第三章随机变量的数字特征介绍优秀PPT.ppt

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1、1随机变量的数字特征随机变量的数字特征概述概述 分布函数能完整地描述随机变量的统计特性分布函数能完整地描述随机变量的统计特性.但在某但在某些实际问题中，并不须要全面考察随机变量的变更状况，些实际问题中，并不须要全面考察随机变量的变更状况，而只须要知道随机变量的某些特征，因而并不须要求出它而只须要知道随机变量的某些特征，因而并不须要求出它的分布函数的分布函数.例如，在评定某一地区粮食产量的水平常，例如，在评定某一地区粮食产量的水平常，在很多场合只要知道该地区的平均产量；在很多场合只要知道该地区的平均产量；又如又如,检查一批棉花的质量时，既须要留意检查一批棉花的质量时，既须要留意纤维的平均长度，又

2、须要留意纤维长度与平均长纤维的平均长度，又须要留意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好质量就较好.2随机变量的数字特征随机变量的数字特征概述概述 与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征的重要特征.本章将介绍随机变量的常用数字特征：本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差与相关系数数学期望、方差、协方差与相关系数.3第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征v数学期望数

3、学期望 v方差方差v协方差与相关系数协方差与相关系数4引例引例有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.20.50.3试问哪个射手本事较好？试问哪个射手本事较好？5击中环数击中环数8910概率概率0.30.10.6 若两个选手各射若两个选手各射N枪，则枪，则甲的平均环数为：甲的平均环数为：(80.3N90.1N100.6N)/N=9.3，乙的平均环数为：乙的平均环数为：（80.2N90.5N100.3N)/N=9.1.击中环数击中环数89

4、10概率概率0.20.50.36 甲平均射中甲平均射中9.3环，乙平均射中环，乙平均射中9.1环，因此甲环，因此甲射手的本事好些射手的本事好些.在这一问题中，以平均值的大小为准则，来在这一问题中，以平均值的大小为准则，来判定射手的射击水平的凹凸判定射手的射击水平的凹凸.由此产生了随机变由此产生了随机变量的数学期望量的数学期望E(X)的概念的概念.仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击水平的凹凸还不够水平的凹凸还不够.例如，例如，7 射手甲射手甲击中环数击中环数8910概率概率0.4 0.1 0.5 射手乙射手乙击中环数击中环数8910概率概率0.2 0.5

5、 0.3试问哪个射手本事好一些？试问哪个射手本事好一些？若两个选手各射若两个选手各射N枪，则枪，则甲的平均环数为：甲的平均环数为：(80.4(80.4N90.190.1N100.5100.5N)/N=9.1=9.1，乙的平均环数为：乙的平均环数为：（80.280.2N90.590.5N100.3100.3N)/N=9.1=9.1.8 这时，可用量这时，可用量 来衡量来衡量射手的射击水平的高低射手的射击水平的高低.D(X)它它表示射击环数表示射击环数对平均值的离散程度对平均值的离散程度.D(X)的值越小，表示射击的值越小，表示射击环数环数x越集中在平均环数越集中在平均环数E(X)的附近，这意味着

6、的附近，这意味着射手的射击水平越稳定射手的射击水平越稳定.由此便产生了方差的由此便产生了方差的概念概念.9v 随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质10数学期望的定义数学期望的定义离散型离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 .即即11数学期望的定义数学期望的定义连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若

7、积分，若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为E(X).).即即12例例1 求二项分布求二项分布 的数学的数学期望期望.解解13例例2 求泊松分布求泊松分布 的的数学期望数学期望.解解14例例3 随机变量随机变量X取值取值 对应的对应的概率为概率为求数学期望求数学期望.解解 尽管尽管但由于但由于15例例4随机变量随机变量X X听从指数分布听从指数分布解解求数学期望求数学期望.1617例例51819 Y 1500 2000 2500 3000 P0.09520.08610.07790.740820随机变量函数的数学期望

