专题25圆中的范围与最值问题（原卷版）.docx

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1、专题25圆中的范围与最值问题【考点预测】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如=上心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.x-a（2）形如，=以+力，的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如加= （x-a）2+（y-b）2的最值问题,可转化为曲线上的点到点（小b）的距离平方的最值问 题【方法技巧与总结】解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（I）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【题型归纳目录】题型一：斜率型题型二：直线型题型三：距离型题型四：周长面积型题型五：数量积型题型六：坐标与角度型题型七：长度型题型八

2、：方程中的参数【典例例题】题型一：斜率型例1. （2022 福建南平三模）已知P（以）为圆C： （x-l+（y-l）2=l上任意一点，则息的最大值为例2.（多选题）（2022 山东泰安三模）已知实数x,卜满足方程/ +），2一以一2），+ 4 = 0,则下歹4说法正 确的是（）A.上的最大值为?B.的最小值为0x3xC. 9 +/的最大值为6+C. 9 +/的最大值为6+Q. rby的最大值为3 +正例56.（2022 安徽合肥市第八中学模拟预测（理）已知曲线E:f +），2 = ,等边三角形A8C的两个顶点4 8在E上，顶点C在E外，。为坐标原点，则线段OC长的最大值为（）A. 3B. 2/

3、2C. V3D. 2例57. （2022 河南新乡三模（理）已知抛物线产=16工的焦点为凡P点在抛物线上，。点在圆C:（x-6）2+（y-2）2=4,则|/+|尸目的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10例58. （2022 北京西城一模）已知点A为1员I C：（x-，）2+（y-，”-i）2 =2上一点，点8（3,0）,当“变化时, 线段A8长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 72D. 2及例59. （2022 河北石家庄二中模拟预测）已知P为抛物线C：V=8x上的动点，Q为直线/:X-产4 = 0上的动点，过点尸作圆-3）2 +），2=8的切线，切点为A,则|尸。|+|尸山的最

4、小值为（）A. /2 + 1B. 2-1C. 3/2-1D. 372-2例60. （2022 全国模拟预测）已知直线/过点则直线/被圆O： / + 丁 = |2截得的弦长的 最小值为（）A. 3B. 6C. 36D. 6M例61. （2022 安徽马鞍山三模（文）已知为抛物线C V=16x上一动点，过C的焦点尸作。P：（x-if=1的切线，切点为4则线段以长度的最小值为（）A. 3B.拒C. V7D. 3出例62. （2022 全国高三专题练习（文）已知圆G：（xl+（y 1=1 ,圆弓：（工一4+（）=5=9,点M，N分别是圆G、圆上的动点，点P为 = T上的动点，则|PM| + |PN|的

5、最小值是（）A. 4B. 4C. -v/bT + 4D. J61 8例63. （2022 全国模拟预测（理）已知圆C x2 + /-2x-3 = 0,若直线/：1 。=0与圆。相交于4B两点,则|A却的最小值为()A. 2V2B. 2x/3C. 3D. 1例64. （2022 全国高三专题练习）如图，尸为圆O：r+产=4外一动点，过点尸作圆。的切线Ri, PB, 切点分别为4 B, CAPB=2Q0,直线。与N8相交于点0，点M （3, G）,则|MQ|的最小值为（）4G例65. （2022 全国,高三专题练习）已知直线/： a-），-3/+1 = 0恒过点尸，过点尸作直线与圆C （x-l）2

6、+（y-2）2=25相交于4 5两点，则卜目的最小值为（）A. 46B. 2C. 4D. 25/5题型八：方程中的参数例66. （2022 山东烟台二中模拟预测）已知过点0,6）的动直线/与圆C /+ / = 16交于4 8两点， 过力，8分别作。的切线，两切线交于点N.若动点M（cosHsin0）（04。2乃），则|MN|的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9例67. （2022 河北模拟预测）如图，在直角梯形A5C。中，4=8 = 90。,八。=4,八B=8C = 2,点M在 以CD为直径的半圆上，且满足而7 = 而+ 而，则相+的最大值为（）A. 2B. 3C. -D.历+ 52

7、4例 68. （2022 全国高三专题练习（理）已知0（0,0）, P（/3,1）, Q（1+4cos0,Q-4sin0）, 6g0,2, 则AOP。面积的最大值为（）oA. 4B. 5C. 573D. 3Gjr例69,（2022 全国模拟预测（文）在RiZ48C中，ZBAC = -, A8 = AC = 2,点M在aABC内部,23cos ZAMC =, jljij MB2 - MA2 的最小值为例3. （2022 全国高三专题练习（理）在正三角形A8C中，M为8c中点，P为三角形内一动点，且PA满足以=2夕则?最小值为（）PBA. 1B.旦。.巫D.立422例4. （2022 河南模拟预测

