圆锥曲线复习题.docx

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1、圆锥曲线复习题1.已知动点P在x轴及其上方，且点尸到点尸（0, 1）的距离比到x轴的距离大1.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线），=x-4上任意一点，过点Q作点尸的轨迹。的两切线Q4、QB, 其中4、8为切点，试证明直线A8恒过一定点，并求出该点的坐标.【分析】（1）设点P （x, y）,则|PF=|.y|+l,通过JN +一 i）2 =刖+匕化简求解即 可.（2）对函数y = 求导数y=1x.求出切线方程，设点Q （hZ-4）,通过切线经过 点 Q,推出 - 4 =聂0 一 J诏，设 A%, O, /.x2=4y.；点夕的轨迹方程为，=4y. （4分）（2）对函数y =求导数.

2、y=；x.设切点（%,或），则过该切点的切线的斜率为；切线方程为y_，以=x0（x - xQ）.即y =- .舄，设点。（/,4）,由于切线经过点Q,-4 = 2%o-J以， 4 1即以一 2% + 4-16 = 0,设力（X1，1%1）/ Bg,石），则XI，X2是方程x2 - 2/X+4/- 16=0的两个实数根，*.x+xi=2t, xix2=4l 16, （8 分）设 M 为 AB 中点，=X-）X- = t. Rm =鼻* +%） = g Ki +X2 - 2xax2 = 4t2 - 2（4- 16） =|t2-t + 4, 点M（t，# t + 4）,又.=察萼= =热 直线48的

3、方程为一亡+ 4）=彳。-）,即f（x-2） +8 - 2y=0, （*） 当x=2, y=4时，方程（*）恒成立.工对任意实数3直线E/恒过定点（2, 4）. （12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程 的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是难题. .设椭圆务 =1长轴的左，右顶点分别为A, B.（1）若P、。是椭圆上关于x轴对称的两点，直线4P, BQ的斜率分别为抬，k2 （kik2 WO）,求肉|+|如的最小值;（2）已知过点。（0, -3）的宜线/交椭圆C于、N两个不同的点，直线人M, AN分 别交y轴于点S、T,记法=2防，DT =

4、 iDd （0为坐标原点），当直线I的倾斜角0 为锐角时，求入+U的取值范围.【分析】（1）设点。（xo,和），由椭圆的对称性可知点Q （xo, - w）,不妨令川,。，利 用两点间斜率公式以及点尸在椭圆上，得到固|+|幻|=聂，由.yo的取值范围求解即可；（2）设点M, N的坐标，设直线/的方程，与椭圆的方程联立，通过（）求出女的范 围，表示出直线4M和AN的方程，求出点S和点7的坐标，利用向量的坐标表示，求 出入+2结合韦达定理进行化简，由女的范围即可得到答案.【解答】解：（1）设点P（刈，即），由椭圆的对称性可知点。（刈，-yo）,不妨令州0,由题意可知A （-3, 0）, 8（3, 0

5、）,所以自=瘾，心=恐，由题意可知，-3灿3,所以阳|+|切=愈+悬=悬5,由点在椭圆上，则手+丹-=1,则9 -&2=率，所以|向|+|如=载,因为0九 瓜所以心|+饮2|=L275当且仅当为 =6时等号成立，即|幻|十伙2|的最小值为三一;(2)当直线/的倾斜角。为锐角时，设例(内，)，i), N 3 ”),设直线/的方程为)，=履-3 (Q0),(y = kx - 3联立方程组2 y2 ，可得(5+9必)54h+36=0, (q+5=1从而= (544)2-4X36X (5+9好)0,又 Q0,解得上之所以必+必=5产 ，xtx2 = *6 , 本+59A/+5又直线AM的方程是y =

6、Trh(x + 3), A- -l O令x=0,解得y = j么，所以点S为(0, 31)；勺+3Xx+3直线AN的方程是y = 券( + 3),同理点7为(0, 第),所以而=(0, + 3),加=(0,DO = (0, 3),因为记法=2防，DT = uDO,所以券+3 = 32,券+ 3 = 3”, 所以入+尸总+品+ 2餐+餐+22k 述2+3(1)(巧+宝)-18 ? x1x2+3(x1+x2)+92/c-+3(/c-l)-18+59+5. 9生+3芈1-+亦+S 9k”+S得、4+29 (狂1)2+ 2,10V因为%,，所以入+咋G，2),综上所述，所以入+口的范围是，2).【点评

7、】本题考杳了椭圆标准方程的的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属 于中档题.3.已知点4, 8在直线/： y=x+2 （8在A上方），P （2, 0）, AB = V2,斜率为匕的直线AP交抛物线：）2=4x于点M, M直线8P交于点R, S.（I ）求力的取值范围;4。与抛物线，均有1交点，推出总#1,匕KO, ki屋，I,即可得出答案.(II )设 M (xi, y), N(X2, ”)，R(X3, y3), S(X4, )4),由面积之间的关系，推出Sampr = y-y2 RMN f hSPN =亓S.

8、moN，进而可得S.mpR * hSPN = (y-y )2 hRMN SMON，记R，S到直线AP的距离分别为由,必，即可得S&mprS*spn=-SMON，记R，S到直线AP的距离分别为由,必，即可得S&mprS*spn=-%丫2（1+3）d3dA,用点到直线的距离公式可得点R, S到直线AP的距离公，d4,分别联立直线AP, BP与抛物线的方程，结合韦达定理可得yi+”，yiyz, 53+产，）-4,代入S&mprSaspn,再结合基本不等式，即可得出答案.【解答】解：（I ）由题意可设AP： y=k （x-2）,由于A尸与抛物线，直线均有交点，故片Wl, 总工0,联立直线/与直线AP得

9、到2(附 + 1) 4kl)9丁L 3K 2(g + l)4kl而网=仅得到3(/2一1(3 附+ 1 0Tfcl-15的一1、)9ki-1得攵2 =5刈一1 = ki+3,由于与抛物线，直线均有交点，故5kLi加+3*01,综上，k E (-00, 0) U (0 /)U (/ , 1) U (1 / + 8).(II )设 M (xi, y) N(X2，”)，R(X3，)3), S(X4, y4)则Sampr =靛S“MN，Saspn =湍Sam。，, SasPN = 及、Sarmn(力一九)Samon 记R S到直线4P的距离分别为由,d4.则S.mpr , Saspn = J,2 2

10、/1MN 12d3 . d4 =(71-y2)设 AP： x=?iy+2,其中mi = J (5, + oo),与抛物线联立得/ - 4my - 8 = 0,，仍(1+京)由韦达定理得产同理设叫-2,由韦达定理得附；匕：847n故 Smpr, Sspn = 2(1 + m?)22|单一叫力+2懵一叫、4+2|(1+碎=2(嘴-与y3y式% + y,m2y3y4 + (m - 呼)+ 赤)=16(7711 - 7n2)2由(1 )可知，772 = m5故Si S2 = 16(恤 + 舞=160nl -5 + 布号 + 8)2 4096当且仅当刈=9,即心=为取等号，故SdMPR S&SPN的取值范围是4096, +8).【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.