晶体振动和晶体的热学性质.ppt

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1、第三章第三章 晶体振晶体振动和晶体的和晶体的热学性学性质一、晶体振一、晶体振动1.晶体振晶体振动 晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是而是为绕其平衡位置作振其平衡位置作振动。2.振振动的特点的特点 晶体中各原子的振晶体中各原子的振动是相互是相互联系的。系的。3.振振动模式模式 用格波表述原子的各种振用格波表述原子的各种振动模式。模式。1二、晶体振二、晶体振动的分的分类(根据振根据振动的的剧烈程度分烈程度分类)1.晶格振晶格振动 原子在平衡位置附近的微振原子在平衡位置附近的微振动。2.空位或空位或间隙原子隙原子 少数原子脱离其格点的振少数原

2、子脱离其格点的振动。3.熔解熔解 温度相当高，整个晶体瓦解，即温度相当高，整个晶体瓦解，即长程序解体。程序解体。三、晶格振三、晶格振动的特点的特点1.当当原原子子间相相互互作作用用微微弱弱时，原原子子的的振振动可可近近似似为相相互互独立的独立的简谐振振动。2.由由于于晶晶体体的的周周期期性性，振振动模模式式所所取取的的能能量量值不不是是连续的，而是分立的。的，而是分立的。23.可可以以用用一一系系列列独独立立的的简谐振振子子来来描描述述这些些独独立立而而又又分分立立的的振振动模模式式。简谐振振子子的的能能量量用用能能量量量量子子(称称为声子声子,由由爱因斯坦引入因斯坦引入,微振微振动模式的角模

3、式的角频率率)描述。描述。振振子子之之间不不会会发生生相相互互作作用用，即即不不能能有有能能量量的的交交换。声声子子一一旦旦被被激激发出出来来，它它的的数数目目就就一一直直保保持持不不便便。不能把能量不能把能量传递给其它其它频率的声子。率的声子。4.如如果果原原子子间的的相相互互作作用用稍稍强时，就就必必须考考虑非非简谐效效应声子声子间发间发生能量的交生能量的交换换。5.晶晶体体的的宏宏观性性质，例例如如，比比热、热膨膨胀和和热传导等等都与晶格振都与晶格振动有关。有关。33.1 一一维原子原子链的振的振动一、一一、一维布喇菲晶格的振布喇菲晶格的振动1.原子的运原子的运动方程方程(1)振振动示意

4、示意图 m为原子原子质量；量；xn为位移。位移。n-2 n-1 n n+1 n+2第第n个原子和第个原子和第n+1个原子个原子间的相的相对位移。位移。4(2)两原子两原子间的相互作用力的相互作用力U(a)：平衡：平衡时两原子两原子间的互作用的互作用势能；能；U(a+)：产生相生相对位移位移 后的互作用后的互作用势能。能。把把U(a+)在平衡位置附近用泰勒在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得：数展开，可得：简谐近近似似 振振动很很微微弱弱，势能能展展式式中中只保留到二只保留到二阶项。5 0间距增大距增大 0间距距缩小小f f a)f 0斥力斥力(r m。大、小原子等大、小原子等间距排列，原子距排列

5、，原子间距距为a,晶格常数晶格常数为2a。大原子大原子M排在偶数位置，小原子排在偶数位置，小原子 m排在奇数位置。排在奇数位置。如如图所示：所示：2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4Mm17(2)只考只考虑近近邻原子的相互作用原子的相互作用时的受力分析的受力分析m(2n+1)原子受力分析原子受力分析m(2n+1)原子受合力原子受合力18M(2n+2)受力分析受力分析M(2n+2)所受合力：所受合力：19(3)运运动方程方程(3)位移表达式位移表达式(运运动方程的解方程的解)m(2n+1)运运动方程方程M(2n+2)运运动方程方程202.和和q的关系的关系 色色散散关关系系(振

6、振动频谱)。把把位位移移表表达达式式代代入入相相应的的运运动方程，通方程，通过整理，可以得到整理，可以得到 和和q的色散关系。的色散关系。(1)m(2n+1)原子原子:21(2)M(2n+2)原子原子方程方程组：22(3)和和q的关系的关系色散关系色散关系(振振动频谱)此方程此方程组中，中，A、B若有异于零的解，其系数行列若有异于零的解，其系数行列式必式必须等于零。等于零。23(4)结果分析果分析 由由于于 和和q存存在在两两种种不不同同的的色色散散关关系系，即即存存在在两两种种独独立立的的格格波波，所所以以一一维复复式式晶晶格格中中存存在在则两两种种不不同同的的格格波，分波，分别有着各自的色

