柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 教学设计.docx

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1、柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1 .掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条 件；2 .基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值。自主学习：1 .三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？2 .一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少 要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件。3 .结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用. 学习过程：一、问题情景导入平面上向量的坐标(x, y)是二维形式的，空间向量的坐标(x, y, z)是三维 形式的。二、自学探究：定理：设2M3，M”,仇

2、涉2，0，b是实数,则当且仅当 或存在一个实数k,使得 时，等号成立。三、例题演练：例1、已知a, b, c, d是不全相等的正数，用柯西不等式证明：tz2 + Z?2 + c2 + d2 ab +be + cd + da例2已知”a2M3,都是实数，求证：(q + 4 +，- +J? W n例3、已知x + 2y + 3z = l,求V + V + z?的最小值自主检测：1 .已知。也C。,且a+6+ c = l,则已+北+。2的最小值为()oA. 1 B. 4C, -D.-342 .设4必，MH，,则产+%2+ +/与q+%+ +%的大小关系为 V nn3 .若Q,b,cO-+ ? +=

3、l ,则a + b + c的最小值是.a b c变式：例L已知。,友。0,求证：(1) . + 7 + + + 29(2). (a + b + cSia1 +b2 +c29abc abca + b + c例2. 已知q,4eR.求证:(n 3=i 7nJ=1(2)已知心，4 0,4+%+ +%=1.求证)2?1Cl 2% an- , an 、1a + % % + % % + %_ + % +4 22 /2(3)已知4,%, ,%尺力也，也 。.求证：+ + : + :+ +7-7774 A “ 心 4+4+. + 例3.已知。；+%2+ +4”1,为2+知+ +乙2=1,求g+%/+ +%的最

4、大(2)设 ,/7,(? R+,a + Z? + c = l ,求(2)设 ,/7,(? R+,a + Z? + c = l ,求c + 一C)的最小值.若x+y+z = 19 ,求函数=，九2 +4+Jy2 +9+16的最小值.【课堂检测】L的大小关系为(1,设 4M2，%eR，则尸=A. PQ B. PQ C. PQ D. PQ( i i i、2 .设a, b, c, cU/T,且P = (+c+d) -+工 + - + 丁，贝iJP的最小值为.3 .已知x + 4y + 9z = l ,贝!J x2 +y2+z2的最小值为.4 .把一条长为m的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四 个正方形的面积和最小？【总结提升】1 .由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认 识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以 对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三 维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2 . 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解 决问题时才能灵活使用.