =十五、常用分布的概率分布、分布函数、概率密度的互相推算常用分布列表见第四章知识点，每年必有2-3题考。十六、正态分布的概率计算172,两种方法：设XN(4，/)(I)运用公式:(a) PX/? =(空与(7(b) PaX b = PaX b = PaX b = P

13、aXy a = PXa = -(-)CT(2)运用对称性：概率密度函数的曲线关于x = 对称(a) PXjli = (b)在x = 两侧对称的任意范围，其相应概率均相同第三章 多维随机变量及其概率分布（规定：二维）、根据二维离散型随机变量的联合分布律求未知参数（x,y）的分布律可写成以下形式：X% X$PwP2%乂22* *PiP.2Pij二、根据二维离散型随机变量的联合分布律求指定范围的概率187,； P63例33 P72 2, P80例3-25, P81例3-26, P83 2, P84方法：将符合范围的概率相加三、根据二维离散型随机变量的联合分布律求边沿分布律197环节：（1）列举某一随

14、机变量的值（2）分别对每个值相应的所有概率相加，构造一维随机变量的分布律四、根据二维离散型随机变量的独立性求未知参数199公式：P（X=xi1Y = yJ = PX=xiPY = yJ五、根据二维连续型随机变量的联合概率密度求未知参数公式：/。,），）如6，= 1六、根据二维连续型随机变量的联合概率密度求指定范围的概率方法：在指定范围上对联合概率密度进行积分七、常用分布的概率密度与分布函数的互相推算（I）均匀分布联合概率密度：,为。为面积f（x,y） = JS.0,其他（2） 指数分布（当x和y互相独立）理八八相N将。、k1_/3）（1-小）,为030 联合分布函数：F（x,y） =j,0,其

15、他联合概率密度-）J”广M*。,），。|o,其他（3） 正态分布（当x和y互相独立）联合概率密度:边沿概率密度:AU）=八、根据二维连续型随机变量的联合概率密度求边沿概率密度，并判断独立性一般情况：直接运用积分计算公式：fx（x） = jf（x,y）d）-oo a- +co ； 4（y） = J： /（x,y心,yo _y+ 0, y 0（）,其他联合概率密度：/*,），）=44外乜。xo,），o （）,其他l-e-,y0，Fy（y） = 0o淇他,0,其他边沿分布函数：Fx（x） =边沿概率密度：fx（x） =（2）正态分布（一必（一也）2联合概率密度：/（x, y） =e 252犬边沿概率

16、密度：fx（x） = -fe 2后,fy（y）= -e 72 兀 a72 兀 o?九、十、根据二维连续型随机变量的联合分布函数求联合概率密度公式.n 么式&)二-公式.n 么式&)二-运用独立性计算指定范围的概率 一般公式：PXx.Yy = PXxPY024连 续 型均匀分布X U(a,b)F(x) = 0, x 。x-a /.,axb,!,axbf(x) = b-ao,其他a + b2(b-a12指数分布X (2)F(x)=0,x() 0,x01I1不正态分布X N()N(0,l) (Ti一727ro2 b二、运用定义计算离散型随机变量的E(X)、E(X?)、E(XY) X E(g(X)环节

17、:(1) 写出相应的分布律(参考第二章第六个知识点)运用定义公式E(X) =，xiPi计算 f三、运用定义计算连续型随机变量的E(X)、E(X2)x E(g(X)方法：(1) E(X)= xf(x)dx J -OGE(X2)=Cxf(x)dx(2) E(g(X) =匚g(x)/(x)公四、运用定义公式计算随机变量的方差环节：(1) 运用本章第二个知识点或第三个知识点计算E(X)、E(X2)o注意：若为二维随机变量或一维随机变量的函数，则先进行以下解决，再根据解决后的结果进行上述计算。a)若为二维随机变量，则运用第三章的第三个知识点或者第八个知识点求出边沿概率分布。b)若为随机变量的函数，则运用

18、第三章的第四个知识点或者第十三个知识点求出其概率分布。(2) 套用公式。(X) = E(X2)-E(X)/计算方差(若已知E(X)、D(X),也可通过此公式求解E(X?)五、运用性质公式计算随机变量函数的盼望和方差(1) 盼望的性质a) E(aX +b) = a - E(X) + bb) E(ClX + C2r)= C,E(X) + C2E(Y)c)若 X、y 互相独立，E(XY) = E(X)E(Y)(2)方差的性质a) D(aX+b) = a2D(X)b)若x、y互相独立，则有 o(GX + C2y)= c；o(x)+c；o(y)六、运用公式计算协方差（I）若题目给出离散型随机变晟的分布律

19、，则可运用定义计算E（X）、E（y）、E（XY）,再运用公式Cm，（x, Y）=七（XV）- E（x）E（y）计算（2）若题目给出连续型随机变量的概率密度，则运用公式Coy（X,丫）=广E（X）（y - E（y）/（x,），）公力计算J-00 J-CO（3） 若题目给出 O（X）, D（Y）, pXY,则可运用 Cov（X,Y）=%丫 JD（X） 7D（Y）计算（4） 若题目给出0x?=O,则必有aw（x,y）= o（5） Cov（aX.hY） = abCov（X,Y）, Cov（X, + X2,K） = Cv（X, Y） + Cov（X2,Y）七、运用协方差公式计算方差公式：D（XY） = D（X） + D（Y）2Cov（X,Y）八、运用公式计算相关系数方法：(1)公式：PXY =Cov(Xy)/D(XigY)（2） 若x与y互相独立，则x与y不相关，即Oxy =o或。可乂,丫）=0；反之不然。（3） 若二维随机变量（x,y）服从二维正态分布N（M，2，b；，W，P），则x与y不相关（即Oxy=o或G”（x,y）=o）。乂与丫独立第五章 大数定律及中心极限定理每次考试均有一题，基本为填空或者选择，建议熟记以下情况。一、切比雪夫不等式公式：尸|乂一七（乂）但工岑）或尸|乂一后（乂）| 0, lim竺 ao