8、（文）已知点P（x,y）在圆-1+（），-1）2=3上运动，则二的最大值为 x 3（ ）4 -6 。3。B. 6 + J30C. 6 + /3OD. 6 J30题型二：直线型例5. （2022 全国高三专题练习）已知点P（%,y）是圆/ +）,2一6x 4y+l2 = 0上的动点，则工+的最大 值为（）A. 5 + V28. 5-72C. 6D. 5例6. （2022 全国高三开学考试（文）已知点?（X,），）是圆C： （x-。）2 +），2=3（。0）上的一动点，若圆 c经过点人（1,3）,则y-x的最大值与最小值之和为（）A. 4B. 2/6C -4D. 2/6例7. （2022 全国高三

9、专题练习）点产（一%），）是圆/ + ,2=2上的动点，则x+）,的最大值是.题型三：距离型例 8. （2022 上海虹口 二模）设 awR, kcR,三条直线 4： ax-y-2a + 5 = O, /2 ： x+ay-3a-4 = 0f 4： y = X,则4与4的交点加到4的距离的最大值为.PA rr 例9. （2022 黑龙江哈九中模拟预测（文）若平面内两定点力、4间的距离为2,动点。满足网 =J2 ,则I呻+1叫的最大值为.2例10. （2022 全国高三专题练习）若4 8是0O： / +）* =4上两个动点，且方.砺=-2, 4 4到直 线/： bx+y-4 = 0的距离分别为4，

10、d2,则4+4的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6例11. （2022 陕西安康二模（文）己知直线/与圆O:f+ ）,2=4交于A（x，y）I（&,），2）两点，且|人用=2, 则|x +y +4+民+% +4的最大值为.例12. （2022 全国高三专题练习）已知实数对JM，%满足：M + E + y；=l，$工2 + 1跖=0,则4t日M1的最大值为.V2 V2例13. （2022 河北石家庄模拟预测）若点尸在曲线9+），2=凶+|），|上运动，则点P到直线x+），+ 2 = 0的 距离的最大值为（）A. 2&B. 2C. y/2D. 4例14. （2022 浙江模拟预测）在平面

11、直角坐标系中，直线了二日+ ?（女=0）与无轴和轴分别交于A, B 两点，|/W| = 2a,若C4_LC8,则当攵，?变化时，点C到点（1/）的距离的最大值为（）A. 4&B. 3五C. 2&D. y/2例15.（2022 浙江高三专题练习）已知点。（-1,0）,圆（工-1）2 +），2=9上的两个不同的点4（%,）1）、贝与必）满足Q = 2方（/leR），则附1+3乂-25|+|49+3），225|的最大值为（）27A. 12B. 18C. 60D.2例16. （2022 江西宁冈中学高三开学考试（理）已知点在圆/ +）,2=上，则加_+（）,_/ 的最大值为（）A. y/2B. 2&C

12、. 1D. V2 + 1例17. （2022 河北衡水二模）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点4在y轴上，卜到=2,点C满足ACJ.AC,则点。到点P（&，1）的距离的最大值为（）7A. 3B. -C. 5D. 42例18. （2022 全国高三专题练习）若X、。、6为任意实数，若（。+ 1）2+8-2）2=1,贝lj （x-a）?+（lnx-b）2最小值为（）4 2&B. 9D. 25/2-1例19.（2022 辽宁东北育才学校二模）已知平面向量：例19.（2022 辽宁东北育才学校二模）已知平面向量：,满足 Yxe R，a-xb 一；， =2,a工=4 ,（a-c）（，-2c） = 6,

13、则 a-c 的最小值为（）D.限-22A. 1B.叵妙 C. 33例20. （2022 河南河南三模（理）已知M，N为圆C： V +），22x-4），= 0上两点，且眼 = 4,点尸 uuir uina在直线/： x-），+ 3 = O上，则PM + PN的最小值为（）A. 2夜-2B. 2x/2C. 2& + 2D, 2-75例21. （2022 全国高三专题练习）若平面内两定点4, B间的距离为2,动点P满足曷=K，则g （PA2 十 |08|2）的最大值为（）A. 3+GB. 74-473C. 8+46D. 16+873例22. （2022 全国高三专题练习）已知尸是半圆C： 而二7 二

