8.1计数原理及排列组合（精练）（提升版）（解析版）.docx

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1、8.1计数原理及排列组合（精练）（提升版）题组一排队 -（2022 柳州模拟）今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6 名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师” 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙， 丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人.假设甲、 乙两人不能同时在一个舱内做实验，那么不同的安排方案共有（）A. 44种B. 48种C.60种D.50种【答案】C【解析】由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天

2、员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有=60种方案；假设甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，那么有=12种方案；假设甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，那么有盘C： =4种方案所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，那么共有60-12-4二44不同的安排方 案,应选：C1. （2022 焦作模拟）小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项， 且周一只能完成其中1项工作，那么不同的安排方式有（）A. 12种B. 18种C. 24种D.36种【答案】C【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三

3、，所以不同 的安排方式有C；C；A：=24种。故答案为：C（2022 汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰 壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶工程需要一男一女两名，花样滑冰和短道速 滑各需要一名，男女不限.那么不同的支援方法的种数是（）A. 36B. 24C. 18D. 42【答案】A【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶工程，选法共有C；C；=6种;图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，那么

4、不同的涂色方案有（）A. 180B. 192C. 300D. 420【答案】D【解析】【解析】如图，将五个区域表示为，对于区域，三个区域两两相邻，有A； =60种；对于区域,假设与颜色相同，那么有3种情况，假设与颜色不同，那么有2种情况，有2种情况，此时区域的情况有3 + 2x2 = 7种情况；那么一共有60x7 = 420种情况应选：D.3. （2021 .广西.钦州市大寺中学）如下图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红、蓝两 种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，那么相邻两个图形颜色不相同的概率为（）A. -B. -C. -D.-4848【答案】C【解析】用两种颜色为

5、图形涂色基本领件有：（红，蓝，蓝），（红，蓝，红），（红，红，蓝），（红，红，红）, （蓝，蓝，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（蓝，红，红），共8个基本领件.相邻两个图形颜色不相同的情形为：（红，蓝，红），（蓝，红，蓝），共2个基本领件，21所以所求的概率为5 = 8 4应选：C.4. （2022江西景德镇一中）如下图，积木拼盘由A, B, C, D, E五块积木组成，假设每块积木都要涂 一种颜色，且为了表达拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与。为不相 邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，那么不同的涂色方法的种数是（）A. 780B. 840C. 900D

6、. 960【答案】D【解析】先涂A,那么A有C；=5种涂法，再涂3,因为8与A相邻，所以8的颜色只要与A不同即可，有C；=4种涂法，同理。有C；=3种涂法，。有C：=4种涂法，E有C；=4种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的 涂色方法种数为5x4x3x4x4 = 960.应选：D.5. （2021 江西横峰中学）如下图的几何体由三棱锥尸-ABC与三棱柱ABC-组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的外表涂色（底面44G不涂色），要求相邻的面均不同色，那么不同的涂色方案共有（）A. 36种B. 24种C. 12种D. 9种【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P-A3C的三个侧面，因为要求相邻的面

7、均不同色，所以共有3x2xl = 6种不同的涂法，第二步：涂三棱柱的三个侧面，先涂侧面的5出有。；=2种涂法，再涂3gGC和CGAA只有1种涂法，所以涂三棱柱的三个侧面共有2x1 = 2种涂法，所以对几何体的外表不同的涂色方案共有6x2 = 12种涂法，应选：C6. （2022.重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的 两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，那么不同涂色方案有（）A. 720种B. 2160种C. 4100种D. 4400种【答案】C【解析】考虑A、C、E三个区域用同一种颜色，共有方法数为5x43 =320种

8、；考虑A、C、石三个区域用2种颜色，共有方法数为（5x4x3）x4x3x3 = 2160种；考虑A、C、七三个区域用3种颜色，共有方法数为父x 3, =1620种.所以共有方法数为320+2160+1620 = 4100种.应选：C.7. （2022广东揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，那么不同的涂色方法共有（）A. 720 种B. 1440 种C. 2880 种D. 4320 种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中

