空间直角坐标系 (2) 教学设计.docx

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1、空间直角坐标系知识梳理1 .右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、Z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；已知点的坐标。（x,y,z）作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（x0时）或负方向（x0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（歹0时）或负方向（歹0时）移动|歹|个单位，最后沿由正方向（z0时）或负方向（z0时）移动|z|个单位，即可作出点已知点的位置求坐标的方法：过户作三个平面分别与由、y轴、z轴垂直于4民。，点4民。在x轴、V轴、z轴的坐标分别是dRc,则（Q,b,c）就是点P的坐标2、在x轴上的点分别可以表示为（内0。）、（0力。）4099）,在坐标平面xQy

2、， xOz, yOz内的点分别可以表示为（冉/0）,（4色点,（0力工）;3、点P（q. 6. c）关于x轴的对称点的坐标为点。（q/, c）关于轴的对称点的坐标为（-4也-c）；点P（Q.b.c）关于z轴的对称点的坐标为（-圆-6工）；点。（a/,c）关于坐标平面的对称点为（。力、-0）；点P（a,b,c）关于坐标平面xOz的对称点为（内-4。）；点。（a/,c）关于坐标平面yOz的对称点为（-。力工）；点P（ahc）关于原点的对称点-c）。4 .已知空间两点P（x”弘,马）。（X2，/2）,则线段R9的中点坐标为（土产,空工幺产）.空间两点间的距离公式已知空间两点PCX/*）。,%/2），

3、则两点的距离为I。|= J。一+（口一匕I +亿一 Z2r ,特殊地，点到原点。的距离为I /。|=+ 72 +?2 ；5.以。(Xo/o，Zo)为球心，尸为半径的球面方程为(X /)2 + (y %)2 + Q z0)2 =户特殊地，以原点为球心，r为半径的球面方程为一+上+ z2 =，重难点突破重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点：在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用.借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1

4、:点P(力,。)到y轴的距离为解析借助长方体来思考，以点为长方体对角线的两个顶点，点P(q/,c)到轴的距离为长方体一 条面对角线的长度，其值为Jq2+021 .将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2:对于任意实数X,y,Z,求正 + y2 + z2 +&+ 1了 + (, 2、+(Z 1)?的最小值解析在空间直角坐标系中，yjx2 +y2+z2 + 7(x + 1)2+(j-2)2+(z-1)2表示空间点(x4,z)到点 (0,0,0)的距离与到点(-1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(-1,2,1)之间的线段长，所以 yX2 + y1 + Z2 + J(x +

5、1)2 + (y 2)2 + (z _ )2 的最小值为、为 O.利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直判断空间三点是否共线得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1:空间直角坐标系题型1:认识空间直角坐标系例1 (1)在空间直角坐标系中， =4表示()A.歹轴上的点B.过y轴的平面C.垂直于歹轴的平面D.平行于y轴的直线(2)在空间直角坐标系中，方程j7= x表示A.在坐标平面X0中，1, 3象限的平分线B.平行于z轴的一条直线C.经过z轴的一个平面D.平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系，可以类比平面直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标

6、系中，方程x = l 表示所有横坐标为1的点的集合解析(1)表示所有在y轴上的投影是点(0,凡0)的点的集合，所以y表示经过点(0,凡0)且垂直于y轴的平面(2)方程y = x表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1, 3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系，可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点(aQO)且垂直于x轴的平面上的点都可表示为(a,z)题型2:空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点。(/,o)关于z轴的对称点为6,点关于平面xQy的对称点为则巴的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直

7、角坐标系中的对称关系解析因点。和关于z轴对称，所以点尸和 b c B. c b a C. c a bD. b c a解析借助长方体来思考，a、b、。分别是三条面对角线的长度。.q = 5) = JF7,c = 5,选C考点2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例3 如图：已知点/(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点8,使得恒成立？若存在，求出8点的坐标；若不存在，说明理由。【解题思路】转化为距离问题，即证明。42 + /82=必2解析设 尸(0,0,。)3(0,“0),对于。z轴正半轴上任意一点P,假设在Oy轴上存在一点8,使得力 则

8、 PA2 + AB2 = PB2(0-I)2 + (0-1)2 + (c Op + (1-0)2 +(1-b)2 + (0 Op = (0 0)2 +(0-bY + (c 0)2即3 + (6 1)2=/,解得：b = 2所以存在这样的点8,当点B为(0,2,0)时，恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线 问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】.已知4(x,5 x,2x l),8(l,x + 2,2 x),当4,3两点间距离取得最小值时,x的值为()8819A. 19B.C. -D.7714解析I1=必-1)2 + (3_2x)2 +