8、随机变量函数的数学期望21P64例例4.5改为改为X1 0 2 pk 1/4 1/2 1/4 22P64例例4.623例例4.7 若将这两个电子装置串联连接组成整机，若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命求整机寿命(以小时计以小时计)N的数学期望的数学期望.由两个相互独立工作的电子装置，它们由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命的寿命 服从同一指数分布，其服从同一指数分布，其概率密度为概率密度为 242526例例72728作业作业P801求求E(X),2求求E(X),3.29离散型离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的

9、和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为 .即即30连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分，若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称 的值为随机的值为随机变量变量X的的数学期望数学期望（或均值），记为（或均值），记为E(X).).即即31随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望32随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望33随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望34随机向量的重量的数学期望随机向量的重量的数学期望则有则有35随机向量的重量的数学期望随机向量的重量的数学期望则有则有36例例4.837

10、383940例例414243例例94445464748数学期望的性质数学期望的性质49数学期望的性质数学期望的性质50随机变量随机变量X X听从正态分布听从正态分布求求X的数学期望的数学期望.515253P67例例105455例例10 56即5758例例11 59矩的概念矩的概念60练习练习P801361作业作业P8010，1962v随机变量的方差随机变量的方差方差的定义方差的定义方差的性质方差的性质6364随机变量方差的定义随机变量方差的定义65方差与数学期望的关系方差与数学期望的关系66例例12 67例例13 68例例14 6970例例15 71例例16 72P69例例13 X 28 29

11、 30 31 32 p 0.10 0.150.500.15 0.10 Y 28 29 30 31 32 p 0.13 0.170.400.17 0.1373P69例例4.1474方差的性质方差的性质75例例17 7677P70例例1578例例4.16 7980P70例例4.1781P71例例4.188283练习练习P80784作业作业P806,8,1485v协方差与相关系数协方差与相关系数定义定义性质性质不相关与独立不相关与独立86协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义8788协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义89协方差与期望、方差的关系协方差与期望、方差的关系90P72例例4

12、.19919293例例4.20 94959697协方差协方差、相关系数的性质相关系数的性质98例例4.21 证明证明99100101不相关与独立不相关与独立102例例21 103104105例例22 X Y -2 -1 1 2PY=i 1 0 1/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2PX=j 1/4 1/4 1/4 1/4106107设设(X,Y)听从二维正态分布听从二维正态分布,它的密度函数它的密度函数为为108109练习练习P8112110111112作业作业P8111,16113v大数定律大数定律马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式依概率收敛与大数定律依

13、概率收敛与大数定律几个常用的大数定律几个常用的大数定律114马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫不等式马尔可夫不等式115马尔可夫与切比雪夫不等式马尔可夫与切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式116例例23 117118119例例24 X 0.3 0.6 P 0.2 0.8120121依概率收敛与大数定律依概率收敛与大数定律依概率收敛依概率收敛122依概率收敛与大数定律依概率收敛与大数定律依概率收敛的意义依概率收敛的意义123依概率收敛与大数定律依概率收敛与大数定律大数定律的意义大数定律的意义大数定律给出了在试验次数很大时频大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的

14、稳定性，从理论上确定了用率和平均值的稳定性，从理论上确定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性合理性.它既验证了概率论中一些假设的它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体合理性，又为数理统计中用样本推断总体供应了理论依据，所以说，大数定律是概供应了理论依据，所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律率论中最重要的基本定律.124几个常用的大数定律几个常用的大数定律切比雪夫定理切比雪夫定理125切比雪夫定理的特殊状况切比雪夫定理的特殊状况126几个常用的大数定律几个常用的大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律127几个常用的大数定

15、律几个常用的大数定律贝努里大数定律的意义贝努里大数定律的意义虽然个别事务在某次试验中可以出现虽然个别事务在某次试验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即一个随机事务出现呈现明显的规律性，即一个随机事务出现的频率在某个固定数的旁边摇摆，即所谓的频率在某个固定数的旁边摇摆，即所谓“频率稳定性频率稳定性”.128几个常用的大数定律几个常用的大数定律辛钦大数定律（弱大数定律）辛钦大数定律（弱大数定律）129例例25 130131人有了学问，就会具备各种分析实力，明辨是非的实力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富学问，培育逻辑思维实力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培育文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的学问面。有很多书籍还能培育我们的道德情操，给我们巨大的精神力气，鼓舞我们前进。