9、选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同 方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同 方法；所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3 = 4320种.应选：D.8.（2022.全国.高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如下图的5块区域A、B、C、D、

10、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，那么共有涂色方法（）A. 120 种B. 720 种C. 840 种D. 960 种【答案】D【解析】法一：A有5种颜色可选，8有4种颜色可选，。有3种颜色可选，假设C4同色，E有4种颜色可选；假设C3同色，E有4种颜色可选；假设。与A、区都不同色，那么。有2种颜色可选，此时E有4种颜色可选，故共有5x4x3x（4+4+2x4）= 960 种.法二：当使用5种颜色时，有应=120种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC, BC, AE, BE, CE,共有5发=600种涂色方法;当使用3种颜色时，只能是AC同色且巫同

11、色，AE同色且同色，ACE同色，8CE同色，共有46=240 种涂色方法，共有, 120+600+240 = 960种涂色方法.应选：D.9.（2022.黑龙江齐齐哈尔）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝 色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与 薄荷绿也不涂在相邻的区域内，那么共有 种不同的涂色方法.【答案】66【解析】中选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C；-1 = 5种选法，因此不同的涂色方法有5x2 = 10种，中选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，那么有2种方法选法，因

12、此不同的涂色方法有2x2x2 = 8种，中选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，那么有2种方法选法，因此不同的涂色方法有2x3x2x（2 + l） = 36种，中选择四种颜色时，不同的涂色方法有2x2x2+2x2 = 12种，所以共有10+8 + 36 + 12 = 66种不不同的涂色方法，故答案为：66（2022 湘赣皖模拟）用四种颜色给正四棱锥V-ABCD的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色, 且每条棱的两个顶点涂不同颜色，那么不同的涂法有（）A. 72种B. 36种C.12种D. 60种【答案】A【解析】如下表顶点VABCD种数432C与A同色12C与A不同色11总计4x3x2x

13、(lx2 + lxl) = 72故答案为：A.10. （2022 浙江模拟）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区 域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，那么区域A, B, C,。和A，用，G，。1分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域A, B, C,。和吊，及，G，。分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有种.【答案】24； 216【解析】AC, BD, AG，隹2同色，所以先涂AG BD有:C；A；,再涂4G，5a有A；种，所以共有：C；A；A；=24 种.先涂A B, C, O共有：A：=24种，设四种颜色为q, b, c, d,假设A B, C,。

14、涂的颜色分别为a, b, c, d,那么4，旦，G，涂色情况如下：(b, a, d, c, d, d, c, a), (c, a, d, d, a, b),(c, d, b, a),(d, a, b, c),(d, c, a, b),(d, c, b, a),共 9 种,所以:A；x9=216 种.故答案为:24； 216.第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有C； =3种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有C； = 2种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是6x3x2=36,故答案为：A.4. （2022 内江模拟）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核

15、酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，那么不同的选派方式共有（）A. 18种B. 12种C.9种D. 6种【答案】A【解析】根据题意分2种情况讨论：（1）B去甲单位，那么A,B在一起，都去甲单位，将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个单位即可，有=6种安排方法；（2） B不去甲单位，那么B必去丙单位，在剩下4人中选出2人安排在乙单位，再将剩下2人分别安排到甲、 丙，有用=12种安排方法，那么有6 + 12 = 18种安排方法，故答案为：A5.（2022 益阳模拟）为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如 期举行.校文娱组委员会要在原

16、定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，假设保持原来的8个节目的出场 顺序不变，那么不同排法的种数为（）A. 36B. 45C. 72D. 90【答案】D【解析】采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法；第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9X10 = 90种排法.故答案为：D.6 . （2022 佛山模拟）“五经”是儒家典籍周易、尚书、诗经、礼记、春秋的合称.为弘扬中 国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了 “五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，那么诗经、春 秋分开排的情况有种.【答案】