7、散关系。有着各自的色散关系。243.2的周期性的周期性 由由于于 是是q的的周周期期函函数数，为了了保保证 和和q的的一一一一对应关系，把关系，把q的取的取值范范围定在：定在：即：即：25264.1和和 2简析析(1)1极小极小值与极大与极大值27(2)2极小极小值与极大与极大值28(3)结论光光学学波波声声学学波波29声学波声学波 1支支格格波波可可以以用用声声波波来来激激发，称称为声声频支支格格波波。简称称声学波声学波。光学波光学波 2支支格格波波可可以以用用光光波波来来激激发，称称为光光频支支格格波波。简称称光光学学波波。(光光学学波波也也可以用超声波激可以用超声波激发)光光学学波波声声

8、学学波波30三、声学波和光学波的物理意三、声学波和光学波的物理意义1.一一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系复式格子和布喇菲格子中声学波的关系(1)和和q的关系的关系3132(2)结论一一维复式格子中的声学波和一复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学布喇菲格子中的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形；波在形式上是相同的。具有相似的波形；一一维布喇菲晶格中只有声学波布喇菲晶格中只有声学波,没有光学波。没有光学波。晶格常数晶格常数:2a晶格常数晶格常数:a332.声学波的物理意声学波的物理意义(1)声学波中，相声学波中，相邻两原子两原子(M和和m)的振的振动情况情况一般情况下有：一般情况下

9、有：34结论 相相邻原原子子是是沿沿着着同同一一方方向向振振动的的。当当波波长很很长时，声声学学波波实际上上是是代代表表原原子子质心心的的振振动。声声学学波波描描述述的的是是晶体中晶体中不同原胞之不同原胞之间的振的振动情况。情况。35(2)两种特殊振两种特殊振动36373.光学波的物理意光学波的物理意义(1)光学波中，相光学波中，相邻两原子两原子(M和和m)的振的振动情况情况38结论 相相邻两种不同的原子两种不同的原子振振动的方向是相反的。当波的方向是相反的。当波长很很长时，原胞，原胞质心保持不心保持不动。光学波描述的是同一原胞。光学波描述的是同一原胞中各原子之中各原子之间的相的相对振振动情况

10、。情况。39(2)两种特殊振两种特殊振动4041四、周期性四、周期性边界条件界条件(波恩波恩-卡卡门边界条件界条件)1.波恩波恩-卡卡门周期性周期性边界条件界条件 对于有限的于有限的(N个原子个原子组成成)原子原子链，晶体两端原子，晶体两端原子的受力情况和内部的有所不同。的受力情况和内部的有所不同。1 2 3 n-1 n n+1 n+2 N-1 N(1)各原子受力分析即运各原子受力分析即运动方程方程n号原子：号原子：n421号原子号原子N号原子号原子同理可得：同理可得：结论 由由于于所所有有原原子子的的方方程程都都是是联立立的的，1号号原原子子和和N号号原原子子运运动方方程程的的差差异异将将会

11、会使使方方程程组的的求求解解十十分分复复杂，为了了解解决决这一一问题，波波恩恩-卡卡门提提出出了了如如下下的的模模型型波波恩恩-卡卡门边界条件界条件。43(2)波恩波恩-卡卡门边界条件界条件 假假设对于于给定定的的有有限限长为Na(a为晶晶格格常常数数，N为原原子子个个数数)的的晶晶体体的的边界界之之外外，仍仍然然有有无无穷多多个个和和该晶晶体体完完全全相相同同的的晶晶体体，并并且且这些些完完全全相相同同的的晶晶体体内内相相对应的的原原子子的的运运动状状况况是是一一样的的，即即第第j(j=1,2,N)个个原原子子和和第第tN+j(t=1,2,)个个原原子子的的运运动情情况况是是一一样的的。由由

12、于于相相互互作作用用是是短短程程的的，所所以以，晶晶体体内内的的绝大大数数原原子子受受此此假假想想晶晶体体的影响很弱，完全可以忽略。的影响很弱，完全可以忽略。1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j442.波恩波恩-卡卡门边界条件在有限一界条件在有限一维布喇菲格子中的布喇菲格子中的应用用1号原子号原子应和和N+1号原子的振号原子的振动完全相同。即：完全相同。即：1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j45463.波恩波恩-卡卡门边界条件在有限一界条件在有限一维复式格子中的复式格子中的应用用 设晶体有晶体有N个原

13、胞个原胞组成，每个原胞中含有两个不同成，每个原胞中含有两个不同的原子。由周期性的原子。由周期性边界条件可得：界条件可得：(2n+1)和和2N+(2n+1)完全相同。即：完全相同。即：47484.原胞数原胞数N和波矢和波矢q、角、角频率率 的关系的关系(1)不管是布喇菲格子不管是布喇菲格子还是复式格子，波矢是复式格子，波矢q数目等于晶数目等于晶体中原胞的数目体中原胞的数目N。(2)对于一于一维布喇菲格子，每个波矢布喇菲格子，每个波矢q对应于一个角于一个角频率率。总的角的角频率个数率个数为N个。个。(3)对于一于一维复式格子，每个波矢复式格子，每个波矢q对应于于n(n每个原胞中每个原胞中包含的原子

