高等数学不定积分讲义.pdf

《高等数学不定积分讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学不定积分讲义.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.第3、4 次课4 学时课程安排：1 学期，周学时 2,共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1.理解不定积分的概念 2.理解不定积分的性质；3.熟记根本积分表。重点：不定积分的性质和根本积分表难点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.不定积分的概念252.不定积分的性质303.根本积分表304.习题90课后作业参考资料.word.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1 1、复习、复习 1313 个根本导数公式个根本导数公式.2 2、原函数与不定积分的概念、原函数与不定积分的概念.1 1定义定义 1 1 在区间I

2、上，如果可导函数Fx的导函数为f(x)，即对任一xI，都有Fx f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数Fx就称为f(x)(或fxdx)在区间I上的原函数.2 2 原函数存在定理原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数Fx,使对任一xI都有F(x)f(x).注：注：1、如果函数f(x)在区间I上有原函数Fx,那么f(x)就有无限多个原函数.F(x)C都是f(x)的原函数.(其中C是任意常数)2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和Fx都是f(x)的原函数,那么(x)FxC(C为某个常数).简单地说就是,连续函数一定有原函数连续函数一定有原

3、函数.定义定义 2 2在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分.记作f(x)dx,其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.3 3、例题讲解、例题讲解.例 1 因为sinx是cos x的原函数,所以cosxdxsinxC.因为x是1的原函数,所以2 x1例 2.求函数f(x)的不定积分x21dxxC.x解：当x 0时，(lnx)11，dxlnxC(x 0).xx.word.当x 0时，ln(x)1(1)1，xxxdxln(x)C1(x 0).合 并 上 面 两 式,得 到xdxln|x|C(x

4、0).例 3.求x2dx.1 x3x3x3222C.解由于 x，所以是x的一个原函数，因此x dx 3334 4、变式练习、变式练习5 5、积分曲线、积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系d f(x)dx f(x)dx或df(x)dx f(x)dx.又由于F(x)是Fx的原函数,所以F(x)dxF(x)C或记作dF(x)F(x)C.6 6、根本积分表略、根本积分表略.例 4.13dxx3dx1x31C12C.31x2xx例 5.25x2dxxdx517122xCx2C2x3xC.517727 7、不定积分的性质、不定积分的性质.性质性质 1

5、1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.这是因为,f(x)dxg(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)g(x).性质性质 2 2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即kf(x)dxkf(x)dx(k是常数,k 0)例 6.x(x 5)dx25(x215x2)dx.1x2dx5x2dx715x2dx35x2dx522x2 5x2 C.73.word.(x1)3x33x23x1dx(x331)dx例 7.dxxx2x2x2xdx3dx31dx12dx1x23x3ln|x|1C.x2xx8.8.变式练习变式练习(1

6、)xdx2x(2)3(x 1x)dx(3)（2x x2）dx(4)3x43x21x2dx(6)dxx(x 3)dx(5)x211 x2321x134)dxdx(9)(10)-+3-4）dx(8)(x x xdx22221 xx(1 x)2xxx1 x(7)（e2x1dx(12)3xexdx(13)cot2xdx(11)xe 1.word.课程安排：1 学期，周学时 2,共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程第 5 次课2学时.word.本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第一类

7、换元积分法理论252.练习65课后作业参考资料第一类换元积分法第一类换元积分法1 1、回忆旧知、回忆旧知1复习 13 个常见积分公式2思考：cos2xdx sin2xC对吗？2 2、第一类换元法、第一类换元法.word.设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF(x)dF(u)F(u)du F(x)d(x)F(x)(x)dx即f(x)(x)dx f(x)d(x)f(u)duu(x)F(u)Cu(x)F(x)C定理定理 1 1 设f(u)具有原函数u(x)可导那么有换元公式f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)CF(x)C3 3、讲授例题、讲授例题