9、(3%_3)2 = V14x2-12x + 19 = J14(x-1)2+1|力创取得最小值Q当X =一时, 74 .已知球面(x 1)2+3 + 2)2+(Z 3)2 =9,与点力(3,2,5),则球面上的点与点Z距离的最大值与最小值分别是 o解析球心C(l,-2,3),4。= 6，球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9和3.已知三点。(凡0,3),是否存在实数% 使A、B、C共线?若存在，求出Q的值;若不存在，说明理由。解析8 = J(-1-1)2+(1 2)2+(2 + 1)2 =旧,AC = J(-1-4)2 +(1 0)2 +(2-3)2 = J(Q + 1y+2 ,BC t

10、J(l-4+(2-0)2+(1 3)2 : J(Q-1)2 + 20 ,因为8c48,所以，若4丛。三点共线，有8C = /C + 43或4c = 60 + 48,若BC = AC + AB,整理得：5/+18。+ 19 = 0,此方程无解；若/C = 5C +43,整理得：5/+18。+ 19 = 0,此方程也无解。所以不存在实数。，使A、B、C共线。抢分频道基础巩固训练1 .将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成()A. 90 B. 135 C. 45 D. 75解析：选B.点P(3,4,5)在。2平面上的投影点的坐标是()A. (3,0,0)

11、B. (0,4,5)C. (3,0,5)D. (3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B2 .三棱锥 O 48C 中，。(0,0,0),/(2,0,0),3(0,1,0),。(0,0,3)此三棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 6解析O/,O8,OC两两垂直，七c=l23 = l72(y/iDC 324 . (2007山东济宁模拟)设点B是点A(2-3,5)关于平面X0的对称点，则|AB|等于()A. 10B. V10C. V38D. 38解析A点A (2, -3, 5)关于平面xOy的对称点为3(2,3,5),AB = 7(2 - 2)2 + -3 - (-3)2 + 5

12、- (-5)2 = 10. (2007年湛江模拟)点0(123)关于轴的对称点为 ，。关于平面xOz的对称点为吕，则|4吕|二解析(12-3),鸟(b2,3),.|巴|=反.正方体不在同一表面上的两顶点P (T, 2, -1) , Q (3, -2, 3),则正方体的体积是解析不共面，.PQ为正方体的一条对角线，PQ = 46,正方体的棱长为4,体积为64综合提高训练5 .空间直角坐标系中，到坐标平面xQy, xOz, yOz的距离分别为2, 2, 3的点有A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 8个解析：8 个。分别为(3, 2, 2)、 (3, 2, -2)、 (3, -2, 2)、 (

13、3, -2, -2)、 (-3, 2, 2)、 (-3,2, -2)、(-3, -2, 2)、(-3, -2, -2)8. (2007山东昌乐模拟)三角形/BC的三个顶点的坐标为4(1,2,11),3(423),0(6,1,4),则A4BC的 形状为()A.正三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形D.钝角三角形解析CAB = J(1 - 4)2 + (2 - 2)2 + (11 3)2 =4S9AC= 7(4-6)2+ (-2 + 1)2+(11-4)2 = V75| BC = J(4-6)2+(2 + 1)2+(3-4)2 ;旧AC2 + BC2 = AB2(2008年佛冈一中模拟)已知空间

14、直角坐标系。-町z中有一点/(-I,-1,2),点8是平面xQy内的直线x + y = l上的动点，则48两点的最短距离是()A. -/6A. -/6B.2C. 3D.V172(%一产+解析因为点B在xoy平面内的直线x + y = 1上，故可设点B为(x-x + 150),所以 = J(x + Ip + (-X + 2)2 + (0-2)2 : 02 -2= + 9 二所以当工时，AB取得最小值但，此时点B为(LL。)。 222 210.如图，以棱长为。的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O-町z,点。在正方体的对角线43上，点。在正方体的棱CD上。(1)当点P为对角线48的中点，点

15、。在棱CO上运动时,探究P。的最小值；(2)当点P在对角线力3上运动，点。为棱CZ)的中点时,探究P。的最小值；解析由已知 A(a9a,0),C(09a,0),)(0,a,a), 8(0,0, a)，（1）当点P为对角线48的中点时，点P坐标为设 O(0,a,z),则 PQ = J(z J+5当z = 时，。取到最小值为此时0为的中点。（2）当点。为棱C。的中点时，点。的坐标为（0,凡巴），设AP:AB = k,则=。（1 左）, yP = a（-k）， zp = ak ,所以P点的坐标为（矶1一左）,（1 一左）,左）,所以尸0 =/3。2（左一 g）2+.所以尸0 =/3。2（左一 g）2+.1J2当左=,即。为43的中点时，。取到最小值 22