14、数包含的原子数)个角个角频率率 。总的角的角频率个数率个数为nN个。个。5.结论 (1)晶格振晶格振动波矢的数目波矢的数目=晶体原胞数晶体原胞数；(2)晶格振晶格振动频率的数目率的数目=晶体自由度数晶体自由度数。496.波恩波恩-卡卡门边界条件的其它表述形式界条件的其它表述形式 N个个原原子子头尾尾相相接接形形成成一一个个环链，保保持持了了所所有有原原子子等等价价的的特特点点。N很很大大，原原子子运运动近近似似为直直线运运动处理理问题时要考要考虑到到环链的循的循环性性5051设第第n个原子的位移个原子的位移为再增加再增加N个原子之后，第个原子之后，第N+n个原子的位移个原子的位移为则有：有：要

15、求：要求：波矢的取波矢的取值范范围l为整数整数l N个整数个整数值，qN个分立的个分立的值。52(1)第一布里渊区包含第一布里渊区包含N个状个状态;(2)每个波矢在第一布里渊区占的每个波矢在第一布里渊区占的线度度(3第一布里渊区的第一布里渊区的线度度(4)第一布里渊区状第一布里渊区状态数数7.第一布里渊区第一布里渊区53(3)如果用如果用电磁波激磁波激发光学波，要激光学波，要激发的声子所用的的声子所用的电磁波波磁波波长在什么波段？在什么波段？例例题 一一维复式格子中，如果复式格子中，如果计算：算：(1)光学波光学波频率的最大率的最大值 和最小和最小值 ，声学波声学波频率的最大率的最大值 ；(2

16、)相相应声子的能量声子的能量 ,和和 ；54(1)声学波的最大声学波的最大频率率光学波的最大光学波的最大频率率光学波的最小光学波的最小频率率55(2)相相应声子的能量声子的能量(4)如如果果用用电磁磁波波激激发光光学学波波，要要激激发 的的声声子子所所用用的的电磁波波磁波波长在什么波段？在什么波段？对应电磁波的能量和波磁波的能量和波长要激要激发的声子所用的的声子所用的电磁波波磁波波长在近在近红外外线波段。波段。563.2 晶格振晶格振动的量子化的量子化 声子声子1.格波格波 描描述述晶晶格格振振动的的波波。对于于微微弱弱的的晶晶格格振振动，在在简谐近近似似的的情情况况下下，格格波波可可以以看看

17、成成简谐波波。每每个个格格波波都都是是一一个个独独立立的的模式。可以用独立模式。可以用独立简谐振子来描述格波的独立模式。振子来描述格波的独立模式。2.声子声子()简谐振振子子的的能能量量量量子子。声声子子具具有有能能量量、动量量。声声子子不不是是真真正正的的粒粒子子，而而是是表表示示状状态的的“准准粒粒子子”。晶晶格格振振动的的能能量量是是以以 为单元元来来增增、减减能能量量的的。格格波波与与物物质的的相相互互作作用用可可以以理理解解为声声子子和和晶晶体体中中原原子子、分分子子的的相相互互碰碰撞撞。声声子子可可与与电子或光子子或光子发生作用。生作用。57一、一一、一维布喇菲晶格振布喇菲晶格振动

18、时能量的能量的计算算1.位移位移xn(t)的的计算算(1)位移位移xn(t)是是对所有状所有状态的求和的求和 由由于于周周期期性性边界界条条件件使使波波矢矢q只只能能取取分分离离的的不不同同值。而而一一个个q对应于于一一个个独独立立的的模模式式，所所以以，每每一一个个原原子子的的振振动是是这些独立模式的叠加。些独立模式的叠加。振幅振幅A和和q有关，有关，xn(t)可表示可表示为:58其中：其中：q可以取可以取N个个值 由于周期性，由于周期性，对于于 l 从从(-N/2)+1到到N/2求和，相当于求和，相当于对 l 从从0到到N-1求和。求和。59该式式为一等比数列。一等比数列。60结论61同理

19、可同理可证 如如果果按按状状态(波波矢矢q)求求和和，只只要要看看一一个个格格点点即即可可。每个格点的状每个格点的状态数数为N。即原胞数。即原胞数。62 如果按格点求和，只要看一个状如果按格点求和，只要看一个状态即可。格点数即可。格点数为N。即原胞数。即原胞数。2.xn(t)的正的正则坐坐标表示方法表示方法63(1)本征矢本征矢(2)本征矢本征矢组成的新坐成的新坐标系中位移表示式系中位移表示式xn(t)在状在状态空空间的傅里叶展开的傅里叶展开式式wq(t)位位移分量移分量646566(5)xn(t)的正的正则坐坐标表示方法表示方法Qq(t)正正则坐坐标或称或称为简正坐正坐标。673.能量能量计