8、.例 1cos2xdx 12cos2x(2x)dx12cos2xd(2x)令u2x112cosudu 2sinuC12sin2xC例 2132xdx12132x(32x)dx12132xd(32x)令u32x112udu 12ln|u|C12ln|32x|C例 3tanxdxsinxcosxdx1cosxdcosx=ln|cos x|C例 4 求sec6xdx.解sec6xdx(tan2x1)2sec2xdx(tan4x2tan2x1)dtan x1tan5x23tan35xtan xC4 4、变式练习、变式练习.(32x)3dxdx323xsinttdtdxxln xln(ln x)dxco

9、sxsin xdxex exxcos(x2)dx3x31 x4dx.word.6次课2学时.word.第.课程安排：1 学期，周学时 2,共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.练习90课后作业参考资料第一类换元积分法第一类换元积分法.word.1 1、复习旧知、复习旧知.1 11313 个常见的积分公式个常见的积分公式.（2 2）第一类换元积分法）第一类换元积分法.2 2、例题讲解较难的积分、例题讲解较难的积分.例 1.sin3xdxsin2

10、xsinxdx(1cos2x)dcosxdcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC3例 2.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)1dx1cos2xd2x 1x1sin2xC222424dxdtanx122ln|tanx|C例 3.cscxdx1dxdxsinx2tanxcos2xtanx2sinxcosx22222ln|cscxcotx|C即cscxdxln|cscxcotx|C例 4.secxdxcsc(x)dx ln|csc(x)cot(x)|Cln|secx tanx|C222即secxdxln|secx tanx|C3 3、变式练习、变式练习.11 xsin

11、 x2dx9 4x2dxcos3x3dx34cos2x21xdx5)sin2xcos3xdx6)tan3xsecxdxx31dx7)8)3cos2x 4sin2xdx9 x29)102arccosx1 x2dx10)arctanxx(1 x)dx4 4、小结、小结（1）分项积分：利用积化和差;分式分项;1 sin xcos x等；.word.22.221（2）降低幂次：利用倍角公式,如cos x 12(1cos2x);sin x 2(1cos2x).（3）统一函数:利用三角公式;配元方法.（4）巧妙换元或配元.word.word.第 7次课2学时课程安排：1 学期，周学时 2,共 48 学时.

12、主要内容：不定积分，定积分，微分方程.word.本次课题：第二类换元积分法教学要求：1.理解第二类换元积分法重点：第二类换元积分法难点：第二类换元积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第二类换元积分法理论252.练习65课后作业参考资料第二类换元积分法第二类换元积分法1 1、复习第一类换元积分法、复习第一类换元积分法.2 2、第二类换元法、第二类换元法.1 1定理定理 1 1 设xt是单调的、可导的函数并且t0又设f tt具有原函.word.数Ft那么有换元公式f(x)dxf(t)(t)dtF(t)F1(x)C其中t1x是xt的反函数这是因为F1(x)F(t)dtdx f(t)(

13、t)1dx f(t)f(x)dt3 3、例题讲解、例题讲解.例 1.求a2x2dx(a0)解:设x asin x，2t2那么a2x2a2a2sin2t acostdx acostdt于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdt a2(12t14sin2t)C因为t arcsinx22a,sin2t2sintcost2xa xaa所以a2x2dxa2(122t14sin2t)Ca2arcsinxa12x a2x2C.例 2求dx4x29.解原式1d(2x)2(2x)232122ln 2x4x 9 C.例 3 求dx1ex.解为了消去根号，设1ext，那么x ln(t21),dx 2

14、tt21dt.所以dx2t1ext(t21)dt 21 11 t21dt t 1t 1dt lnt 1t 1C ln1ex11ex1C.4 4、变式练习、变式练习.1x 1 x2dxsinxdx.word.x2 4xdxx2a2 x2dx,(a 0)dx(x21)3dx12xdxdxx 1 x21 1 x2.word.第8次课2学时课程安排：1 学期，周学时 2,共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：分部积分法 1教学要求：1.掌握分部积分法重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.分部积分法理论252.练习65课后作业参考资料分部积

