高等代数-第9章矩阵的标准型-9.1-λ-矩阵的等价与法式优秀PPT.ppt

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1、定义定义：若矩阵若矩阵A的元素是的元素是 的多项式，即的多项式，即 的元素，则的元素，则设设P P是一个数域，是一个文字，是多项式环，是一个数域，是一个文字，是多项式环，称称A为为 矩阵矩阵，并把，并把A写成写成 一、一、矩阵的概念矩阵的概念注：注：数域数域P上的矩阵上的矩阵数字矩阵也数字矩阵也是是 矩阵矩阵.其定义与运算规律与数字矩阵相同其定义与运算规律与数字矩阵相同.对于对于 的的 矩阵，同样有行列式矩阵，同样有行列式 它是一个它是一个 的多项式，且有的多项式，且有这里这里 为同级为同级 矩阵矩阵.与数字矩阵一样，与数字矩阵一样，矩阵也有子式的概念矩阵也有子式的概念.矩阵的各级子式是矩阵的

2、各级子式是 的多项式的多项式.矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，若若矩阵矩阵 中有一个中有一个 级子式不为零，级子式不为零，而所有而所有 级的子式（若有的话）皆为零，则称级的子式（若有的话）皆为零，则称的的秩为秩为r.二、二、矩阵的秩矩阵的秩定义定义：零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为0.三、可逆三、可逆 矩阵矩阵一个一个 的的 矩阵矩阵 称为称为可逆的可逆的，如果有一，如果有一 一个一个 的的矩阵矩阵 ，使，使定义定义：这里这里E是是n级单位矩阵级单位矩阵.称称 为为 的逆矩阵的逆矩阵(它是唯一的它是唯一的)，记作，记作（定理定理1）一个一个 的的

3、矩阵矩阵 可逆可逆是一个非零常数是一个非零常数.证证:“”若若 可逆，则有可逆，则有 ，使，使两边取行列式，得两边取行列式，得都是零次多项式，即为非零常数都是零次多项式，即为非零常数.判定判定：“”设设 是一个非零常数是一个非零常数.为的伴随矩阵，则为的伴随矩阵，则 可逆可逆.矩阵的矩阵的初等变换初等变换是指下面三种变换是指下面三种变换:矩阵两行矩阵两行（列）（列）互换位置；互换位置；矩阵的某一行（列）乘以非零常数矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；是一个多项式是一个多项式.矩阵的某一行矩阵的某一行（列）（列）加另一行加另一行（列）（列）的的 倍，倍，四、四、矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定

4、义：代表第代表第 行乘以非零数行乘以非零数 c；代表把第代表把第 行行(列列)的的 倍加到第倍加到第为了书写的便利，我们接受以下记号为了书写的便利，我们接受以下记号代表代表 两行两行(列列)互换；互换；注：注：行行(列列).).将单位矩阵进行一次将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的矩阵的初等变换所得的 矩阵称为矩阵称为 矩阵的矩阵的初等矩阵初等矩阵.五、五、矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵定义定义：注：注：全部初等矩阵有三类：全部初等矩阵有三类：i行行 j行行 i 行行 j行行 i 行行 初等矩阵皆可逆初等矩阵皆可逆.对一个对一个 的的 矩阵矩阵 作一次初等行变换作一次初等行变换 就相当于在就相

5、当于在 在的左边乘上相应的在的左边乘上相应的 的初等矩的初等矩 阵；对阵；对 作一次初等列变换就相当于在作一次初等列变换就相当于在 的右的右边乘上相应的边乘上相应的 的初等矩阵的初等矩阵.为矩阵为矩阵 ，则称，则称 与与 等价等价.矩阵矩阵 若能经过一系列初等变换化若能经过一系列初等变换化1)矩阵的等价关系具有矩阵的等价关系具有:反身性反身性:与自身等价与自身等价.对称性对称性:与与 等价等价 与与 等价等价.传递性传递性:与与 等价等价,与与 等价等价与与 等价等价.六、等价六、等价 矩阵矩阵定义定义：性质性质：2)与与 等价等价 存在一系列初等矩阵存在一系列初等矩阵 使使1.（引理引理引理

6、引理）设设 矩阵矩阵 的左上角元素的左上角元素 且且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与可以找到一个与 等价的矩阵等价的矩阵 ，它的左上它的左上角元素角元素 ，且且 .七、七、矩阵的对角化矩阵的对角化证：根据证：根据 中不能被中不能被 除尽的元素所在的除尽的元素所在的位置，分三种情形来探讨位置，分三种情形来探讨:i)若在若在 的第一列中有一个元素的第一列中有一个元素 不能被不能被 除尽，除尽，其中余式其中余式 ，且且对对 作下列初等行变换作下列初等行变换:则有则有 的左上角元素的左上角元素 符合引理的要求符合引理的要求，故故 为所求的矩阵

7、为所求的矩阵.ii)在在 的第一行中有一个元素的第一行中有一个元素 不能被不能被 除尽，这种状况的证明除尽，这种状况的证明i)与类似与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被的第一行与第一列中的元素都可以被 除尽，但除尽，但 中有另一个元素中有另一个元素 被被 除尽除尽.对对 作下述初等行变换作下述初等行变换:我们设我们设矩阵矩阵 的第一行中，有一个元素：的第一行中，有一个元素：不能被左上角元素不能被左上角元素 除尽，转为情形除尽，转为情形 ii).证毕证毕.2.（定理定理定理定理2 2）任意一个非零的任意一个非零的 的的 一矩阵一矩阵都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵 其中其

8、中 是首项系数为是首项系数为1的的多项式，且多项式，且称之称之为为的的标准标准形形.证证:经行列调动之后，可使经行列调动之后，可使 的左上角元素的左上角元素若若 不能除尽不能除尽 的全部元素，的全部元素，由引理，可以找到与由引理，可以找到与 等价的等价的 ，且，且 由引理，又可以找到与由引理，又可以找到与 等价的等价的 ，且，且如此下去，将得到一系列彼此等价的如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵：矩阵：左上角元素左上角元素 ，若若 还不能除尽还不能除尽 的全部元素，的全部元素，左上角元素左上角元素 ，但次数是非负整数，不行能无止境地降低但次数是非负整数，不行能无止境地降低.因此在有限步以后，

9、将终止于一个因此在有限步以后，将终止于一个 矩阵矩阵它的左上角元素它的左上角元素 ，而且可以除尽而且可以除尽 的全部元素的全部元素 即即对对 作初等变换作初等变换:它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.中的全部元素都是可以被中的全部元素都是可以被 除尽的，除尽的，因为它们都是因为它们都是 中元素的组合中元素的组合.如果如果 ，则对于则对于 可以重复上述过程，可以重复上述过程，进而把矩阵化成进而把矩阵化成 其中其中 与与 都是首都是首1多项式多项式(与与 只差一个常数倍数），而且只差一个常数倍数），而且能除尽能除尽 的全部元素的全部元素.如此下去，如此下去，最后就化成了标准形最后就化成了标准形.例例 用初等变换化用初等变换化 矩阵为标准形矩阵为标准形.解：解：即为即为 的标准形的标准形.