20、算算(1)势能能xn可以看成是可以看成是N个独立振个独立振动的叠加。的叠加。68先先对n求和，再求和，再对q,q求和。求和。69因因为：70(2)动能能71(3)总能能量量其中，每个其中，每个单项代表一个代表一个谐振子的能量。共包括振子的能量。共包括N项，总的能量是的能量是N个独立的个独立的谐振子能量之和。振子能量之和。72二、晶格振二、晶格振动的的总能量能量1.三三维晶格振晶格振动的的总能量能量1.声子声子(1)声子声子 i(q):晶格振晶格振动能量量子，称能量量子，称为声子。声子不是真声子。声子不是真实的粒子的粒子,只是一种准粒子。具有能量只是一种准粒子。具有能量 i(q),动量量73(3

21、)声子和晶体的相互作用声子和晶体的相互作用 格波在晶体中格波在晶体中传播受到散射可以看成声子和晶体中播受到散射可以看成声子和晶体中的原子、的原子、电子子发生碰撞。生碰撞。(4)声子和其它粒子的相互作用声子和其它粒子的相互作用 电子、中子、光子与晶格的相互作用都可用子、中子、光子与晶格的相互作用都可用这些粒些粒子与晶体中声子的相互作用来描述。它子与晶体中声子的相互作用来描述。它们吸收或吸收或产生声生声子改子改变粒子本身的能量和粒子本身的能量和动量。量。(2)声子的分布声子的分布 声子是玻色子，服从玻色声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温度分布。在温度T处于于热平衡晶格中，声子平衡晶格中，声子 i

22、(q)的平均数目的平均数目为：743.三三维晶体原胞数、波矢、模式数之晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系的关系晶体有晶体有N个原胞个原胞组成，每个原胞中含有成，每个原胞中含有n个原子。个原子。(1)波矢波矢q数目数目N。(晶体原胞数目晶体原胞数目)(2)晶体自由度数目晶体自由度数目3nN。(3)晶体晶体频率率 数目数目3nN。(4)格波数目格波数目3nN。(5)格波支数格波支数3n支支。每只。每只对应N个个 。(6)声学波支数声学波支数3支支。共有。共有3N个个 。(7)光学波支数光学波支数(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N个个 。75例例题 分分别由由N个个原原胞胞组成成的的铝晶晶体

23、体(fcc)和和金金刚石石晶晶体中，声学波、光学波的分布情况。体中，声学波、光学波的分布情况。铝晶晶体体：铝是是面面心心立立方方结构构，是是布布拉拉菲菲格格子子，因因此此格格波波中中只只有有3支支声声学学波波，而而没没有有光光学学波波。声声学学波波的的个个数数为3N个。个。金金刚石石：金金刚石石是是面面心心立立方方结构构，但但是是复复式式格格子子，n=2，格格波波支支数数共共有有3n支支6支支，其其中中声声学学波波3支支，声声学学波波的的个个数数为3N个个。光光学学波波(3n-3)=3支支,光光学学波波的的个个数数为3N个。个。764.三三维晶体波矢晶体波矢q 的取的取值范范围一一维布拉菲格子

24、布拉菲格子一一维复式格子复式格子77三三维晶体原胞数晶体原胞数波矢波矢q 的取的取值范范围78第一布里渊区的体第一布里渊区的体积状状态密度密度每个状每个状态所占的体所占的体积一一二二二二三三三三四四四四一一维晶体布里渊区划分晶体布里渊区划分793.3 长波近似波近似一、一、长声学波声学波80812.长声学波波速声学波波速vp的的计算算 当波当波长很很长时，q很小。很小。82833.物理意物理意义 相相邻原胞中原子振原胞中原子振动的位相差的位相差趋于零，而且振幅也于零，而且振幅也趋于相等。于相等。4.原因原因 这是由于是由于长声学波的波声学波的波长远远大于原胞的大于原胞的线度，在度，在半个波半个

25、波长内就包含了内就包含了许多原胞，多原胞，这些原胞都整体的沿同些原胞都整体的沿同一方向运一方向运动。因此整个晶格可以近似地看成因此整个晶格可以近似地看成连续介介质，而而长声学波也就可以近似地被声学波也就可以近似地被认为是是弹性波性波。84二、一二、一维连续晶体中晶体中弹性波波速的性波波速的计算算1.受力分析受力分析852.运运动方程方程 根据牛根据牛顿第二定律，其运第二定律，其运动方程方程为：863.运运动方程的解及方程的解及结果分析果分析(1)运运动方程的解方程的解(2)弹性波波速性波波速(相速度相速度)把运把运动方程的解代入运方程的解代入运动方程可得：方程可得：874.一一维复式格子波速的