14、 -彳上的点，。是直线4一y一1 二 0上的一 点，则归。的最小值为（）A. B. V2-1C. -1D.222例23. （2022 全国高三专题练习）若M, N分别为圆C： （x+6）2+（-5尸=4与圆C2：（-2尸+（-1尸= 上的动点，2为直线x+），+ 5 = 0上的动点，则俨M + |/W|的最小值为（）A. 4x/5-3B. 6C. 9D. 12例24. （2022 全国模拟预测（理）过圆C： 。-1）2 + ./ = 1外一点Q作圆。的两条切线以、ps,切点 分别为4、B,若以口心，则点P到直线/：X+）5 = 0的距离的最小值为（）A. 1B. V2C. 272D. 372题

15、型四：周长面积型例25. (2022 全国高三专题练习)已知点力(2, 0), B (0, - 1),点P是圆(y - 1) 2=1上任意一 点，则PA8面积最大值为()A. 2B. 4+ 6C. 1+且D. 2 + 22例26. (2022 河南安阳模拟预测(文)已知圆C:(x-2)2+G，-6)2=4,点M为直线/：xy+8 =。上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为4 B,则四边形C4M8周长的最小值为()A. 8B. 672C. 572D. 2 + 472例27. (2022 全国高三专题练习)已知圆C:(x 2)2+()，-6产=4,点M为直线/-)，+ 8 = 0上一个动

16、点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为4 B,则当四边形CAM8周长取最小值时，四边形CAM8的 外接圆方程为()A. (x-7)2+(y-l)2=4B. (x-1)2+(.y-7)2 =4C. (x-7)2 + (y-l)2=2D. (x-1)2+(-7)2=2例28. (2022 全国高三专题练习)在平面直角坐标系中，圆C与圆O:f + 丁 =外切，且与直线 x-Gy + 4 = 0相切，贝帼C的面积的最小值为()71_ TCA. -B.兀C. D. 27r49例29. (2022 北京昌平二模)已知直线/： y+l=0与圆。：(-1)2+)，2=4相交于两点A8,当。变化 时，口48。的

17、面积的最大值为()A. 1B.近C. 2D. 2及例30. (2022 河南高三阶段练习(理)已知直线4 :尔-y = 0(?c R)过定点a ,直线人/ +冲+ 4-2? = 0 过定点8,乙与的交点为C,则A8C面积的最大值为()A. MB. 2x/5C. 5D. 10题型五：数量积型例31. (2022 全国高三专题练习)己知正方形/8CO的边长为2,以8为圆心的圆与直线4C相切.若 点P是圆8上的动点，则加丽的最大值是.例32. （2022 辽宁大连二模）已知44,0）, 8。-6）,点P在曲线=j 丁7了上，则方的最小值 为.例33. （2022 全国高三专题练习）已知半径为1的圆O

18、上有三个动点4 B, C,且|4用=&,则而.瓦 的最小值为.例34.（多选题）（2022 福建龙岩模拟预测）已知圆尸：*一5）2+（丁-2）2=4,直线/：），=办，点（5,4）, 则（）4A.当=三时，直线/与圆尸相切 * -?B.若直线/平分圆P的周长，则C.若直线/上存在点4使得NPAM=90。，则。的最大值为二 +而2444D.当。=2时，N为直线/上的一个动点，则PR./WN的最小值为二例35.（多选题）（2022 湖北武汉模拟预测）已知圆M： （I）2+（y-5）2=12,直线/： mx-y-2m+3 = Of 直线/与圆加交于4C两点，则下列说法正确的是（）A.直线/恒过定点（

19、2,3） |衣|的最小值为4C.加亚的取值范围为D.当NAMC最小时，其余弦值为例36.（多选题）（2022 湖北模拟预测）若动直线/：d-），+ 4-4? = 0与圆C：（x-4）2+（y-5-=9相交 于A8两点，则（）4 1ABi的最小值为4&B. 5.方的最大值为-7C.。4。庆O为坐标原点）的最大值为78D.衣.福的最大值为18例37. （2022 全国高三专题练习）已知双曲线f-5 = l的右焦点为E M（4,3行），直线Mr与y轴交 于点N,点尸为双曲线上一动点，且|），卜3石，直线与以为直径的圆交于点帆0,则叫的 最大值为（）A. 48B. 49C. 50D. 42例38. （

