基本不等式 均值不等式定理 教学设计.docx

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1、1.2基本不等式教学目标1 .学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.教学重、难点重点：均值不等式定理的证明及应用.难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.教学过程：一、知识学习：我们已经学过重要不等式2 2伙为了方便同学们的学习，下 面将它以定理的形式给出，并给出证明.定理1：如果a、bR,那么/+从22（当且仅当a = b时取=”号） 证明：因为+一2=（-份220,当且仅当a=b时等号成立，所以 a? +b2之2ab,当且仅当a二b时，等号成立.探究：你能从几何角度解释定理1吗？如果把实数a, b作为线段长度，那么可以这样来解释定理1：以ae

2、b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.那么S正方形 ABCD+S 正方形 CEFG = a2+b2.矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽为b,它们面积的和是S矩形形BCGH+S矩 形 JCDI=2ab.矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是正方形JCGK,它的边长等于b,其面积与 正方形CEFG相等.所以，上述两个矩形面积的和2ab就等于图中阴影部分面积，它 不大于正方形ABCD与正方形CEFG面积的和，即a2+b22ab.当且仅当a二b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD 与正方形CEFG面积的和，即a2 +b2 = 2ab.将定理1作

3、简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式.定理2（基本不等式）如果a, b0,那么石.（当且仅当a=b时取“=”号）（老师引导学生完成证明过程）说明：如果a, b都是正数，我们称审为a, b的算术平均数，称，石为a, b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.下面我们讨论基本不等式的几何意义.例2 CD是RtaABC中斜边AB上的高，0C是斜边AB上的中线，AD二a, BD二b.于是，OC-AB = -（a + b）. 22/ ZDCA + NA = 90。 + NA = 90,ZDCA = ZRRtAOCA s RtADBC.AD

4、CD a CDCD = fab.当aWb时，在RtZXOCD中，斜边CO大于直角边CD,所以石.当a=b时，RtZXABC斜边AB上的中线C0和高CD重合，所以g2 二 疝.综上所述可知，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于 斜边上的高.定理3如果a,b,c为正数，则弋+ %底当且仅当a二b二c时，等号成立。证明：a + z? + cV 3（二）3 +（姊兄+（四）3之四跖蚣 3由上例知，定理3成立。定理4 （一般形式的算术-几何平均值不等式）如果丽&,，&为n个正数， r-,1 4 +2 + 、/则=的小./“n-并且当且仅当由毡二刊时，等号成立。二、例题讲解：例3求证：(1

5、)在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；(2)在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.一般地，从基本不等式可以得到下面结论：对两个正实数x, y,如果它们的 和S是定值，则当且仅当x=y时，它们的积P取最大值；如果它们的积P是定值，则 当且仅当x二y时，它们的和S取得最小值.例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主题造型平面图是由两个 相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域.计划在正方形MNP Q上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分) 铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草 坪，造价为每平方米80元.(1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.三、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时.，应注 意定理的适用条件.