弹性力学平面问题(基本理论).ppt

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1、6-1 6-1 平面问题的概念平面问题的概念6-2 6-2 平面问题的基本解法平面问题的基本解法第六章第六章 弹性力学平面问题弹性力学平面问题6-3 6-3 应力函数与应力函数解法应力函数与应力函数解法6-4 6-4 平面问题在直角坐标系下求解平面问题在直角坐标系下求解6-5 6-5 平面问题在极坐标系下求解平面问题在极坐标系下求解6-1 6-1 平面问题的概念平面问题的概念 应力、应变和位移是弹性力学的应力、应变和位移是弹性力学的3 3类基本未知函数，当这类基本未知函数，当这3 3类基本未知函数与第类基本未知函数与第3 3个坐标方向（一般取个坐标方向（一般取z方向）无关时，则方向）无关时，则

2、将该类问题称为平面问题。将该类问题称为平面问题。平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。二维问题。弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。一一.平面应力问题平面应力问题xyyztba1.1.几何特征几何特征 一个方向的尺寸比另两个方一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。向的尺寸小得多。等厚薄平板等厚薄平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等2.2.受力特征受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿外力（体力、面

3、力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚厚度度方向（方向（z方向）不变化。方向）不变化。xyyztba3.3.简化分析简化分析（1 1）应力分量）应力分量 如图选取坐标系，以板的中如图选取坐标系，以板的中面为面为xy平面，垂直于中面的任一平面，垂直于中面的任一直线为直线为z轴。轴。板面无面力，则板面无面力，则因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。可认为整个薄板的可认为整个薄板的各点都有：各点都有：由切应力互等定理由切应力互等定理 因其他各应力分量沿因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。方向变程极短，且变化增量微小。故认为各应力分量与故认为各应力分量与z无关无关

4、 所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。有关。即即（2 2）应变分量应变分量由物理方程由物理方程显然显然可由可由所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。有关。即即但但（3 3）位移分量位移分量通过几何方程分析通过几何方程分析由由可知：可知：u、v仅为仅为x、y的函数的函数当为理想平面应力问题（当为理想平面应力问题（t 0）时，）时，只与只与x、y有关。有关。表出表出若为稳定平衡（不发生翘曲），若为稳定平衡（不发生翘曲），则则 w 0当为广义平面应力问题（当为广义平面应力问题（t 0

5、）时，）时，由由可见，可见，w可由可由u、v表出；表出；且因且因 t 很小，很小，w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。有关。（4 4）结论结论 平面应力问题的基本未知量有八个，且均为平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。的函数。即即但但简化的主要依据是简化的主要依据是二二.平面应变问题平面应变问题1.1.几何特征几何特征 一个方向的尺寸比另两个方一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。几何形状和尺寸不变化。近似认为无限长近似认为无限长ablxy

6、zO2.2.受力特征受力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向方向不变化。不变化。如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。p水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒3.3.简化分析简化分析（1 1）位移分量）位移分量xyyz1ba 任取一横截面（与任取一横截面（与 z 无关），无关），因无限长，可视为对称面，则其因无限长，可视为对称面，则其上任一点上任一点w 0。仅存仅存u、v，且与，且与 z 无关。无关。所以所以（2 2）应变分量应变分量因位移分量与因位移分量与 z 无关，且无关，且 w 0，则由几何方程易知，则由几何方程

7、易知（2 2）应变分量应变分量（3 3）应力分量应力分量由物理方程由物理方程可见，独立的应力分量仅三个可见，独立的应力分量仅三个即即但但（4 4）结论结论 平面应变问题的基本未知量有八个，且均为平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。的函数。即即但但简化的主要依据是简化的主要依据是与平面应力问题的基本未知量相同。与平面应力问题的基本未知量相同。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题三三.两种平面问题物理方程的关系两种平

8、面问题物理方程的关系 根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程对于平面应力问题，由对于平面应力问题，由z 0对于平面应变问题，由对于平面应变问题，由 z xy)与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题6-2 6-2 平面问题的基本解法平面问题的基本解法一一.平面问题基本方程平面问题基本方程1.1.平衡微分方程平衡微分方程2.2.几何方程几何方程应变协调方程应变协调方程3.3.物理方程物理方程或或当为平面应变问题时，当为平面应变问题时，E1E、1。二二.边界条件边界条件1.1.

9、位移边界条件位移边界条件2.2.应力边界条件应力边界条件在局部边界上，可由静力等效力系替代面力在局部边界上，可由静力等效力系替代面力三三.位移法位移法仿拉梅位移方程推导仿拉梅位移方程推导平面问题用位移表示的平衡微分方程为平面问题用位移表示的平衡微分方程为平面问题用位移表示的应力边界条件平面问题用位移表示的应力边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件问题归结为求解上述方程的边值问题问题归结为求解上述方程的边值问题说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相应替换即可。作相应替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于

10、解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）对于平面应力问题，如果直接从三维形式的拉梅位移方）对于平面应力问题，如果直接从三维形式的拉梅位移方程退化可得程退化可得比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？四四.应力法应力法仿仿Beltrami-Michell位移方程推导位移方程推导平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为平面问题的平衡微分方程为平面问题的平衡微分方程为平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题问题归结为

11、求解平衡方程和相容方程的边值问题（平面应变用（平面应变用1替换替换）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。件，才是唯一正确解。例例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场场，试分别判断

