函数的单调性与曲线的凹凸性(IV).ppt

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1、函数单调性函数单调性单调区间单调区间第四节第四节 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线凹凸性曲线凹凸性曲线的拐点曲线的拐点第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用1定理定理1单调增加单调增加;单调减少单调减少.一、单调性的判别法一、单调性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性,0)(),()1(xfba内内如果在如果在2证证 拉氏定理拉氏定理(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3例例解解函数的单调性与曲线的凹凸性函数

2、的单调性与曲线的凹凸性定义域为定义域为4方法方法定义定义判定区间内导数的符号。判定区间内导数的符号。的的分界点分界点函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性二、单调区间求法二、单调区间求法单调区间单调区间?导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间5函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例解解 定义域定义域单调区间为单调区间为6例例解解函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性定义域定义域7例例证证函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性9(concave and convex)三、三、曲线曲线凹凸凹凸性的判

3、别法性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1.1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向10定义定义凹凹(凸凸)函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性任意弧段在任意弧段在所张弦的下方所张弦的下方任意弧段在任意弧段在所张弦的上方所张弦的上方11凹凹弧弧:是单增的是单增的,凸凸弧弧:是单减的是单减的.利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性几何直观几何直观:函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性12定理定理2 2二阶导数二阶导数,凹凹(凸凸)函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性2.凹凸性的判别法凹凸性

4、的判别法13证证这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方,一阶一阶泰勒公式泰勒公式即即f(x)是凹的是凹的.函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性14例例解解注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性151.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点.几何上几何上函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性四、曲线的四、曲线的拐点拐点及其求法及其求法(inflection point)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.16拐点的充分条件拐点的充分条

5、件2.拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件拐点的必要条件具有二阶导数具有二阶导数,则点则点(1)(2)函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为(或或 x0 为为二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点)17例例解解拐点拐点拐点拐点不存在不存在定义域为定义域为(1)(2)(3)列表列表函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性18例例解解函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性19例例证证 定不出符号定不出符号函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性20例例证证 设设函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性图形是图形是凹的凹的.利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式:21证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.例例设设函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性22证证 若令若令只须证明只须证明单调增加单调增加.拉氏定理拉氏定理单调增加单调增加.函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性23