待定系数法 教学设计.docx

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1、待定系数法【学习要求】. 了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反 比例函数解析式；1 .掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题.【学法指导】通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知 识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质.填一填：知识要点、记下疑难点.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先 把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些途 定系数.这种通过求退定系虬来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数 法.1 .正比例函数的一般形式为y=kx(kr

2、O),反比例函数的一般形式为y=_- X(kWO), 一次函数的一般形式为y=kx+b (k#0),二次函数的一般形式为 yuax+bx+c (aWO).研一研：问题探究、课堂更高效问题情境对于一次函数y=kx+b(kWO),如果知道了 k与b的值，函数关 系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法 来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法一一待 定系数法.探究点一待定系数法的概念问题1已知一个正比例函数的图象通过点(一3, 4),如何求这个函数的解析 式？答：我们可设所求的正比例函数为丫=1,其中k待定，根据已知条件，将点4(3,4)代入可得1=一

3、鼻.V)4所以所求的正比例函数是y=tx.O问题2在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数 法下个定义吗？答：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数 写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通 过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.问题3正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几 个需要确定的系数？答： 解析式分别为 y=kx(kWO), y=kx+b(kWO), y=ax?+bx + c(a#0),它 们的解析式中待定系数各有1个，2个，3个.问题4对于两个按降幕顺序排列的一元多

4、项式，当满足什么条件时，它们才相 等？答：当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等.探究点二用待定系数法求一次函数问题1我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？ 答：只需要一个条件.问题2我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？答：需要2个独立的条件.因为一次函数的解析式中有2个待定的系数.例 1 已知 f(x)是一次函数，且有 2f(2)3f(l)=5,2f(0)f(-l)=L 求这 个函数的解析式.解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b(kWO),其中k, b待定.根据已知条件，得方程组件，得方程组2 2k+b -32b- -k+b

5、k+b=1=5kb = 5即 一 ， 解此方程组，得k = 3, b = -2.因此所求的函数是y = 3x2. Lk+b = l小结：在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.跟踪训练1已知函数f(x)是一次函数，且有ff(x)=9x+8,求此一次函数的解析式.解： 设该一次函数是y = ax + b,由题意得f f (x) =a(ax + b) +b = a2x + ab + b = 9x + 8.fa2=9fa=3a= 3因此有。，解方程组，得 。或.所以一次函数为Lab + b = 8b = 2b=4f (x) =3x + 2 或 f (x) = 3x

6、 4.探究点三用待定系数法求二次函数问题1二次函数解析式有哪几种表达式？答：二次函数解析式有三种形式：一般式：y = ax? + bx + c；两根式：y=a(x Xi) (xx2)；顶点式：y = a(x h)2+k.问题2我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？答： 需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数.问题3如何根据题设条件来设二次函数的解析式？ 答：(1)已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为y = ax2+bx + c；(2)已知二次函数图象的顶点坐标(m, n),可设解析式为y=a(xmL+n；(3)已知二次函数图象与x轴有两个交点，可设解析式为y=a(

7、x xj (x xj .例 2已知一个二次函数 f(x), f(0) = -5, f(1) =4, f(2) =5,求这个函数.解：设所求函数为f (x) =ax? + bx + c (aWO),其中a, b, c待定，0 + 0 + c = 5根据已知条件，得方程组一b + c = -4,解此方程组，得a=2, b = l, c4a+2b + c = 5=5.因此,所求函数为f(x) =2x?+x5.小结：确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数 表达式.跟踪训练2已知二次函数图象的顶点为(一1, -3),图象与y轴交点为(0,- 5),求函数的解析式.解：设所求的二次

8、函数为y = a(x + l)23,由条件得：点(0,5)在抛物线上, 所以有a3 = 5,得a=-2.故所求的抛物线解析式为y=-2(x+1)2-3. BP y= -2x24x 5.例3.已知函数f(x)=x?-4ax+2a+6,若函数的值域是0, +),求函数的解 析式.解：因为函数的值域是0, +8),所以 =16a?4(2a+6) =0,解得a= 一一 31或a=$.所以 f (x) =x2+4x+4 或 f (x) =x26x+9.小结：用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：先设出含有待定 系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方 程或方程组的

9、解，从而写出所求的解析式.其步骤可简记为四个字“设、歹11、求、 写.”跟踪训练3二次函数的图象与x轴交于A(2, 0), B(3, 0)两点，与y轴交 于点C(0, -3),求此二次函数的解析式.解：因为二次函数的图象与x轴交于A( 2, 0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为f(x) =a(x + 2) (x-3),将C点坐标(0, 3)代入f(x)的表达式，得一6a=3,解得a=J.所以二次函数是 f (x) =(x + 2)(X 3),即 f (x) =1x21x 3.练一练：当堂检测、目标达成落实处.二次函数y=-x2-6x + k的图象的顶点在x轴上，则k的值为 ()A.

10、19B. 9C. 3D. 13解析: Vy= (x + 3)2 + k + 9, Ak + 9 = 0, k=9.1 .已知y + 5与3x + 4成正比例，且当x = l时，丫 = 2.则丫与*的函数关系式为解析：设 y + 5 = k(3x+4),由 x = l 时，y = 2, 得 2 + 5 = k(3 + 4),所以 k=1,所求函数关系式为y = 3x-l.2 .若函数y = x?+(a+2)x + 3, xe a, b的图象关于直线x= 1对称，贝U b=.i - i a+2-a+b解析： 对称轴 x= 一 =1,又=1,b = 6.乙乙课堂小结：1 .求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图 象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与X轴的两个交点的 横坐标Xi、x2,通常选择两根式.2 .一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出 函数关系式.