第3讲　解析几何热点问题.docx

《第3讲　解析几何热点问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3讲　解析几何热点问题.docx（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第3讲解析几何热点问题限时训练(建议用时：45分钟)选题明细表一、选择题知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,3,4, 5, 8,9相交弦或中点弦问题2,6, 7, 10涉及直线与圆锥曲线的几何证明问题111.已知抛物线C:yMx, C上一点M(xo, y) (y0)到焦点F的距离为5, 直线1过点N(-l, 0),且1OM,则直线1与抛物线C的交点个数为 (C )(A)2 (B)l 或 2(C) 1 (D) 0解析：由| MF |二汽+勺5,抛物线C: y2=4x,2有 M(4, 4),故 koM=l,直线 l:y=x+l.由 =笠； (y = % + 1,可得y2=4 (y-1),解

2、得尸2,故直线1与抛物线C只有1个交点.故选C.22(2020 福建泉州第一中学月考)直线尸x+2交椭圆二十一二1 (m0)于 m 448两点,若即|二3位,则111的值为(B )(A)16(B)12 (C)2V3(D)3解析:法一 由椭圆至+1=1,则一个顶点为(0,2),m 4而直线y=x+2也过(0, 2),所以A(0, 2)为直线与椭圆的一个交点，设 B (xB, yB),则 I AB | = J xB-xA)2 + (为-%)2=V1 + k2 | xb-Xa I =V2 | xB I =372,解得 xb=3,所以B(-3, T)或B(3, 5)(不合题意,舍去)，把B(-3, -

3、1)代入椭圆方程得故W12. m 4故选B.法二 设 A (xA, yA), B (xB, yB),，y = % + 2,由. / y2 得(4+m) x2+4mx=0,l嬴 + 7=L所以 Xa=0, Xb=F”, 4+m又 | AB | 二 J (%B-犯)2 + (如-为)之=1 + M | Xb-Xa I = 72 | XB | ,所以也答1=3企, 4+m因为m0,所以产=3,故m=12.故选B. 4+m2. (2020 安徽皖南八校联考)若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,设点P的坐标为(a, b),则过点P的一条直线与椭圆+白1的公 共点的个数为(C )(A)0

4、 (B)l (02 (D)l 或 2解析：由题意得，圆心(0, 0)到直线ax+by-3=0的距离为7=1遮,所Va2+d2以 a2+b23.又 a, b 不同时为零,所以 0a2+b23.由 0a2+b23,可知 |a|V3, |b| 0,b0)的左、右焦点分 bz别为Fl, F2,右顶点为A,过F.作斜率为k(k0)的直线1,与双曲线右支 交于点M,与y轴交于点N,点M在x轴上的射影是F2.若直线AM, AN的 倾斜角互补，则k=( D )(A)| (B)| (C)| (D)i解析:由题意可知，点 A (a, 0), Fi (-c, 0), F2(c, 0),所以直线1的方程为尸k(x+c

5、),所以点N(0, kc),因为点M在x轴上的射影是F2,所以点M(c, 2kc), 所以直线AM, AN的斜率分别为kAM=, kA后竺， c-a -a因为直线AM, AN的倾斜角互补，所以*+心坦上+竺=0,化简得 c-a -a3由双曲线的定义可得，iMFj-lMFzlYa,所以 J (c + c)之 + (2/cc) 2-2kc=2a=|c, 化简整理得解得故选D.4. (2020 黑龙江佳木斯一中月考)若点A, F分别是椭圆1+：口的左 4 3顶点和左焦点,过点F的直线交椭圆于M, N两点,记直线AM, AN的斜率为k/力且满足三+91,则直线MN的斜率为(B )七比2(A)2 (B)

6、f (* (D)| 35222解析:点A, F分别是椭圆十一=1的左顶点和左焦点,所以椭圆的左焦 43点坐标为左顶点坐标为A(-2,0),由题意可知,直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点,所以直线MN的方程可设为y=k (x+1)，设M (xi, yJ, N (x2, y2), y = /c(x + 1),联立直线方程与椭圆方程m *+ V= 1，43化简得(4k2+3) x2+8k2x+4k2-12=0,所以xi+x2-所以xi+x2-8k2_4k2-124k2+3 BL 4k2+3因为k尸含，心会 代入三+Jl,ki k2可得%i + 2+%2+2 %i+2 + %z + 2

7、271-2+3(11+%2)+4yi 乃 九(工1 + 1) k(x2 + l) /C(X1X2+x1+x2 + 1)将X2一黑，X百嘉代入得2厘+3品+4旗携詈一号1)二1,通过解方程可得故选B.226. (2020 河北石家庄二中月考)已知直线L与双曲线1 (a0, b0)交于A, B两点,且AB的中点M的横坐标为b,纵坐标不为0,过M且与直线L垂直的直线b过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为(A)U 2B )(B)后(D)怦解析：由题意知直线L与k的斜率存在且都不为0.设 A (xi, yi), B (x2,设，M (b, yM),由两式相减得(X1ZX2) (x1+x2)(y1-y2

