10.双曲线的切线问题.docx

《10.双曲线的切线问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10.双曲线的切线问题.docx（2页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、10 .双曲线的切线问题T8联考16题的推广及高考应用昨天考的T8联考16题以双曲线切线为背景，考察了一类特殊的中心三角形，即该切线与 渐近线的交点和坐标原点围成的三角形面积，其实是一个定值，本文对其做一般的推广， 并介绍相关结论在高考试题中的应用.对于双曲线比较独特的结论，我们应该多加留意.一.典例分析（T8联考16题）己知双曲线。：三- = 1（。0,0）的左、右焦点分别为耳和居，O为坐标原点，过 “2作渐近线的,=2工垂线，垂足为尸，若p,则双曲线的离心率为；又过点尸作双曲线的切线交另一条渐近线于点。，且八。P。的面Sa”q = 2J5积，则该双曲线的方 程为.解析：第一个空较简单，.。

2、=立。,/.6= =匚忙=.a V cr 3下面看第二个空的证明；双曲线的两条渐近线方程我们可以用），=&/来表示，设切线与两条渐近线的交点分别为 aA（X，y）、3（巧,必），由A（X，y）、3（巧,必），由x，可得 1. y，同理 百i%，a abcr ab$亩/4。8 = 所以三角形048的面积为5=二。4 08$亩乙406,再将 c-2里一耳二1代入，得5 =出?，证毕.这样的话，由于4且4/2 = 26,可解得：双曲线方程为：- = 1.二.高考应用（2014年福建卷）已知双曲线E:=1（。 0,。 0）的两条渐近线分别为 才 b/1: y = 2x, l2,.y = -2x.（1）

3、求双曲线E的离心率；（2）如图，。为坐标原点，动直线/分别交直线于两点（A,8分别在第一，四 象限），且043的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲 线E?若存在，求出双曲线石的方程；若不存在，说明理由。解析：（1）因为双曲线E的渐近线分别为），= 2x,），= -2x,所以2 = 2,a所以J。一才=2,故c =瓜，从而双曲线E的离心率e = =逐 aa（2）由（1）知，双曲线E的方程为二一二 二1, a- 4a设直线/与x轴相交于点C,当/_Lx轴时，若直线/与双曲线E有且只有一个公共点，贝i|OC|二a,|A8|=4a,又因为AO48的面积为8,所以|OC|AB

4、|=8, 2因此解得。=2,此时双曲线E的方程为2?一看=1若存在满足条件的双曲线E,则的方程只能为9-福=1以下证明：当直线/不与x轴垂直时，双曲线E:工-也满足条件.设直线I的方程为y =履+ ?, 4 16依题意，得22或2-2,则C（一,0）,记4E,%）,8（%,%）由卜 = 十 得 ky = 2xy产碧,同理得当=碧，由%alJoctiymI得，2-k2+42小川言一瑞对即34由、小川言一瑞对即34由、y = kx- tn得，7-记一（4-k2）x2 -2kmx-/n2 -16 = 0,因为4一/ V（）,所以A = 4rzM2 + 4（4 -公）（加2 +16） = -16（44/ 一 16）,又因为病=4伏？ - 4）,所以 = (),即/与双曲线E有且只有一个公共点，因此，存在总与/有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为三-二 4 16