随机变量及其分布函数优秀PPT.ppt

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1、2.1 2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布函数函数一、一、随机变量随机变量的引入的引入二、随机变量的概念二、随机变量的概念三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、随机变量的分类四、随机变量的分类下 页上 页 返 回1.为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的概念引入一、随机变量的概念引入2.随机变量的引入随机变量的引入 概率论是从数量上来探讨随机现象内在规律性的，概率论是从数量上来探讨随机现象内在规律性的，为了更便利有力的探讨随机现象，就要用数学分析的为了更便利有力的探讨随机现象，就要用数学分析的方法来探讨，方法来探讨，因此为了便于数学上的推导和计算，就因此为了便于数

2、学上的推导和计算，就需将随意的随机事务数量化当把一些非数量表示的需将随意的随机事务数量化当把一些非数量表示的随机事务用数字来表示时，随机事务用数字来表示时，就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念下 页上 页 返 回实例实例1袋中有袋中有3只黑球，只黑球，2只白球，从中随意取出只白球，从中随意取出3只球，只球，视察取出的视察取出的3只球中的黑球的个数只球中的黑球的个数我们将我们将3只黑球分别记作只黑球分别记作1，2，3号，号，2只白球分别只白球分别记作记作4，5号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为我们记取出的黑球数为 X，则则 X 的可能取值为的可能取值

3、为1，2，3因此，因此，X 是一个变量是一个变量但是，但是，X 取什么值依靠于试验结果，取什么值依靠于试验结果，即即 X的取值带有随机性，的取值带有随机性，所以，我们称所以，我们称 X 为随机变量为随机变量下 页上 页 返 回X 的取值状况可由下表给出：的取值状况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间是样本空间上的函数上的函数.下 页上 页 返 回 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变

4、量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间是样本空间上的函数：上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值状况来刻划随机事务状况来刻划随机事务例如例如表示取出表示取出2个黑球这一事务；个黑球这一事务；表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事务，等等个黑球这一事务，等等下 页上 页 返 回实例实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,视视察摸出球的颜色察摸出球的颜色.=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 数量化数量化 可接受下列方法可接受下列方法 红色红色 白色白色即有即

5、有 X(红色红色)=1,X(白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 =红色，白色红色，白色 数量化了数量化了.下 页上 页 返 回实例实例3 3 抛掷骰子抛掷骰子,视察出现的点数视察出现的点数.S=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有则有则有下 页上 页 返 回二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义 设设E是一个随机试验，是一个随机试验，是其样本空间是其样本空间为一个随机变量，为一个随机变量，我们称样本空间上的函数：我们称样本空间上的函数：R随机事务数量化随机事务数量化下 页上 页 返 回说明说明(4)随机变量与一般的函数不同随

6、机变量与一般的函数不同 随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与一般的函数有着本质但它与一般的函数有着本质的差别的差别,一般函数是定义在实数轴上的一般函数是定义在实数轴上的,而随机变量是而随机变量是定义在样本空间上的定义在样本空间上的(样本空间的元素不确定是实数样本空间的元素不确定是实数).即随机事务数量化即随机事务数量化.下 页上 页 返 回(5)随机变量的取值具有确定的概率规律随机变量的取值具有确定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由由于试验的各个结果的出现具有确定的概率于试验的各个结果的出现具有确定的概率,因此随机因此随机变量的

7、取值也有确定的概率规律变量的取值也有确定的概率规律.(6)随机变量与随机事务的关系随机变量与随机事务的关系 随机事务包涵在随机变量这个范围更广的概念之随机事务包涵在随机变量这个范围更广的概念之内内.或者说或者说:随机事务是从静态的观点来探讨随机现象随机事务是从静态的观点来探讨随机现象,而随机变量则是从动态的观点来探讨随机现象而随机变量则是从动态的观点来探讨随机现象.下 页上 页 返 回实例实例4 掷一个硬币掷一个硬币,视察出现的面视察出现的面,共有两个结果共有两个结果:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有即即 X()是一个随机变量是一个随机变量.随机

8、事务数量化随机事务数量化2.例子例子下 页上 页 返 回实例实例5 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时,则有则有可得随机变量可得随机变量 X(),下 页上 页 返 回实例实例6 设盒中有设盒中有5个球个球(2白白3黑黑),从中任抽从中任抽3个个,则则是一个随机变量是一个随机变量.实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)的全部可能取值为的全部可能取值为:

9、且且 X()的全部可能取值为的全部可能取值为:下 页上 页 返 回称为称为 X 的的分布函数分布函数对于随意的实数对于随意的实数 x1,x2(x1 x2)，有：，有：x1 x2 xXo0 xxX三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数1.概念概念定义定义 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是随意实数，函数是随意实数，函数留意到留意到 X 的分布函数是一个一般函数的分布函数是一个一般函数.下 页上 页 返 回0 xX-1x2.例子例子例例 1 设随机变量设随机变量 X 的为：的为：解：解：当当 x-1 时，满足时，满足求求 X 的分布函数的分布函数.满足满足下 页上 页 返 回满

10、足满足x-1xX例例 1 设随机变量设随机变量 X 的为：的为：求求 X 的分布函数的分布函数.满足满足满足满足下 页上 页 返 回总之总之-1 0 1 2 3 x1下 页上 页 返 回例例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数.解：解：X（1）若若 x 0,满足满足（2）满足满足据题意据题意下 页上 页 返 回0 1 2

11、 31F(x)x例例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数.解：解：（1）若若 x 0,（2）（3）满足满足是必定事务，是必定事务，于是于是总之总之下 页上 页 返 回3.性质性质从以上分布函数的图象可以看出，分布函数从以上分布函数的图象可以看出，分布函数 F(x)具具有以下基本性质：有以下基本性质：10 F(x)是一个不

12、减的函数是一个不减的函数事实上，事实上，0 1 2 31F(x)x2030性质性质20，30不加证明白不加证明白,可以直观理解可以直观理解.下 页上 页 返 回3.性质性质10 F(x)是一个单调不减的函数是一个单调不减的函数0 1 2 31F(x)x2030-1 0 1 2 31xF(x)另外，可以证明另外，可以证明:(1)分布函数必需满足以上分布函数必需满足以上三特性质三特性质.(2)满足以上三特性质的函满足以上三特性质的函数确定是某一个随机变量数确定是某一个随机变量的分布函数的分布函数.下 页上 页 返 回4.用分布函数计算某些事务的概率用分布函数计算某些事务的概率则则F(x)是一个单调

13、不减的函数，单侧极限确定存在是一个单调不减的函数，单侧极限确定存在.下 页上 页 返 回例例 3下 页上 页 返 回例例 4由分布函数的性质，我们有由分布函数的性质，我们有解：解：解方程组解方程组得得下 页上 页 返 回四、随机变量的分类四、随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它 依据随机变量可能的取值的特点，将随机变量分依据随机变量可能的取值的特点，将随机变量分为：离散型随机变量、非离散型随机变量为：离散型随机变量、非离散型随机变量.依据随机变量分布函数的特点，将非离散型随机变依据随机变量分布函数的特点，将非离散型随机变量分为：连续型随机变量、其它型随机变量量分为：连续型随机变量、其它型随机变量.本课程只介绍本课程只介绍离散型和连续型随机变量。离散型和连续型随机变量。