17、72【解析】先将周易、尚书、礼记进行排列，共有A；种排法再从产生的4个空位中选2个安排诗经、春秋，共有A；种排法所以满足条件的情形共有A；A； =72种.故答案为：727 .(2022 临沂模拟)志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有 志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该 站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，那么不同的安排方案共有()A. 72 种 B. 81 种 C. 144 种 D. 192 种【答案】D【解析】假设乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为A：A；=240,假

18、设乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为A；A； =48 ,由间接法可知，满足条件的排法种数为240-48 = 192种.故答案为：D.8. (2022全国高三专题练习)现有8个人(5男3女)站成一排.女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？其中甲必须站在排头有多少种不同排法？其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少

19、种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】用 可6 (4)耳反(5)：履(6)&(8)反耳(10)父A：【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有用种情况，将这个整体与5名男生全排列，有可种情况，那么女生必须排在一起的排法有用星种；根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有4种情况， 那么甲必须站在排头有用种排法;根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有履种情况，将剩下的6人全排列，有醴种情况，那么甲、乙两人不能排在两端有用种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有星种情况，排好后有7个空位，那么7个空位中，

20、任选2个，安排甲乙二人，有#种情况，那么甲、乙两人不相邻有片可种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有耳种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，那么甲在乙的左边有:履种不同的排法；(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有应种情况，排好后有6个空位，那么6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有4种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有反耳种不同排法;根据题意，先将 3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A；种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有4种情况，将男生、女生整体全排列，有A；种情况，那么男生在一起，女生也在一起，有用用6种不同排法；(8)根据题意，在

21、5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有反种情况，将剩下的6人全排列，有星种情况，那么第3和第6个排男生，有用暧种不同排法；根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有另种情况，将剩下的6人全排列，有醴种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；(10)根据题意，将5名男生全排列，有8种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有用种情况，那么女生两旁必须有男生，有8看种不同排法.- , _ _ . _ _ .题组二排数.1. (2022 河南模拟)由数字1, 2, 3组成六位数(数字可以不完全使用)，假设每个数字最多出现三次，那么这样的六位数的个数是()A.

22、 420B. 450C. 510D. 520【答案】C【解析】所求的六位数分三类，第一类：一个数字出现0次，另外两个数字各出现3次，有C；盘=60个;第二类：一个数字出现1次，一个数字出现2次，一个数字出现3次，有C；C；C；A；=36。个；第三类；每个数字出现2次，有C；C；C；=90个.所以共有60+360+90 = 510个满足题意的六位数.故答案为：C.2. （2022 石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下列图所示，我们可以用火柴 棒拼出1至9这9个数字比方：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.假设用8根火柴棒以适当的方式 全部放入右面的表格中| |

23、I（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字 的三位数的个数为（ ）.A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】D【解析】由题意用2根火柴棒表示数字1, 3根火柴棒表示数字7, 4根火柴棒表示数字4, 5根火柴棒表示 数字2, 3或者5, 6根火柴棒表示数字6或9, 7根火柴棒表示数字8,数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6, 3和5,组成两个数字，还有数字只能为0,这样组成的无重复数字的三位数个数为：看+= 20.故答案为：D.3 .（2022 济南模拟）由1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A. 60 个

24、 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个【答案】C【解析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，所以由1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有2x3xA； =36个.故答案 为：C4 .（2022 浙江模拟）将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均 不大于2,那么这样的排列方式共有种.（用数字作答）【答案】16【解析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8八个数字使其满足题意要求 进行摆放，有两种情形，如下列图所示：然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开

25、排成一列，一个作为头一个作为尾，那么每一个圆环有8种剪开方 式情况，故满足题意的有2x8 = 16种.故答案为：16.5 . （2021张家港期中）用1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成无重复数字的自然数.（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.【答案】（1） 24 （2） 96 （3） 48【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：三位偶数的个位必须是2或4,有2种情况，在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位，有A；=12种情况，那么有2x12 =