8、) (yi+y2)Qa2b2心=无= 2Xi-x2 11 ki2 yMX + %2 = 2b,yi += 2ym，则可得a2=bc,即 a4= (c2-a2) c2,有 ee2l=0,得 e?二军, 2所以e=J学.二、填空题7.已知双曲线-1=l(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线 a2匕已xJ2py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且IAF | 二c,则双曲线的渐近线方程为.解析：抛物线xMpy的准线方程为 尸-a与双曲线的方程联立得222x2=a2(l+),根据已知得 2(1+)=c?.由 |AF|二c,得a?二0?.由 4匕/4匕44可得a-b2,即

9、a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=x.答案:尸土X8.已知抛物线C:y=2mx2(m0),焦点为F (0, 1),定点P(0, -2).若点M, N 是抛物线C上的两相异动点,M, N不关于y轴对称,且满足kPM+k,N=0, 则直线MN恒过的定点的坐标为.解析:抛物线C的标准方程为乂2=户,焦点为(0,2)，所以2=1,所2m3m8m 8以 x2=4y.设 M(Xi,金,N(X2，今， 44n,互+2爰+2贝ll kpw+kpN+-0, X1 X2整理得(X1+X2) 6凶+8)=0,由于M, N不关于y轴对称,所以恒有XiX2=-8,直线 MN 的方程为 y立二l(xx)=x, 44

10、44即尸也1%_2, 44即 y=x+2,所以直线MN恒过定点(0,2).答案：(0, 2)229. (2020 安徽省蚌埠市二中模拟)已知椭圆巳+2=1(ab0)的离心 az bz率为唱过椭圆上一点M作直线MA, MB交椭圆于A, B两点,且斜率分别为k., k2,若点A, B关于原点对称,则k, kz的值为.解析:因为椭圆之白1(ab0)的离心率是e金底等， a2 b2aa2 2化简得a=2b,于是椭圆的方程可化为x2+4y2=4b2.设M(m, n),直线AB的方程为kkx,可设 A (x0, kx0), B (-Xo, -kx0).Pl!j m7n 2-Xq 4/c2%Q-4n2 4，

11、 即 ki k2二-士 答案u 4三、解答题10.在平面直角坐标系中，椭圆C：4+=l(ab0)的焦距为2,且过点 Q2 b2(1,争.(1)求椭圆C的方程；过椭圆C左焦点F.的直线1 (不与坐标轴垂直)与椭圆C交于A, B两点，若点 H(-；,0)满足|HA| 二 |HB|,求|AB|.解：(1)由题可知0=1,又争七二1, aW+1,a，2b乙所以5+乂 ；1az 2(az-l)所以 2aL5a2+2=0,所以 3-2)(2a2T )=0,又a2”,所以 界2, b2=l,所以椭圆C的方程为十+y2=1.+4n2=4b2,Xo+4k2x=4b2, m2-x=4k2x-4n2,fWkl.k.

12、,JZo n. x0-m -x0-m_n2-k2XQ_ n2-k2XQ设 A(xb yi), B(x2, y2), AB 中点 P(xo, y0),直线 AB 的方程为 y= k(x+l),y = /c(x + 1),由产 9 可得(21?+1”2+416:+21?-2=0, 彳+ y = 1，Xi + X2 X2_ 4k22H + 1_ 2好一2-2k2+l f所以“厅就，所以P(就，品)， 所以 kpnk-_l, k 所以第2k二T， 2k2+1十3所以k2=l,所以k=l,所以 Xi+x2=-1, X1X2=O,所以 I AB | =V1 + fc2 J (%i + %2)2-4x1x2

13、=V1 + 1X J(T)2二竽11.已知抛物线y2=-2px (p0)的焦点为F, x轴上方的点M(-2, m)在抛 物线上,且| MF14直线1与抛物线交于A, B两点(点A, B与M不重合), 设直线MA, MB的斜率分别为L, k2.(1)求抛物线的方程;(2)当k.+k2=-2时,求证:直线1恒过定点,并求出该定点的坐标.解：(1)由抛物线的定义得I MF I鸟- (-2)所以p=l,则抛物线的方程为yJ-2x.(2)由(1)可知，点M的坐标为(-2, 2),由题意得直线1的斜率存在且不为零，设直线1的方程为尸kx+b,设A(xi, yi),B(x2, yj,将直线1的方程与抛物线的

14、方程联立得 y = kx + b, ,y2 = 2x, 则 kx2+(2kb+2)x+b2=0,所以 X1+X2= 2鲁 2, X1X2=3, KK又 ki+k2=又 ki+k2=+了2-2_%2+22,BP (kxi+b-2) (x2+2) + (kx2+b_2) (Xi+2)=-2(Xi+2) (x2+2), 2kxix2+2k (xi+x2) +b (xi+x2)-2 (xi+x2) +4b-8=-2xiX2_4 (xi+x2) -8, (2k+2) XiX2+ (2k+b+2)(X1+X2) +4b=0,将代入得 b2-b-2-2k(b+l)=0, 即(b+1) (b-2-2k)=0,得 b=-l 或 b=2+2k,当b=-l时,直线1的方程为y=kx-l,此时直线1恒过定点(0,-1);当b=2+2k时，直线1的方程为y=kx+2k+2=k(x+2)+2,此时直线1恒过定点(-2, 2)(舍去)，所以直线1恒过定点(0,-1).