26、复式格子波速的计算算由由m+1原子的位移而引起的原子的位移而引起的对第第m各原子的恢复力各原子的恢复力还可以表示可以表示为：88三、三、长光学波光学波1.长光学波振光学波振动的特点的特点 光学波中，原胞中不同的原子相光学波中，原胞中不同的原子相对地作振地作振动。波波长a(原原胞胞的的线度度)时，声声学学波波代代表表原原胞胞质心心的的振振动;光光学学波波表表示示原原胞胞中中原原胞胞的的质心心保保持持不不动，相相邻原原子子做做反反位位相相振振动。对于于正正负离离子子组成成的的晶晶体体，长光光学学波波使晶格出使晶格出现宏宏观极化。极化。89902.长光学波光学波(1)两种正两种正负离子离子组成的复式

27、格子成的复式格子立方晶体。立方晶体。(2)半波半波长长内，正离子内，正离子组组成的布喇菲原胞同向位移，成的布喇菲原胞同向位移，负负离离子子组组成的布喇菲成的布喇菲原胞反向位移。原胞反向位移。(3)晶体中出晶体中出现现宏宏观观的极化。的极化。(4)长长光学波又称光学波又称为为 极化波。极化波。913.长光学波的宏光学波的宏观方程方程(1)物理参量物理参量92(2)黄昆方程黄昆方程离子相离子相对运运动的的动力学方程。力学方程。准准弹性恢性恢复力复力电场 E E 附附加的恢复力加的恢复力正正负离子相离子相对位移位移产生的极化生的极化电场E E 产生的生的附加极化附加极化93(3)黄昆方程的物理意黄昆

28、方程的物理意义 黄昆方程的解具有如下形式：黄昆方程的解具有如下形式：其中其中q为波矢。波矢。94(4)电介介质中无自由中无自由电荷荷时的极化的极化电场E E只只讨论无旋无旋电场WL可得：可得：极化极化电场E E 是是纵向向场，它，它趋于减少于减少纵向位移，增加了向位移，增加了纵向振向振动的恢复力，提高了光学波的的恢复力，提高了光学波的纵向向频率率 L0。95(5)电介介质中无自由中无自由电荷荷时的振的振动方程方程把把和和代入代入可得：可得：96(6)静静电场下晶体的介下晶体的介电极化极化 静静电场下下由由可得：可得：代入代入可得：可得：97电场的的频率率远远高于晶格振高于晶格振动的的频率率(7

29、)光光频电场(高高频)下晶体的介下晶体的介电极化极化 代入代入LST关系关系984.结论(2)晶体中存在晶体中存在长光学光学纵波波(LO)和和长光学横波光学横波(TO)。(3)长光学光学纵波声子称波声子称为极化声子极化声子(LO)，长光学光学纵波伴波伴随有宏随有宏观的极化的极化电场，极化声子，极化声子纵光学声子。光学声子。(4)长光学横波伴随着有旋的宏光学横波伴随着有旋的宏观电磁磁场，长光学横波光学横波声子称声子称为电磁声子磁声子(TO)，长光学横波具有光学横波具有电磁性，可以磁性，可以和光和光场发生耦合。生耦合。993.4 固体比固体比热一、一、经典理典理论对定容比定容比热的描述的描述1.比

30、比热表达式表达式 当温度不太低当温度不太低时，电子运子运动能量的能量的变化化对比比热的的贡献献较小小(约占占1%左右左右)，可以忽略。，可以忽略。2.杜隆杜隆-珀替定律珀替定律1003.杜隆杜隆-珀替定律的局限性珀替定律的局限性(1)杜隆杜隆-珀替定律只是在温度比珀替定律只是在温度比较高高(300K以上以上)时和和实验相符。相符。(2)当温度当温度较低低时，杜隆，杜隆-珀替定律和珀替定律和实验不符。定容比不符。定容比热不再是常数，而是随温度降低而降低。不再是常数，而是随温度降低而降低。绝缘体的比体的比热按按 T 3 趋于零；于零；导体的比体的比热按按 T 趋于零。于零。4.原因原因 低温低温时

31、，能量均分的，能量均分的经典理典理论已不再适用，必已不再适用，必须用用晶格振晶格振动的量子理的量子理论重新重新计算晶体的平均内能。算晶体的平均内能。101二、量子理二、量子理论对定容比定容比热的描述的描述1.平均内能的平均内能的计算算(1)振子能量振子能量(量子化量子化)102(2)温度温度为T时，频率率为 的振子的平均能量的振子的平均能量 根据波根据波尔兹曼曼统计理理论,第第n个量子个量子态(En=n)在在温度温度T出出现的概率的概率为：103平均能量平均能量为：(3)晶体的平均能量晶体的平均能量104(4)晶体平均能量的晶体平均能量的积分表示分表示1052.定容比定容比热CV的的计算算 如

