函数的极值与最大值最小值(IV).ppt

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1、函数的函数的极值极值及其求法及其求法小结小结 思考题思考题 作业作业最大值最小值问题最大值最小值问题第五节第五节 函数的函数的极值极值与与 最大值最小值最大值最小值第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用(extreme value)1定义定义极大值极大值(或极小值或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点.极小值极小值(minimal value)极大值极大值(maximal value)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的

2、点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为2函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的3定理定理1 1(必要条件必要条件)注注如如,(1)驻点驻点.可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2.极值的必要条件极值的必要条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值必是必是驻点驻点

3、,费马引理费马引理如果函数如果函数可导可导,处取得极值处取得极值,那么那么极值极值,4极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如,但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点单减的分界点单减的分界点,(2)不可导不可导.是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x)单增、单增、则则 x0必为极值点必为极值点.几何上几何上,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值5定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)则则为为极大值极大值则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件极值的一阶

4、充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值3.极值的充分条件极值的充分条件6一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数;求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值7的极的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为例例求函数求函数8定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证极大值极大值(极小值极小值).极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件由极限的保号性

5、由极限的保号性可见可见,与与异号异号.所以所以,对于对于驻点驻点,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点.自己证极小值情形自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值11例例解解因为因为,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值12注注仍用第一充分条件仍用第一充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)不能不能应用应用.事实上事实上,可能有极大值可能有极大值,也可能有极小值也可能有极小值,也可能没有极值也可能没有极值.如如,分别属于上述三

6、种情况分别属于上述三种情况.13充分条件来判定有无极值充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值可用第二充分条件判断有无极值.运用第一、第二充分条件需要注意运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时,则可用第一则可用第一(1)(2)则则函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值15设设是方程是方程的一的一解解,若若且且则则在在(A)取得极大值取得极大值(B)取得极小值取得极小值(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少提示提示得得A函

7、数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值利用方程利用方程,代入代入17函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法18(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值将闭区间将闭区间a,b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点区间端点的的就是就是 f(x)最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到.点点(即为即为极值嫌疑点极值嫌疑点)处的函数值和处的函数值和函数值函数值

8、f(a),f(b)比较比较,在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)值值.当当 f(x)在闭区间在闭区间a,b上上单调单调时时,19函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值解解驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:最大值最大值最小值最小值最大值与最小值最大值与最小值.例例20(3)(4)函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 若连续函数若连续函数 f(x)在区间在区间I内只有内只有一个极值一个极值点点为极大为极大(小小)值值,区间区间 I上的最大上的最大(小小)值值.对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间内部取得区间内部取得,

9、如果连续函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.23实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.24例例敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1公里公里/分的速分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处处向正东追击，速度为向正东追击

10、，速度为2公里公里/分问我军摩托车何分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？时射击最好（相距最近射击最好）？北北南南西西东东解解建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系敌我相距函数敌我相距函数(1)2.应用举例应用举例27得得唯一驻点唯一驻点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值北北南南西西东东28(k 为某一常数)AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km,公路

11、,例例.铁路上铁路上 AB 段的距离为段的距离为100 km,工厂工厂C 距距 A 处处2029三、小结三、小结函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.极值的极值的判别法判别法第一充分条件第一充分条件;(合适选择好用合适选择好用极值极值:局部性局部性概念概念;极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.极值极值与与最值最值的区别的区别最值最值:整体性整体性概念概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第二充分条件第二充分条件,哪个充分条件可简化计算、注意使用条件哪

12、个充分条件可简化计算、注意使用条件).32第六节第六节一、一、曲曲线的的渐近近线二、二、函数函数图形的描形的描绘函数图形的描绘 第三三章 33无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离距离趋于 0,一、一、曲曲线的的渐近近线定定义.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐坐标差差”341.水平与水平与铅直直渐近近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例例1.求曲线的渐近线.解解:为水平渐近线;为垂直垂直渐近线.352.斜斜渐近近线斜渐近线若36例例解解注注如果如果定义域定义域函数图形的描绘函数图形的描绘37例2.

13、求曲求曲线的渐近线.解解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.38函数图形的描绘函数图形的描绘的渐近线，的渐近线，曲线曲线共有共有选择题选择题:1条条.2条条.3条条.4条条.39二、函数图形的描绘步步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周40例3.描描绘的图形.解解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大极大)(拐点拐点）(极小极小)4)机动目录上页下页返回结束41例例解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y 轴对称轴对称.函数图形的描绘函数图形的描绘42极大值极大值拐点拐点函数图形的描绘函数图形的描绘43函数图形的描绘函数图形的描绘44水平渐近线;垂直渐近线;内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘45思考与练习 1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:46