不动点的性质与应用.docx

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1、不动点的性质与应用一、不动点：对于函数/0)(九e D),我由肥方程/=工的解X称为函数/的砌点，即y = f(x)与y = X图 像交点的横坐标.例1：求函数/(工)=2工-1的不动点.解：有一个不动点为1例2 :求函数g(x) = 2犬2 -1的不动点.解：有两个不动点- -J2二、稳定点：对于函数/a)(x 。)，我们把方程/=x的解X称为函数/(力的稳定点，即y = /(功与 y = x图像交点的横坐标.很显然，若X为函数)，= f(x)的不动点，则X必为函数y = /W的稳定点. 00证明：因为/(X ) = X ,所以/(/(尤)=f(x ) =X，故X也是函数)，=/(X)的稳定

2、点. 000000例3 :求函数/(工)=21-1的稳定点.解：设/=21 ,令2(2/-1)-1 =x，解得工=1故函数y = 2工-1有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例4 :求函数g(x) = 2x2-1的稳定点.解：令 gg(x) = X ,则22 一1)2 一1 = X = 2(4x4 - 4x2 +1) _1 - X = 0 =一8m 7 +1 = 0 ,因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解K =-L X =1122n 8x4 - 8x2 - x +1 必有因式(x -1 )(2x +1) = 2x2-x-1可得(4一1)(21+1)(4工2 + 2

3、工-1) = 0 =另外两解x二-1,布 ,3.44要使一切 2 2 ,都有g (x) 0 ,必须有g (,r)。或g (x)1. n11由 g (x) 。= -6x2 + 6x0 x 13-布3+力由 g (x) 1 O - 6x2+6.丫 106613-J3 3 + 73故对于区间(6 6)和(1,+8)内的任意实数x,只要 2, 7/ e AZ * ,都有 g (x) 1或/(/)工1 a0时，则 f(x) 、在 灯上恒成立=f f(x) f(x) x= 8 = 02 a0时，则 f(x) 乂在乂 R上恒成立n f f(x) f(x) 8 = 0综上，B=0(上海中学2015学年第一学期

4、高一期终考试)一、填空题/12、若实数x满足f (x ) = x，则称x为函数f(x)的不动点,有下面三个命题： 0000(1 )若f (x)是二次函数，且没有不动点，则函数f(刈也没有不动点；(2 )若f(X)是二次函数,则函数ff(X)可能有4个不动点；(3 )若f(X)的不动点的个数是2 ,则“ f(X)的不动点的个数不可能是3.它们中所有真命题的序号是(1)、(2)、(3).三、解答题/5、对定义在1,+刈上的函数f(x)和常数a、b ,若f(2x) = af(x) + b恒成立,则称(a,b)为 函数f (x)的一个凯森数对.(1)若(1,1)是f(x)的f 凯森数对，且f(l)=3

5、，求f若6)；(2 )已知函数f (x) = log x与f (x) = 2*的定义域都为1,+co),问它们是否存在凯森数对？分别给 132出判断并说明理由；(3)若(2,0)是 f(x)的f 凯森数对，且当l2时，贝ijye 2a ,2- a - a2 1 A = 1+4a0=a-1B0 a(ax2-l)-l = x有解=a3X4-2a2X2-x+a-1 = , AgB ，a3X4 -2a2X2 - x+a-1 =0 的左边有因式ax2 - x-1(ax2 - x -1 )(a2 X2 + ax - a +1) = 0 ;又A=B .a2X2 + ax-a+1=。无实数根,或实数根是方程a

6、x2-x-1 =0的根;Q若2x2 + ax - a+1 =0 无实数木艮,贝！ = a2- 4% (-a +1) 1 + 4a - 4 0 =_a x=-_ n_+_-1 = On_ = 1 = a=_2a 4a 2a 4a 4.a的取值范围为_1,刍44【数列中的应用】a = a(1) 0L求线性递推数列的通项：,且)工a = pa + q w+1 n法四：不动点法构造等比数列令x = /* + q = x =为函数y = px + q的不动点，递推公式两边同减不动点，1 一得 a p =pa +q 二 p(a zh-1 I n 1 p若。一，_ = 0 ,则 =，-1-/? 1 一若a-