32、果要求晶体的定容比如果要求晶体的定容比热，必，必须知道角知道角频率分布函率分布函数数()。()的的计算有两种用得比算有两种用得比较广泛的广泛的计算模型：算模型：(1)爱因斯坦模型因斯坦模型;(2)德拜模型。德拜模型。106三、三、爱因斯坦模型因斯坦模型1.爱因斯坦模型假因斯坦模型假设 晶体中所有的原子都以相同的晶体中所有的原子都以相同的频率率 E 振振动。2.晶体平均能量晶体平均能量3.定容比定容比热1074.用用爱因斯坦温度因斯坦温度 E表示定容比表示定容比热5.爱因斯坦温度因斯坦温度 E的的选取取 采用采用试探法，探法，选取合适的取合适的 E，使得理，使得理论曲曲线和和实验数据数据较好地吻

33、合。好地吻合。大多数固体的大多数固体的 E在在100300K之之间。108 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0CV(J/Kmol)金金刚石比石比热的的实验值和和爱因斯坦模型因斯坦模型计算算值的比的比较 E=1320K1096.温度温度较高高时的比的比热变化化1107.温度温度较低低时的比的比热变化化在低温区域在低温区域,随着温度的降低随着温度的降低,CV比比实验结果果(T 3)更快地更快地趋于零。主要原因是于零。主要原因是爱因斯坦模型的基本假因斯坦模型的基本假设存在不足：存在不足：(1)原子之原子之间的振的振动不是独立的，是有不是独立的，是有联系

34、的。系的。(2)振振动不是一个定不是一个定值。格波的。格波的频率是不一率是不一样的。的。(3)低温低温时仍有声子的激仍有声子的激发。111112四、德拜模型四、德拜模型1.德拜模型假德拜模型假设(1)晶体是各向同性的晶体是各向同性的连续介介质；格波看作；格波看作弹性波。性波。(2)纵波波(一个一个)和横波和横波(两个，独立两个，独立)波速相等，用波速相等，用vp表示；表示；(3)波矢波矢q连续变化。化。2.波矢波矢q的分布的分布 波波矢矢空空间(q空空间)是是状状态空空间，在在波波矢矢空空间中中，每每一一点点(qxqyqz)所所代表的是一个状代表的是一个状态。1131143.角角频率的分布率的

35、分布4.比比热的的计算算把上式代入比把上式代入比热公式可得：公式可得：115116把把式和式和式代入式代入式可得：式可得：1175.当当T D时118和杜隆和杜隆-珀替珀替定律一致。定律一致。1196.当当T D时1207.德拜定律和德拜定律和实验结果的一致性果的一致性 德拜定律和德拜定律和实验符合得非常好，主要因符合得非常好，主要因为：(1)在低温在低温时，长波的激波的激发时主要的。而主要的。而对于于长波晶格波晶格可以当成可以当成连续的介的介质。即温度越低，德拜模型越接近即温度越低，德拜模型越接近实际情况。情况。(2)德拜模型假德拜模型假设条件和条件和实际相符合。相符合。主要适用于主要适用于

36、绝对温度几度以下的极低温度范温度几度以下的极低温度范围。121 0 100 200 300 CV/CV铝比比热的的实验值和德拜模型和德拜模型计算算值的比的比较 D=396K1.00.80.60.40.21228.D的的计算算(1)利用利用vp求求 D；一一维复式格子波速的复式格子波速的计算算123124(2)利用利用比比热实验数据求数据求 D。晶体晶体T(K)D(由比由比热求得求得)D(由由弹性系数求得性系数求得)NaCl10308320KCl 3230246Ag 4225216Zn 4308305几种晶体的几种晶体的 D 的的计算算值1259.D 和温度和温度T的关系的关系(NaCl晶体晶体

37、)0 20 40 60 80 100 T(K)320300280260 D(T)实线实验值点子点子计算算值126计算算值和和实验值存存在差在差别的原因的原因德德拜模型中的拜模型中的连续近近似和似和实际晶体晶体结构构有差有差别。127 0 0.4 0.8 1.2 1.6181612 8 4简立立方晶方晶格的格的频谱(KCl)()d 103128简立方立方(KCl)晶格的晶格的 DT曲曲线 0 20 40 60 80 100 T(K)150140130120110 D(T)实线实验值点子点子计算算值1293.5 非非简谐效效应一、非一、非简谐效效应1.简谐效效应 当当原原子子间相相互互作作用用微微

38、弱弱时，原原子子的的振振动可可近近似似为相相互互独独立立的的简谐振振动。即即原原子子所所受受的的恢恢复复力力和和其其位位移移成成正正比比，忽忽略略了了势能能表表示示式式中中 3以以上上的的高高次次项。可可以以用用一一系系列列独独立立的的简谐振振子子来来描描述述这些些独独立立而而又又分分立立的的振振动模模式式。振振子子之之间不不会会发生生相相互互作作用用，即即不不能能有有能能量量的的交交换。声声子子一一旦旦被被激激发出出来来，它它的的数数目目就就一一直直保保持持不不便便。不不能能把把能量能量传递给其它其它频率的声子。率的声子。1302.非非简谐效效应 如如果果考考虑势能能表表示示式式中中 3以以

