高等数学不定积分练习题及答案.pdf

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1、不定积分练习题A一、填空题1.已 知 2e2x是f(x)的 一 个 原 函 数，则f(sin x)cos xdx 2e2sin xf(x)dx 4eC，f(x)dx 2eC，C，f(x1)dx 2eC，xf(x)dx 2(2x1)eC.2(x1)2x2x2x2.若f(2x)dx 2cos xC，则f(x)2sin2x.（两边求导得f(2x)2sin x，再换元）22753.过点(1,1)且在任一点(x,y)处切线斜率为xx的曲线方程为y x2.77124.若f(x)dx x2 xC，则f(2x1)dx(2x1)2x1C.2x5.若f(e)1 x，则f(x)xlnxC.（由已知f(x)1ln x

2、，再积分即可）6.若f(x)具有连续的一阶导数，则exf(x)f(x)dx e f(x)C.（后半部分用分部积分可与x前半部分抵消）二、计算题x41132dx(x 1)dx x xarctan xC；1.解：221 x1 x3x3xdx(x1 x21 x2)dx2.解：；1111212x2d(1 x)x ln(1 x2)C222 1 x2213233.解：sin xdx (1cos x)d cosx cosxcos xC；3x112x221d(x22x5)2dx 2dx2dx 2dx4.解：222x 2x52x 2x5x 2x52x 2x5(x1)21x1ln x22x5 arctanC；22

3、2x3d(x23x10)dx 2dx ln x23x10 C；5.解：2x 3x10 x 3x10 x1d(x29)6.解：dx x29 C；2x29x297.解：1d(9 x2)dx 9 x2C；29 x29 x2x9 x23cos t1sin2tdx 3costdt 3dt 3(csct sint)dtx3sin tsint8.解：39 x2 3ln csct cott 3cost C 3ln9 x2C；xx293tan tdx 3sect tantdt 3tan2tdt 3(sec2t 1)dt9.解：当x 0时，x3sect3 3tan t 3t C x29 3arccosC，x当x

4、0时，所以10.解：x29u2933dx du u29 3arccosC x29 3arccosC，xuxuuxx293dxx29 3arccosC；xx1(1 x2)3dx 112sec tdt costdt sint C C；2sec3t1 x22t212dt t arctant (1)dt11.解：arctanxdx arctantdt t arctant 221t1t t2arctant t arctant C (x1)arctanx x C；ln(1 x)t222dx 2ln(1t)dt 2(tln(1t)2dt)12.解：1t2x 2tln(1t2)4t 4arctan t C 2

5、 x ln(1 x)4 x 4arctanx C；B1.求下列不定积分1.解：tan xsec xdx tan xsec xd tan x(tan xtan x)d tan x 343253161tan xtan4xC；642.解：sin xsin xcosxdx sin(x)sin(x)cos(x)144dx 44dx22sin(x)2sin(x)4411(1cot(x)dx(xlnsin(x)C；242412131213121223.解：x cos xdx x(1cos2x)dx x x d sin2x x x sin2xxsin2xdx2646421111111x3x2sin2xxd c

6、os2x x3x2sin2xxcos2xcos2xdx64464441111x3x2sin2xxcos2xsin2xC；64481 x1 t，则x 24.解：令，xt 11111ln(1t)dtln(1t)222(4422)dt原式ln(1t)d2t 1t 1(t 1)(t 1)t 1t 1t 1(t 1)ln(1t)1112ln(t 1)ln(t 1)Ct 1442(t 1)1 x11 x11x xln(1)ln()C；x41 x1 x12(1)xxarctanex112x12xx2xxdx arctane de earctane ed arctanex5.解：2xe22212x1ex12x

7、1dex12x1xx earctane 2xdx earctane earctanexC；2x2x22e(1e)22 1e226.解：令ex1 t，则x ln(t 1)，2(t21)ln(t21)t2222d ln(t 1)2ln(t 1)dt 2tln(t 1)42dt原式tt 1 2tln(t21)4t 4arctant C 2x ex14 ex14arctanex1C；1111d(x)x21 xx2x1arctanxC；7.解：dx dx 41121 x222 x(x)22xx11112211 1 x1 1 x1x21x28.解：dx dxdx dxdx1 x42 1 x42 1 x42

8、1 x221 x2x2x21111d(x)d(x)xx21x1x1arctanx1lnxC；12(x1)222(x1)22222 2x2xxx x9.解：当x 0时，edx exdx exC，.当x 0时，e x xdx exdx exC1，xxeC,x 0eC,x 0 x所以edx x，又因为edx x可导，故函数连续，e C1,x 0e C1,x 0 xeC,x 0 x所以C11 C 1，所以C1 C 2，所以edx x.e 2C,x 02(x1),x 12.已知函数f(x)，求f(x)的一个原函数.lnx,x 1解：记F(x)f(t)dt，则F(x)为f(x)的一个原函数，1x当x 1时，F(x)当x 1时，F(x)x1lntdt xln x x1，x12(t 1)dt (x1)2，xlnx x1,x 1所以F(x).2(x1),x 1