26、 24个三位偶数，（2）根据题意，分2步进行分析：要求四位数大于2000,其千位数字必须为2、3、4、5,有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位、十位、个位，有A；=24种情况，那么有4x24 = 96个符合题意的四位数；（3）根据题意，分2步进行分析：选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有A；C； = 12种情况，将这个整体与其他2个数字全排列，有A； =6种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，那么有6-2 = 4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，故有12x4 = 48个符合题意的五位数.一 题组三分组分配（2022 晋中模拟）北京2022年冬奥会吉祥物“

27、冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融” 一亮相，好评不 断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安 装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，假设小王和小 高必须安装不同的吉祥物，那么不同的分配方案种数为（）A. 40B. 30C. 20D. 80【答案】A【解析】小王和小高必须安装不同的吉祥物，那么有A；=2 （种）分配方案，剩下5人分两组，一组2人，一组3人，有C；=1O （种）分配方案，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有C；A；=20 （种）分配方案， 那么共有40种分配方案.故答案为：A.2.（20

28、22 江西模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融。有着可爱的外表 和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱为了表彰A、8两个志愿者小组，组委会决定将 3个不同造型的“冰 墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给A、8两个小组，要求每个小组至少有一个“冰 墩墩”，那么这6个吉祥物的分配方法种数为（）A. 9B. 18C. 19D. 20【答案】B【解析】依题意A小组“冰墩墩”可能有1个或2个，A小组有1个“冰墩墩”，那么有C；C； =9种分配方法；A小组有2个“冰墩墩，那么有C；C；=9种分配方法；综上可得一共有C；C；+C；C；=18种分配方法；故答案为：B3

29、 （2022 广东三模）将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持秩序、现场指引4个岗位， 每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，那么不同分配方案共有（）A. 120 种 B. 240 种 C. 360 种 D. 480 种【答案】B【解析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，故有C；A：=240种不同的分配方案；故答案为：B4. （2022 晋城二模）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕.带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的 世界带来了信心.为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作.有来自某大学的2名男 老师,2名女老

30、师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天， 如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方 案共有（）A. 120种B. 96种C.48种D.24种【答案】C【解析】假设将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有用种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有8种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有用用M种安排方案，所以符合条件的安排方案共有其- 国-A：A； + A；用=48 .故答案为：C.5 .（2022 合肥模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱

31、.假设中国空间 站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱 各安排1人.假设甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，那么不同的安排方案共有（）A. 8种B. 14种C.20种D. 116种【答案】B【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，假设甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，那么 有C； &=3x2=6种可能；假设甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心 舱即可，贝U有C；C；=2x4=8种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故答案为：B

32、.6 . （2021宾县月考）将四个编号为1, 2, 3, 4的小球放入四个编号为1, 2, 3, 4的盒子中.（1）假设每盒至多一球，那么有多少种放法？（2）假设恰好有一个空盒，那么有多少种放法？（3）假设每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，那么有多少种放法？【解析】（1） 24 （2） 144 （3） 8【答案】（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有A： =24种.答:共有24种放法.（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有C：种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有A：种投放方法，所以共有C；A；=144 （种）放法.答：共有14

33、4种放法.（3） 一个球的编号与盒子编号相同的选法有C；种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有C；x2 = 8 （种）放法.答：共有8种放法.7.（2022黄豆）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中. 求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多 少种不同的放法？【答案】（1） 24 （

34、2） 144 （3） 8 （4） 12【解析】（1）解：根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为阎=24 （种）；（2）解：先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1,然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为盘看=144 （种）；（3）解：考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，那么其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号 为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3,因此，所求放法种数为2x4 = 8 （种）；（4）解：按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，那么只需在4个

35、完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为4C；=12 （种）.题组四涂色L （2022.重庆九龙坡）随机给如下图的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择,那么“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）6412564125B.24125C.64625D.256625【答案】A【解析】解：随机给如下图的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择,每个三角形均有5种涂法，故基本领件总数 =5。有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有43种涂法，这一共有5x43种涂法，二所求概率为。=孚=黑.应选：A. JJ 1 4 J2. （2022.福建三明）汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如