39、上上的的高高次次项，晶晶格格的的原原子子的的振振动就就不不能能用用一一系系列列独独立立的的线性性谐振振子子描描述述，此此时的的线性性谐振振子子之之间有有相相互互作作用用，即即声声子子与与声声子子之之间将将相相互互交交换能能量量，某某种种频率率的的声声子子可可以以转换为另另一一频率率的的声声子，即声子可以子，即声子可以产生，也可以湮生，也可以湮灭。通通过声声子子之之间的的相相互互作作用用，当当声声子子的的分分布布达达到到热平平衡后，晶格振衡后，晶格振动也就达到了也就达到了热平衡。平衡。1313.声子碰撞声子碰撞 两个声子通两个声子通过非非简谐项的作用，而的作用，而产生第三个声子生第三个声子的的过

40、程称程称为声子碰撞。声子碰撞。4.声子碰撞遵守的定律声子碰撞遵守的定律 声子声子间的碰撞遵守的碰撞遵守能量守恒定律能量守恒定律和和动量守恒定律量守恒定律。设两个声子的两个声子的频率和波矢分率和波矢分别为 1、q1和和 2、q2;第第三个声子的三个声子的频率和波矢率和波矢为 3、q3。则有：有：1325.声子碰撞的声子碰撞的类型型(1)正常正常过程程(Normal processes)满足下式的碰撞足下式的碰撞过程称程称为正常正常过程程，简称称N过程。程。声声子子吸吸收收声声子子发射射第一布里渊区第一布里渊区133对于正常于正常过程：程：正常正常过程程(N过程程)碰撞前后声子的碰撞前后声子的总能

41、量和能量和总动量没量没有有发生改生改变，只是把两个声子的能量和，只是把两个声子的能量和动量量传递给第三第三个声子，个声子，净的的热能流并不因碰撞而减少，能流并不因碰撞而减少，热能流的方向能流的方向也不因碰撞而偏也不因碰撞而偏转。如果声子的碰撞都是。如果声子的碰撞都是N过程，晶体程，晶体的的热导率将会是无率将会是无穷大。大。134(2)倒逆倒逆过程程(Umklapp processes)满足下式的碰撞足下式的碰撞过程称程称为倒逆倒逆过程程，简称称U过程。程。声声子子吸吸收收声声子子发射射第一布里渊区第一布里渊区135对于倒逆于倒逆过程：程：倒逆倒逆过程程(U过程程)碰撞前后声子的准确碰撞前后声子

42、的准确动量不守恒。量不守恒。它表一种大角度散射，它表一种大角度散射，绳子运子运动的方向有了很大的改的方向有了很大的改变，从而改从而改变了了热流的方向。流的方向。U过程程对热阻由阻由贡献。献。136 固固体体中中存存在在温温度度梯梯度度时，“声声子子气气体体”的的密密度度分分布布是是不不均均匀匀的的，温温度度较高高的的区区域域将将有有产生生较多多的的振振动模模式式和和具具有有较大大的的振振动幅幅度度，即即有有较多多的的声声子子被被激激发，“声声子子”密密度度高高，这些些声声子子通通过和和晶晶体体中中其其它它声声子子发生生碰碰撞撞，总使使得得温温度度较低低的的区区域域具具有有同同样的的“声声子子”

43、密密度度，因因而而“声声子子”在在无无规则运运动的的基基础上上产生生定定向向运运动 声声子子的的扩散散运运动，相相应的的热量量从从晶晶体体较高高温温度度区域区域传到温度到温度较低区域。低区域。二、二、热传导1371.能流密度能流密度 单位位时间内通内通过单位面位面积的的热量。量。2.温度差和温度梯度的关系温度差和温度梯度的关系1383.单位位时间内通内通过单位面位面积的的热量量139140T=273KT=77KT=20K热导率率 (W/mK)声子平声子平均自由均自由程程l(m)热导率率 (W/mK)声子平声子平均自由均自由程程l(m)热导率率 (W/mK)声子平声子平均自由均自由程程l(m)硅

44、硅1504.310-815002.710-642004.110-4锗703.310-83003.310-713004.510-5石英晶体石英晶体149.710-9661.510-77607.510-5CaF2117.210-9391.010-7851.010-5NaCl6.46.710-9295.010-7452.010-6LiF103.310-91504.010-780001.210-3热导率和声子的平均自由程率和声子的平均自由程1413.6 确定振确定振动谱的的实验方法方法1.晶格振晶格振动的振的振动谱 晶格振晶格振动的的频率和波矢率和波矢间的关系的关系(色散关系色散关系)称称为晶晶格振格

