高数上册知识点复习资料重点2.docx

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1、高等数学上册知识点一、函数与极限(-)函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：塞函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;4、 函数的连续性与间断点；函数/(X)在玉)连续lim/*) = /(%)XT.”间断点r第一类：左右极限均存在.(可去间断点、跳跃间断点)工第二类：左右极限、至少有一个不存在.(无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. (二)极限1、定义1)数列极限：lim(X BN g N, V/z N, xn - a

2、 oo112)函数极限 :lim /(x) = AoWcO, 30, Vx,当0,一与| v45时，|/(x) A|左极限：f(x-)= lim /(x)右极限：/(玉；)=lim f(x)lim f (x) = A 存在 o /(x0 ) = f(XQ)2、极限存在准则1)夹逼准则：1) yn )2) lim yn = lim z,f =af1lim xn = aw30J82)单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小(大)量1)定义：若lim a = 0则称为无穷小量；若lim a =oo则称为无穷大量.2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Thl a 0 = 0

3、 = a + o(a);Th2 必夕,加巨存在，则=(无穷小代换)aa a4、求极限的方法1)单调有界准则；2)夹逼准则；3)极限运算准则及函数连续性；. 1 4)两个重要极限：a) lim51 = 1 b) lim(l + x)v = lim (l+-)v =eA-0 XXT。XTX X5)无穷小代换：(xfO) a) x- sinx- tanx-arcsinx- arctanx b) l-cosx-x2 2c) e1 无，(4/v -1 - xln a )d) ln(l + x) - x(logd(l + x) )e) (1 + - axIn a二、导数与微分(一)导数定义： lim /(

4、幻一/)XT X- XQ左导数：/(/)= lim /一/a。),右导数：/：(%)= im 仆。)-G x-x0G x-x0函数/在项)点可导 (/) = (%)几何意义：/(两)为曲线,y = /(x)在点(.”(%)处的切线的斜率.1、 可导与连续的关系：2、 求导的方法1) 导数定义；2)基本公式；3)四则运算；4)复合函数求导(链式法则);5)隐函数求导数；6)参数方程求导；7)对数求导法.3、 高阶导数1) 定义：心=之(包)2)Leibniz公式：(犬)=之dx1 dxdx)A-=0(二)微分1) 定义：=/(玉)+ )-/0)= AAx+o(Ax),其中 4 与 Ar 无关.2

5、)可微与可导的关系：可微o可导，且力= /(/) = /(/)公三、微分中值定理与导数的应用 (一)中值定理1、 Rolle定理：若函数/)满足：1)/(x)eC6/,Z： 2) /(x) D(a,b) ； 3) f(a) = f(b)；则游 w(a,外使f) = 0.2、 Lagrange中值定理：若函数/(x)满足：1)/(x)wC4句;2) /(幻。(4份；则书(。,垃使/S)-/3) = rS-4).3、 Cauchy中值定理：若函数/(x),b(大)满足：1) f(x)9F(x)GCa,bi 2) f(x),F(x)eD(a,b)； 3) b(x) w 0,xw (。,力)贝归 J

6、e (a,b 使=侬F(b)-F(a) F(二)洛必达法则(三)Taylor公式 (四)单调性及极值1、 单调性判别法：/(工)。5向，/(幻。(,)，贝IJ若尸(x)0,则/0)单调增加；则若八工) = ，则 =迎 （六）线性微分方程解的结构1、X，必是齐次线性方程的解，则Gy +c2y2也是；2、力,力是齐次线性方程的线性无关的特解，则Gx+C2凡是方程的通解；3、），=。0+。2%+ ）为非齐次方程的通解，其中M，%为对应齐次方程的线性无关的解，力非齐次方 程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：），+），+/=（）特征方程：r1 + pr + c/ = O ,特征根：rp r2特征根通 解实根乙工七)，= Ge + y弓=一y = (C+C2x)er,x42 =ai(3y = eax(Ci cos尸x+ C2 sin px)（八）常系数非齐次线性微分方程 y + p）， +q），= /（x）0. 2不是特征根I. 2是一个单根1、f(x) = ePm(x)f 设特解./=32/)，其中, A - 42, 2是重根2、f(x) = e(6(x)cosox+ Q,(x)siri5)设特解)=/R：)(x)cosm+ R：，(x)sinou,fo,丸+加不是特征根 其中 z = max/, , k = 1,2+侬.是特征根