矩阵三角分解开题报告范文.doc

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1、 矩阵三角分解开题报告范文篇一：矩阵三角分解的探讨 在近代数学、工程技术、经济理论治理科学中，大量涉及矩阵理论的学问，许多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵来解决。经查阅发觉，目前关于矩阵三角分解的应用讨论不少，但对三角分解缺乏系统的讨论。 矩阵三角分解法是指高斯消去法解线性方程组的变形解法。其实质就是将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵L和U相乘，即A=LU。 一、矩阵的直接三角分解 矩阵的直角三角分解即可以不经过消元步骤，直接将矩阵进展分解。 定义1 设ARnn，若A能分解为一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU，则称这种分解为矩阵A的.三角分解。 （1）假如A可分解为A=LDU

2、，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称A可作LDU分解； （2）假如在A=LU中，L是单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则称此三角分解为杜利特（Doolittle）分解； （3）假如在A=LU中，L是下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称此三角矩阵为克劳特（Crout）分解。 定理1 n阶方阵A非奇异的充要条件为（或A经行、列变换后）存在LDU分解。其中L为n阶单位下三角矩阵，D为n阶非奇异对角阵，U为n阶单位上三角矩阵。 推论1 奇异矩阵不能进展LDU分解。 推论2 若矩阵A有奇异主子矩阵，则A不能直接进展LDU分解。 篇二：矩阵三角分解 第2章 线性代数方程组数值解法

3、I：直接法 1. 矩阵 事实上，挨次Gauss消去过程对应一个矩阵的三角分解，即对Axb的挨次Gauss消去过程的结果，把矩阵A分解成两个三角矩阵L与U的乘积：ALU 下面来证明这一点.依次取第 k步消元的乘法 (k)(k) likaik (ik1,k2,n) /akk (k1)(k)(k) 则直接验证可知,第k步消元(aij)的结果等价于对Ak左乘Lk: aijlikakj A(k1)LkA(k) 于是 ,经过n1步消元,应有 u11 u12 u13 u22 u23Ln1L2L1AU U (2.3.1) u33 这里U为上三角矩阵，另外，又简单直接验证Lk有以下两个根本性质： (1) Lk的

4、逆阵存在，且有 1 11 1l Lk1,kk(2.3.2) 1lnk 1 (2) 逆阵Lk的乘积 1 1l21111 L1L2Ln1= =L（单位下三角矩阵）（2.3.3） 1ln1ln1 111 从而对(2.3.1)式两端依次左乘Ln1,L2,Lk可得 111 U=LU AL1L2Ln1 L就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。这就是矩阵的三角分解或称LU 分解。 ALU称为A的doolittle分解 ALULDU=LU 称为A的克劳特分解 ALDU 称为 A的LDU分解 对于于有选主元和换行步骤的Gauss消去过程，也可证明它对应于“A左乘排列矩阵P的LU分解”，即有PA=LU。 例

5、2.3.1 用直接三角分解法解方程组（2.1节中的实例） 2 3 2x10 1 x 12 2243 1 7x3 解 把解法分为3个步骤： 令A=LU，用Doolittle分解，即令 u11 u12 u13 2 3 21 12 2 l lu u212223 41u33 3 1 l31 l32 考虑A的第1行，比照右边两矩阵的乘积，有 21u11u112 31u12u123 21uu2 1313 此结果即U的第1行与A的第1行全同，这对一般情形也是适用的，因此，在分解计算中，此结果也可直接写出。接着，再依次考虑A的第1列、第2行、第3列(除去已考虑过的元素)，作同样比拟有 l211/21l21u1

6、1 3lu l3/2311131 2l21u12 1u22 u221/2 2l21u13 1u23 l233 1l31u12l32u22 l327 4l31u13l32u231u33 u3328 12 3 2 1/2 11/23 即得A 128 3/2 7 用前推过程解下三角方程组 1y10y10 1/2 y 1得 y 1 122 1 3/2 7 714y3y3 用回代过程解上三角方程组 x12 3 2 x10 2 x 1得 x 1 1/2322 28 141/2x3x3 下面以不包括选主元和换行的Doolittle分解为例，给出解n阶方程组Axb的一般计算公式及整个求解过程（分3个步骤） 令

7、ALU，即令 a1n 1 u1na11 a12 u11 u12 a a l1 au u2121222n222n l l 1a a aun1n1n2nnnnn1 利用矩阵乘法规章,并比照等式两边对应元素,由A的第1行得 a1j1u1j (j1，2， ，n)a1ju1j (j1，2， ，n) (2.3.5) 由A的第1列（除第1行元素外）得 ak1lk1u11 (k2，3， ，n)lk1ak1/u11 (k2，3， ，n) (2.3.6) 依此类推，由A的第k列（1kn）（除前k1列元素外）得 akjlkrurjukj r1 k1 ukjakjlkrurj (jk，1，n) r1 k1 (2.3.

8、7) 由A的第k列（1kn）（除前k列元素外）得 aiklirurklikukk r1k1 lik(aiklirurk)/ukk (ik1，n) r1 k1 (2.3.8) 求解下三角方程组Lyb得 y1b1 i1 3，n)yibiliryr(i2， r1 求解上三角方程组Uxy得 xnyn/unn n ，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1， ri1 这就是用直接三角分解法求解方程组的公式，其中第步中的前两个公式也可合并入后两个公式；第，步中的前一公式也可并入后一公式，这时当公式中消失和 r10 rn1 n 时均不执行计算，作零处理 （在列主元Gauss消去法一节中已提过这个附注）。 n3 可以推出，Doolittle算法的乘除法次数大致为，与Gauss消3 去法大致一样，故就计算量而言，采纳Doolittle算法解方程组并无特殊优势（由于我们已拥有相当高效的列主元Gauss消去法）。应用中，主要借助直接三角分解法的处理方法来处理具有特别状况的方程组。这就是下一节要介绍的解三角方程组的追逐法和解对称正定方程组的平方根法。