45、振动的振的振动谱。2.晶格振晶格振动的振的振动谱的的实验测定方法定方法(1)光子与晶格的非光子与晶格的非弹性散射性散射;(2)X射射线散射散射;(3)中子非中子非弹性散射。性散射。1421.光波和晶格的相互作用光波和晶格的相互作用(1)光光波波和和离离子子晶晶体体的的长光光学学横横波波发生生强烈烈耦耦合合，形形成成声光子；声光子；(2)光子和晶格振光子和晶格振动发生相互作用。生相互作用。由由于于晶晶格格振振动使使晶晶体体内内的的电子子分分布布、光光学学常常数数(折折射射率率)发生生相相应的的变化化，从从而而使使在在晶晶体体中中传播播的的光光波波频率率和波矢都和波矢都发生相生相应的的变化。化。光

46、光电场使使得得晶晶体体的的力力学学性性质(体体弹性性模模量量)发生生变化化，导致晶格振致晶格振动发生生变化。化。一、一、光子与晶格的非光子与晶格的非弹性散射性散射143入射光子的入射光子的频率和波矢率和波矢散射光子的散射光子的频率和波矢率和波矢光子与声子的作用光子与声子的作用过程程满足：足：能量守恒能量守恒动量守恒量守恒入入射射光光子子受受到到声声子子散散射射，变成成散散射射光光子子，同同时在在晶晶格格中中产生或吸收一个声子，其生或吸收一个声子，其频率和波矢分率和波矢分别为 固定入射光的固定入射光的频率率()和入射方向，和入射方向，测量不同方向量不同方向的散射光的的散射光的频率率()，可以得到

47、声子的振，可以得到声子的振动谱(q)。2.光子和晶格振光子和晶格振动相互作用的机理相互作用的机理 光子受到声子的非光子受到声子的非弹性散射。性散射。1443.光子与光子与长声学波声子相互作用声学波声子相互作用布里渊散射布里渊散射长声学波声子声学波声子光子的光子的频率率 光光子子被被长声声学学波波声声子子散散射射，人人射射光光子子与与散散射射光光子子的的波矢大小近似相等。波矢大小近似相等。c光速；光速；n晶体的折射率。晶体的折射率。vp晶体中的声速晶体中的声速145长声学波声子的波矢近似地写成声学波声子的波矢近似地写成不同角度方向不同角度方向测得散射光得散射光子的子的频率，得到声子率，得到声子频

48、率率声子的波矢声子的波矢声子振声子振动谱散射光和入射光的散射光和入射光的频率位移率位移布里渊散射布里渊散射1464.光子与光学波声子的相互作用光子与光学波声子的相互作用 光子的拉曼散射光子的拉曼散射 能量守恒能量守恒动量守恒量守恒 可可见光光或或红外外光光k很很小小，光光子子与与光光波波声声子子发生生相相互互作作用用，要要求求声声子子的的波波矢矢q必必须很很小小，光光子子的的拉拉曼曼散散射射只限于光子与只限于光子与长光学波声子的相互作用。光学波声子的相互作用。散射光和入射光的散射光和入射光的频率位移率位移1471.X光光子具有更高的光光子具有更高的频率率(波矢可以很大波矢可以很大)，可以用来研

49、，可以用来研究声子的振究声子的振动谱。2.X射射线的能量的能量 10-4eV 远远大于声子能量大于声子能量 10-2eV3.在在实验技技术上很上很难精确地直接精确地直接测量量X光在散射前后的能光在散射前后的能量差，因此确定声子的能量是很困量差，因此确定声子的能量是很困难的。的。二、二、X光非光非弹性散射性散射4.声子的波矢声子的波矢148入射晶体入射晶体时中子的中子的动量和能量量和能量出射晶体后中子的出射晶体后中子的动量和能量量和能量 三、中子非三、中子非弹性散射性散射能量守恒能量守恒“”号表示号表示产生一个声子，生一个声子，“”号表示吸收一个声子。号表示吸收一个声子。动量守恒量守恒149如果中子能量如果中子能量较小，不足以激小，不足以激发声子，在散射声子，在散射过程中程中只吸收声子，只吸收声子，则有有 测得得各各个个方方位位上上入入射射中中子子和和散散射射中中子子的的能能量量差差，确定声子的确定声子的频率。率。根根据据入入射射中中子子和和散散射射中中子子方方向向的的几几何何关关系系，确确定定声声子的波矢，子的波矢，得到声子的振得到声子的振动谱。从从反反应堆堆出出来来的的慢慢中中子子的的能能量量与与声声子子的的能能量量接接近近，容容易易测定定中中子子散散射射前前后后的的能能量量变化化，直直接接给出出声声子子能能量量的信息。的信息。150