《基本不等式》 教学设计.docx

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1、附件：教学设计方案模版教学设计方案课程基本不等式课程标准理解并熟练掌握“基本不等式”的应用教学内容 分析本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要 是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质， 掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一， 为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究 最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系 中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应 用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本 不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅 要接受、

2、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交 流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作 用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现 实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方 法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式 的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本 不等式也起着重要的作用。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生 观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养 学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。（教材：人教版高中数学必修5

3、第三章）教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本 不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2.进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式 的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高 逻辑推理论证能力；3 .结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的 几何解释，强化数形结合的思想；4 .借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式、一亍的三个限制条 件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力， 体会方法与策略.学习目标了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等

4、 式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值 问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。学情分析学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本 不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完 成基本不等式的代数证明。重点、难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探t-r dr 4- b索不等式F的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.教与学的媒体选择媒体课件、几何画板、电脑3D技术课程实施 类型偏教师课堂讲授类偏自主、合作、探究学习类备注偏自主、合作、探究学习类教学活动步骤序 号名称课堂教学环节/ 学习活动环节长度

5、1动手操作，几何引入动手操作2分钟2代数证明，得出结论代数证明8分钟3几何证明，相得益彰几何证明8分钟4应用举例，巩固提高应用举例20分钟5归纳小结，反思提高归纳小结1分钟6布置作业，课后延拓布置作业1分钟教学活动详情教 学活动1： *活动目标了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等 式的证明过程，理解基本不等式的儿何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。解决问题在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本 不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。进一步通过探究儿何图形，给出基本不等式的儿何解释，加强 学生数形结合的意识。技术资源媒体课

6、件、几何画板、电脑3D技术，用几何画板展示函数图形， 进一步深化数形结合的思想。常规资源几何画板，投影活动概述如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会 标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今 为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、 代数和几何是紧密结合、互不可分的.探究一:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形4BCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形两条直角边长为。力，那么正方形的边长为+ 于是，4个直角三角形的面积之和2而,正方形的面积=/+值.由图可知即夕，及23.探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折

7、成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于 两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）.假设两个正方形的面积分别为和b （。丸），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现:2.代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论:若WK,则+户2时.k 6见”A若GgR*,贝ij2 .学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动 画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等 式结论：（1）若则/.b空2而；若如尺*,则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法）：/ +2-2小=（

8、。-尸之。而，当a.D时取等号.（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于劣以尺二于是只要证明力62而，即证而-220,a+b瓜即（石该式显然成立，所以亍“，当。时取等号.得出结论，展示课题内容基本不等式：若4以曾，则2 （当且仅当a3时，等号成立）若则炉+及AMb （当且仅当ab时，等号成立） 深化认识：a + b称而为a,b的几何平均数；称丁为的算术平均数基本不等式基本不等式皿空公 .一2又可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3.几何证明，相见益彰探究三：如图，为5是圆。的直径，点。是上一点，10-a,BCb.过点C作垂直于力B的弦DE,连接力D,8D

9、.根据射影定理可得：CD-JAC BC辰由于RtACOD中直角边CD 斜边0D,曲竺士于是有 2当且仅当点。与圆心。重合时，即。时等号成立. 故而再次证明：当 a0R0 时,皿竽（当且仅当。匕时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）教与学的策 略让学生自主、合作、探究学习反馈评价学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画， 使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结 论，进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性。教学活动2： *活动目标通过例题的讲解和习题的层层深入让学生较为熟练的掌握基本不 等式的一些简单的应用。解决问题借助例1，引导学生尝

10、试用基本不等式解决简单的最值问题， 体会和与积的相互转化，进一步通过例2,引导学生领会运用基本 不等式、“号的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值 问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合 的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问 题的能力，体会方法与策略。技术资源媒体课件、几何画板、电脑3D技术，用几何画板展示函数图形， 进一步深化数形结合的思想。常规资源几何画板，投影活动概述4.应用举例，巩固提高例L （1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是多少？（2） 一段长为36米的篱笆围成一个

11、矩形菜园，问这个矩 形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特 征,实现积与和的转化）对于xjsR.,若 WP （定值），则当且仅当小时,X”有最小值近（2）若x-y=s（定值），则当且仅当。力时，？有最大值W.（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理 解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神.）例2,求/公的值域.变式L若x2,求口的最小值.在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示y = r +# 0）7 公 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想.成 0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小

12、值.4 .若 x,y0,2x+y+6=xy,求 xy 的最小值.5 .求函数2（x0）的最小值。x+1.已知0/0,且/+生=1,求-J1+从的最大值.25.归纳小结，反思提高基本不等式：若a，bwR,则足.b空2曲（当且仅当。b时， 等号成立）JTT 若GwM,则-（当且仅当ab时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法.媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为“=丁，几何平均数记为利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的儿何背景：平面”=一，一在曲面与后的上方100 zXinn F* x6.布置作业，课后延拓（1）基

13、本作业：课本P100习题人组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等 式的其他几何解释，整理并相互交流.（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称 物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量 的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？并说明你的结 论.教与学的策让学生自主、合作、探究学习略通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征，实 现积与和的转化鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还 锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神.在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示反馈评价J-1*）。的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想.并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式F 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提 升解决问题的能力，体会方法与策略.评价量规教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手 点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释， 深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单 最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学 活动之中。其它参考书教材：人教版高中数学必修5第三章备注