20、2022 全国高三专题练习）已知点为椭圆工+工=1上任意一点，A, 4是圆（犬-1+），2=8上27 26两点，且AB = 4&，则苏.砺的最大值与最小值的和是（）A. 20B. 12/3C. 40D. 48百例39. （2022 河南开封二模（文）骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如 图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆片（前轮），圆。（后轮）的半径均为75, AABE, BECgEC。均是边长为4的等边三角形，设点尸为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，衣.亨达到最大值时点P到地面的距离为（）题型六：坐标与角度型例40. （2022 全国高三专题练习）已

21、知,）满足/+），=4y-3 ,则的最大值为（）Jx + ）广A. 1B. 2C. 75D. y/5例41. （2022 福建泉州模拟预测）若圆：-83。）2+（），一411。）2=1（04。2产）与圆N:f+ y2_2x _ 4y = 0交于彳、B两点,则的最大值为（）例42. （2022 全国高三专题练习）已知九B，工是非零平面向量，口 = 2,，-力卜1, （y/2c-b）-b = 0f1 1M=I4,则竹的最大值是.例43. （2022 全国,高三专题练习（理）已知圆C:（x-l）2+（y + 2&）2 = 16和两点A（O,?）、8（O,?），若圆。上存在点P,使得则加的最大值为（）

22、例44.（多选题）（2022 河北高三阶段练习）已知圆=1上两点44满足|4砌2拒，点M（知0）满足：MA=MBt则下列结论中正确的是（）A.当|A8|=&时，B.当小=。时，过M点的圆C的最短弦长是2GC.线段AB的中点纵坐标最小值是匕立D.过M点作图。的切线且切点为4B,则毛的取值范围是-8，-岑=冬+8 VL /例45. （2022 全国高三专题练习）已知直线近-a+22 =。与直线x+h-2 = 0相交于点P,点4（4,0）,。为坐标原点，则tan/QAQ的最大值为（）D. 734.2 /3例46.（2022 北京 北大附中高三开学考试）已知圆C：（a2）2+（）2）2 =/什0）和两

23、点M（-l,0）, N（l,0）, 且圆。上有且只有一个点尸满足NM/W = 90。，则/的最大值为（）A. 272-1C. 272 + 1例47. （2022 -全国二模（理）动圆必经过坐标原点，且半径为1,则圆心切的横纵坐标之和的最大值 为（）C. V2D. 2y/2例48. （2022 湖北-房县第一中学模拟预测）已知。为坐标原点，点A（cosa,sina）,以OA 04为邻边作平行四边形AOBP, 2（-2,0）,则NPQO的最大值为（例49.（2022江西上饶市第一中学模拟预测（理）已知P（3.4-2夜），过点/作圆。：-疗+（k-1）2 = 1 （。为参数，且aeR）的两条切线分别

24、切圆C于点A、B,则sin ZAPS的最大值为（）A. 18. ；C.。.在224例50. （2022 江苏苏州高三阶段练习）己知x, y满足/ + 丁=6），-6,则 仍一；的最大值为（）N + y2A. 1B. 75C. 1+立D. 1+在33例51. （2022 全国高三专题练习）已知圆C1+产=4, M、N是直线/： y=x+4上的两点，若对线段MN上任意一点P,圆C上均存在两点力、B,使得cos/P8=g,则线段MN长度的最大值为（）A. 2B. 4C. 40D. 473题型七：长度型例52. （2022 上海高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的 几

25、何问题：在平面上给定两点彳、B,动点P满足总1=刃?臼（其中人是正常数，且X工I）,则P的轨迹是 一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点用（-1，。）、N（2,l）,尸是圆O:f +）,2=3上的动点， 则J3PM+PN的最小值为例53. （2022 全国高三专题练习）已知圆C是以点M（2,26）和点N（6,-2百）为直径的圆，点/为圆C 上的动点，若点4（2,0）,点8（1/），则2|必卜|?用的最大值为（）A. x/26B. 4 + V2C. 8 + 5&D.历例54. （2022 浙江高三专题练习）已知圆GlxTf+O+Dl，圆G ：-4+（）5=9 ,点M、 N分别是圆C、I员 1。2上的动点，点尸为x轴上的动点，则PMTPM的最大值是（）A. 26+ 4B. 9C. 7D. 275 + 2例55. （2022 广东汕头市第一中学高三阶段练习）已知4 8是曲线凶-1 = ,4-（），-1）2上两个不同的 点，C（0,l）,则|C4|+|CB|的最大值与最小值的比值是（）A.正B. 41C.。.石52