7、 口 w。，则a - Q - (a-)p”i = = (一 )pi +。- 1-p” 1 一 p 1- p1- p 1- p|f a - Ai)是以 V1为首项，2+为公比的等比数列 a -x a-xtx + sn 2121法二：构造线性递推数列对或取倒数，得 1 (a +S)上(。-x )+(tX+s) (tx +S)21 (tx +s)ta -x 1 (ps-qt)(d -x)1ps-qta -x+ ps - qt+11n 1n 1或 =(弋+ s)(_/)+(a 2+ s) =3 2+ s 1 + (工 + s)/a -x(ps - qt)(a -x )ps -qt a -x ps -

8、qt”+12n 2n 2=数列 1 或 1 均为线性递推数列,可用线性递推数列的方法解决 a -x a -x n 1n 2【点评】数列递推公式两边同时减去不动点，起到整型的作用 例 1、数列中，a =2,6/ =51+4,求。1+i 2a + 7 n5x + 4解令 n2工2+7/= 5.E + 4 =x2 - 2= 0 = x = -2,x = 12x+ 712法一：5。+4 ( 2) 9。+18 9(6/ +2)a (2) = - = ，=“+i 2a +7 2a +72a + 7nn_5 +43。-33( 一1)a 1 -1 = ，？=“ )+i 2a +7 2a +7 2a +7/，得

9、向 + 23 巴+21“+2 = 2+2 3, 一 = 4, 3 小 a 1ci 1 a 12 1+1nn4 , 3”-1 +2a +2 = 4-34-ia - 4 - 3-i =a =nnit 4 - 3-1 1法二：5a +4 ( 2) 9。+18 9 a +2，一 H)=五不-五户7二2一了 nn-n 22121119/44=+ =+ 1 - = ( 1 -1)(1)n-1 = -1a+2 9 3 cT2 a2 .2 + 2 3 3123”n+1” I111=+2=14. 3 = 0 = 4.3-8,3-1 + 2 4.3i + 2+2 3 4 , 3114,3t1n 4,3t14.3-

10、i133例2、数列4中满足 =a,a，求通项a .n1+i nn11 a -1解：令x = ，则a-1)2 = 0 = x = 1na -1 =-1=2-xz 2 -a 2 -ci当。=1时，a =1 n当 w1时，1_2-4=1 -1a -1 a -1 a -1n+1nn1 = 1 + (n -1 )(-1) = a _ a -1 + a + (1- a) _ (1-+ 2 -1a -1 rz-1(1- a)n+a (1-a) + a综上：a =n(1- a)n + 2a -1(1- a)n + a故函数gG） = 2x2_1-1 J 1 +韭-_1 土并是稳定点，但不是不动点的稳定点是鼻、

11、4、一1一，其中4下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线 =文的交点的横坐标，稳定点是函数=/U）（x e D）图像与曲 线x =/（ ），）（），e D）图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时,则稳定点是函数图像与其反函数图像 交点的横坐标）.由图I和图3 ,我们猜测命题：若函数y=fM（x G D）单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或 者都没有.证明：（1）1、若函数），=/（工）（1。）有不动点工0 ,即/（%）=%= /（/U ） = /（4）=x 故x也是函数y= /W的稳定点； 00002。若函数y = /（a-）（x G D）有稳定点X。

12、，即/（/Uo） =xQ ,假设%不是函数的不动点,即/（X。） 若f （ X。）X ,则f （ f （ X。）f （ X。），即x0f （ X。）与f （ X。）x0矛盾，故不存在这种情况;若f(x0) X,则f(f(X0) ) f ( Xo )，即Xof(X。)与f(x0) /W =/W =xx e综上，得AC 3(2 ).Aw0 工2 。= x = 0有解n = 1 + 4。2 0 n a4.3/0 /. ( x2-a ) 2-a=xX4-2ax2-x+a2-a=0.AcB ,即 X4-2ax2-x+a2-a=0 的左边有因式X2-x-a ; /.(X2-x-a)(X2+x-a+l)=0

13、 ;又A=B .-.x2+x-a + l=0无实数根，或实数根是方程X2-x-a=0的根;若 x2+x-a+l=0 无实数根，贝必= 1-4 (-a+1) 814 - 8g - X+1 = 0 ,得x=-：或*=1或工=一1 一本或1=一1 +下 244即函数/(M = 2.1-2-1共有四个稳定点，故错误；因/(X)= Jex+X在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。故答案为：例7、设函数fM =g R).若方程f(f(x)=x有解厕a的取值范围为()A.(-8,1B. oj c. (一8,1D.1,+OO)488解：法二：设f(x)=t,t0,则方程 f(f(x)=x 等价为f(t

