方向导数与梯度(83).ppt

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1、第六节第六节 方向导数与梯度方向导数与梯度二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、梯度的概念三、梯度的概念一、问题的提出一、问题的提出实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？地点？问题的问题的实质实

2、质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义回顾函数回顾函数 在点在点 处关于处关于的偏导数定义：的偏导数定义：（如图）（如图）讨论函数讨论函数 在一点在一点 沿任意方沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题向的变化率问题就是方向导数问题当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？1、方向导数的定义、方向导数的定义 依定义，函数依定义，函数 在点在点 沿着沿着 轴正向轴正向 、轴正向轴正向 的方向导数分别的方向导数分别为为 .沿着沿着 轴负向、轴负向、轴负向的方向导数轴

3、负向的方向导数分别是：分别是：.2、方向导数的计算、方向导数的计算证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为注：注：(1)仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在该点处沿各方向的方向导数存在.此例同时也说明函数在一点连续也未必能推此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.(2)函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，也未必在该点处连续也未必在该点处连续.此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一此例同时也

4、说明函数可微并不是函数沿任一方向的方向导数存在的必要条件方向的方向导数存在的必要条件.解解这里方向这里方向 即为即为 ,3、方向导函数方向导函数 若若 在区域在区域 内任何一点方向内任何一点方向 的的方向导数都存在，则方向导数都存在，则 是是 上的一个函数，上的一个函数，称为称为方向导函数方向导函数.4、推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义*5、方向导数的几何意义：方向导数的几何意义：是函数是函数 沿方向沿方向 的变化率的变化率,*6、二阶方向导数二阶方向导数如果如果 在在 沿沿 仍有方向导数仍有方向导数 ,就把它称为就把它称为 在在 沿沿 的的二阶方向二阶方向导数导数

5、并记作并记作 .二阶方向导数几何二阶方向导数几何意义：意义：，则说明在，则说明在 的近旁的近旁 的的切线斜率沿切线斜率沿 方向单调增加，曲线为下凸；方向单调增加，曲线为下凸；，的切线斜率沿的切线斜率沿 方向单调减少，曲线方向单调减少，曲线为上凸为上凸.三、梯度的概念三、梯度的概念1、定义、定义方向：方向：f(x,y)变化率最大的方向变化率最大的方向模模:f(x,y)的最大变化率之值的最大变化率之值2、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系2)在点在点 处沿与梯度处沿与梯度 垂直方向的方向导数等于零垂直方向的方向导数等于零.3)在点在点 沿方向沿方向 的方向导数等于梯度的方向导数等于梯度在方

6、向在方向 上的投影上的投影.在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量3、梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值数的最大值.解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故4、梯度应用实例、梯度应用实例1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方

7、向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）五、小结五、小结1、方向导数的概念方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）五、小结五、小结二元函数二元函数 f(x,y)在点在点 P(x,y)沿方向沿方向 (方向方向角为角为 )的方向导数为的方向导数为:三元函数三元函数 f(x,y,z)在点在点 P(x,y,z)沿方向沿方向 (方方向角为向角为 )的方向导数为的方向导数为:2、梯度的概念梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）二元函数二元函数 f(x,y)在点在点 P(x,y)的梯度为的梯度为:三元函数三元函数 f(x,y,z)在点在点 P(x,y,z)的梯度为的梯度为:3.关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微梯度在方向梯度在方向 上的投影上的投影.思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案