高等数学上册教案18换元积分法1.pdf

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1、第 4 章 不定积分第一类换元积分法【教学目的】：1.理解第一类换元积分法；2.会用第一类换元积分法计算不定积分。【教学重点】：1.用第一类换元积分法计算不定积分。【教学难点】：1.凑微分技巧。【教学时数】：2 学时【教学过程】：4.2.14.2.1 第一类换元积分法第一类换元积分法我们先看这样一个例子，求不定积分e2xdx，因为被积函数e2x是x的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：2xedx 12x1ue d(2x)e du(令2x u)221ue C21e2xC(将2x u代回)211因为(e2xC)e2x，所以e2xC确为e2x的原

2、函数，说明上述解法正确22于是有下述定理：定理定理 1 1（第一类换元积分法）设函数u(x)在所讨论的区间上可微，又设f(u)du F(u)C，则有f(x)(x)dx f(x)d(x)F(x)C第一类换元积分法的解题步骤：设要求g(x)dx,如果被积函数g(x)可化为g(x)f(x)(x)的形式，则g(x)dx=f(x)(x)dx f(x)d(x)f(u)du=F(u)C F(x)C。注注 第一换元积分法的关键是如何选取(x)，并将(x)dx凑成微分d(x)的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法（1）利用dx 11d(ax)，dx d(ax b)，a、b均为常数，且a 0凑微分aa例例

3、 1 1 求sin(2x 1)dx解解令u 2x1，则du 2dx,即dx 1du,所以2sin(2x 1)dx 11sinudu cosu C221再将u 2x1代入上式，得sin(2x 1)dx cos(2x 1)C2熟练之后，可以省略设(x)u这一步，直接进行凑微分（2）利用xn1dx 11111d(xn a)（nZ），dx d ln x，2dx d，dx 2dx，nxxxxsin xdx d cosx，cosxdx d sin x，sec2xdx d tan x，csc2xdx d cot x，1dx d arcsin x，dx d arctan x等微分公式凑微分221 x1 x1例

4、例 5 5求tan xdx解解tan xdx sin x1dx dcosx lncosxCcosxcosx（3）利用三角函数恒等式来凑微分例例 7 7求sin3xdx解解sin3xdxsin2xsin xdx sin2xd cosx(1cos2x)d cosx1cos3x cosx C3当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分例例 8 8求sin2xdx解解sin2xdx 1cos2x111dx(dx cos2xdx)(x cos2xd2x)222211x sin2x C24当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用

5、降幂公式（cos2x 1 cos2x1cos2x，sin2x）对被积函数进行降幂，然后再利用凑22微分进行积分例例 1010求sin2xdx解解方法一sin2xdx 11sin2xd2x cos2xC22方法二sin2xdx 2sin xcosxdx 2sin xdsin x sin2xC方法三sin2xdx 2sin xcosxdx 2cosxd cosx cos2xC在例 10 中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数C中，由此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的【教学小节】：本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。【课后作业】：无