12、它们是否为静力可能或实际可能的应力场与位移可能应变场（不计体力）。与位移可能应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）解解:（1）将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：式（式（a）不是一组实际可能的应力场。）不是一组实际可能的应力场。（2）将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为位移可能的应变分量。）为位移可能的应变分量。式（式（a）是静力可能的应力场）是静力可能的应力场例例6-2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyh

13、p(x)p0lAB段（段（y 0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)BC段（段（x l）：）：(3)AC段（段（y x tan）:N例例6-3 图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分（证明在板中间突出部分（1 2）的尖的尖点点A处无应力存在。处无应力存在。解：解：平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即AB 边界：边界：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：边界：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边

14、界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 点处无应力作用点处无应力作用例例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。的应力边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可用圣维南原理化简。为次要边界，可用圣维南原理化简。由圣维南原理由圣维南原理所以所以pxpy例例6-5 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不

15、计体力。试根作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 ，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。解：解：材料力学解答：材料力学解答：式（式（a）满足平衡方程和相容方程？）满足平衡方程和相容方程？（a）式（式（a）是否满足边界条件？）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：显然，平衡微分方程满足。显然，平衡微分方程满足。xy1lP满足满足再验证，式（再验证，式（a）是否满足边界条件？）是否满足边界条件？满足满足近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结

16、论：式（a）为正确解，）为正确解，但在左右两侧附近不精确。但在左右两侧附近不精确。代入相容方程：代入相容方程：上下边界：上下边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：xy1lP6-3 6-3 应力函数与应力函数解法应力函数与应力函数解法一一.常体力下应力法的基本方程常体力下应力法的基本方程平衡方程平衡方程协调方程协调方程边界条件边界条件位移单值条件位移单值条件对多连通问题附加对多连通问题附加讨论：讨论：讨论：讨论：（1）Laplace方程，方程，或称调和方程。或称调和方程。数学上，满足：数学上，满足：的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。（2）常体力下，方程中不含

17、常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果相同，相同，不同。不同。但但（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。算结果相同。（光弹性实验原理光弹性实验原理）（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。应力分析提供理论基础。二二.平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式将平衡微分方程改写为将平衡微分方程改写为全解全解=齐次方程通解齐次方程通解+非齐次方程的特解非齐次方程的特解非齐次方程特解非齐次方程特解 常体力下特解形式：常体力下

18、特解形式：(1(1)(2(2)(3(3)可以取多组形式，如可以取多组形式，如齐次方程的通解齐次方程的通解等等等等对应齐次方程对应齐次方程对于函数对于函数 f(x，y)和和 g(x，y)，若，若则必存在函数则必存在函数 F(x，y)，微分方程理论：微分方程理论：使得使得必存在必存在A(x，y)使得使得由第二式由第二式必存在必存在B(x，y)使得使得由由必存在必存在(x，y)使得使得对于函数对于函数 f(x，y)和和 g(x，y)，若，若则必存在函数则必存在函数 F(x，y)，微分方程理论：微分方程理论：使得使得由第一式由第一式平衡微分方程全解平衡微分方程全解 应力分量用上述形式表示，总能满足平衡

19、微分方程，问应力分量用上述形式表示，总能满足平衡微分方程，问题归结为如何求解未知函数题归结为如何求解未知函数 (x,y)。(x,y)称为应力函数或称为应力函数或Airy应力函数。应力函数。所以所以即即三三.常体力下应力函数表示的相容方程常体力下应力函数表示的相容方程将将代入相容方程代入相容方程所以所以或或 所以，问题归结为在应力边界条件下求解用应力函数表示所以，问题归结为在应力边界条件下求解用应力函数表示的相容方程。的相容方程。（多连域尚需位移单值条件）（多连域尚需位移单值条件）方程仅为一个四阶偏微分方程，从数学上实际是消元增阶。方程仅为一个四阶偏微分方程，从数学上实际是消元增阶。即以增阶为代

20、价换取未知量的减少。即以增阶为代价换取未知量的减少。可见，满足上述相容方程即同时满足平衡条件和协调条件。可见，满足上述相容方程即同时满足平衡条件和协调条件。四四.应力函数解法应力函数解法1.先由相容方程先由相容方程求出应力函数求出应力函数2.然后由应力分量与应力函数的关系求出应力分量（含待然后由应力分量与应力函数的关系求出应力分量（含待定系数）。定系数）。3.再由应力边界条件和位移单值条件确定待定系数。再由应力边界条件和位移单值条件确定待定系数。4.最后由物理方程和几何方程求应变和位移。最后由物理方程和几何方程求应变和位移。问题的关键是如何求应力函数。问题的关键是如何求应力函数。逆解法逆解法（

21、1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设假设各种满足相容方程的各种满足相容方程的(x,y)的形式；的形式；（2）主要适用于简单边界条件的问题。主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式，求出然后利用应力分量计算式，求出 x、y、xy（具有待定系数）；（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数再利用应力边界条件，来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。可以求解什么问题。半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应假设部分应力分量力分量x、y、xy 的某种函数形式；的某种函数形式；（2）根据根据 x、y、xy 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及2 2 0，求出，求出(x,y)的形式；的形式；（3）最后回代计算出最后回代计算出x、y、xy 并让其满足边界条件和位移单值条件。并让其满足边界条件和位移单值条件。半逆解法的数学基础：分离变量法。半逆解法的数学基础：分离变量法。