15、分法分部积分法.word.1 1、提出问题、提出问题：求解xexdx让学生试着求解.2 2、分部积分公式、分部积分公式.设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分得uvdxuvuvdx或udvuvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分公式 思路分析思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。的原那么进展分部积分的练习。3 3、例题讲解、例题讲解.例 1求xexdx.解设u x,dv e dx,那么du dx,v e.于是xxxxxxxxxe dx xde xe e

16、 dx xe e C.例 2求x ln xdx.11,v x2.x21211212原式x ln xx dx x ln xx C.2224解令u ln x,v x,那么u 例 3求exsinxdx.解设u sinx,v e.u cos x,v e.那么原式 exsin x excosx dx.xx再令u cosx,v e.那么u sin x,v e.xx故原式 exsinxexcosx exsinxdx.x故exsin x dx 1.2e(sin xcosx)C说明:也可设u e,v为为三角函数,但两次所设类型必须一致.x注注：(1)f(x)dx凑微分udv公式uvvdu uvvudx.(2)v

17、u dx应较f(x)dx易积分.(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出u,dv，而是直接用公式来做.word.例 5求xcosxdx.解cosxdx xdsin x xsin xsin xdx xsin xcosxC.例 6求x2exdx.解x2exdx x2dex x2exexdx2 x2ex2xexdx x2ex2xdex x2ex2xex2exdx x2ex2xex2exC exx22x2C.4 4、变式练习、变式练习.xsinxdxarcsin xdxx2ln xdxe2xsinx2dxx2arctanxdxx2cosxdxln2xdxx2cos2x2dx.word.第 9次课2

18、学时课程安排：1 学期，周学时 2,共 48 学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程.word.本次课题：分部积分法教学要求：1.会应用分部积分法求积分重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.习题90课后作业参考资料分部积分法分部积分法1 1、复习分部积分法、复习分部积分法.2 2、例题讲解、例题讲解.例 1 求exsinxdx解因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx exsinxexcosxdxexsinxcosxdex.word.exsinxexcosxexdcosx exsinxexcosxexdcosxexsinxexco

19、sxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C2例 2 求sec3xdx解因为sec3xdxsecxsec2xdxsecxd tanx secxtanxsecxtan2xdxsecxtanxsecx(sec2x1)dx secxtanxsec3xdxsecxdxsecxtanxln|secxtanx|sec3xdx所以sec3xdx1(secxtanxln|secxtanx|)C2例 3arccosxdx xarccosxxdarccosxxarccosxxxarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx 1x2C211dx1x2解题技巧解题技巧：选取u及v的一

20、般方法：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指的顺序，前者为u后者为v.111dx 1x2arctanx1(11)dx例 4xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanxx222221x221x21x2arctanx1x1arctanxC222例 5 求In解I12dx其中n为正整数(x a2)n2dx1arctanxCax a2a当n1 时，用分部积分法有x1a2dxdxxx2dx 2(n1)2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1即In1于是x2(n 1)(In1 a2In)22n1(x a)In12x2 n1

21、(2n3)In12a(n1)(x a)2以此作为递推公式并由I1例 6 求exdx1xarctanC即可得Inaa.word.解令xt 2那么dx2tdt于exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)Cexdxexd(x)22xexd x 2xdex2 xex2exd x2 xex2exC 2ex(x1)C例 7x2a2dx(a 0).解设u x2a2,v 1,那么u xx2a2,v x.x2a2dx xx2a2x2x2a2dx x x2a2(x2a2)a2x2a2dx x x2a2x2a2dxa2dxx2a2.所以原式1a2222xx a 2ln(xx2a2)C.注：注：第一换元法与分部积分法的比拟共同点是第一步都是凑微分f(x)(x)dxf(x)d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)3 3、变式练习、变式练习.xexex1dx2)dxarctanexsin(2x)2sin xe2xdx5x54x31dxx xx81dxsin xcosxsin x cosxdx.word.