14、)=x ,-a =x= x 在 xo 时有解，, a = -x2 + X 设 g G)= -X2 + X = -X(X -1)则。=g =,故选：A.max4例8 :已知/G)= xy-bx ,若/(J在1 +0)上单调.(1)求力的取值范围；(2)已知/Q)=X3-打，若设xo之(1,彳(期2 J ,且满足/(、) =:，求证：解：(1 )法一：令 1 V X q ,则/ 5 _ / X, =X3- bx -X3 + * =(X - x )(X2 +XJ2 + 号一 )0b b 1 + 1 + 1 = 3I 1 2211 22(IX -hx = 7 (2)(证法一)设/(x ) = m ,由

15、/(x )1 x 得/Q)=x ，于是有 l,/(x、一？i000,/ ()(“一，_J,.52+/竺+1 - /?24 /?N10，故.一团二。，即有/(%)=工0.(证法二)假设/。0)工乙，若f ( X。)X0 ,则f ( f ( X。)f ( X。)，即X0f ( X。)与f ( X。)x0矛盾，故不存在这种情况； 若f ( X。)X ,则f ( f ( X。)f ( X。)，即X0f ( X。)与f ( X。)x0矛盾，故不存在这种情况;综上,f ( x0 ) =XO例9:已知/（J=ar2+法+ C（。/0）,且方程/（1）=火无实根。现有四个命题方程/（/G:=x也 一定没有实数

16、根；若0，则不等式汽入呢文对一切xeR成立；若。 X成立；若。+。+ C = 0 ,则不等式/.f Q） 0 = x2 -x+a /2 + 工 +。+1 = 0 ,因为函数/（工）=总+。（。 R）的稳定点恰是它的不动点，所以若方程 X2 + X +。+1 = 无实根= 1- 4（+1 ） a = 3 ；4若方程x2 + x + a +1 = 0有实根，且实根是方程x2-x + a = 0的根，1 八11 13作差，得 2x+l=0nx = _n =24 241综上：一一,故选D42、方程/Q）= x的根称为函数/W的不动点,若函数/Q=（大）有唯一不动点,且x =1000 ,A+271，则x

17、 =20082017 3、对于函数)，= /(M,若工满足) = x厕称x为函数/(的一阶不动点若x满足/) = x , 0000000则称X为函数/(X)的二阶不动点， 0(1)设f(X)=2x+3,求f(X)的二阶不动点。设/Q = 4 + x + R若f(x)在0,1上存在二阶不动点x ,求实数a的取值范围. o考点：函数与方程的综合运用,函数的值解：(1)若加)=2乂+3则 ff(x)=2(2x+3)+3=4x+9 ,由 ff(x)=X得 4X+9=X,解得 x=-3 ;(2)函数/(x)=&+x + c，,4R在R上单调递增，则由可知，若f(x)在上存在二阶不动点则f(x)在0,1上

18、也必存在一阶不动点x ；0反之若f(x)在0口上存在一阶不动点X ,即f(x) = x , 000那么ff(x )= f(x) = x，故f(x)在。口上也存在二阶不动点X . 0000所以函数f(x)在0,1上存在二阶不动点x等价于f(x)=x在0,1上有解，0即方程6 + X + a = x在0,1上有解，: a = -ex在0,1上有解总的取值范围是-巳-44、已知函数，(x)=_6x2+6x，设函数g(x)= f(x), g(x) = fg (x), g (x) = fg (刈，, 12132g W = fg (x), nn-1(1)求证:如果存在一个实数x，满足g (x )=x ,那么对一切N、g (x ) = x都成立都成立；0100n 00(2 )若实数x满足g (x ) = x，则称x为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点； 0 no 00(3)设区间4 = (0,+8),对于任意*4，有0仪)=f(x) = a0, g(x) =fg(x) = f(0)0 ,且 121时，g (x)0.试问是否存在区间”ACIB工)，对于区间内任意实数x ,只要，都有 ng(x)、=0或X =o o，P / o o o o 0 e5稳定不动点为。和N . o(3 )f ( x) 0 ,得一 6x2 + 6x n xl.:.g (x) 0 fg (x) 1 nn-1n-1