高等数学第一类换元法(凑微分法).ppt

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1、复习：复习：凑微分凑微分部分常用的凑微分部分常用的凑微分:(3)(4)(5)(6)(7)常常见见凑凑微微分分公公式式常常见见凑凑微微分分公公式式常常见见凑凑微微分分公公式式完完高高 等等 数数 学学第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)问题问题?观察观察 从公式从公式令令则有则有解法解法可将微分可将微分凑成凑成的形式的形式,即即第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)一般地一般地,设设具有原函数具有原函数即即则则回代回代第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为定理定理1 1

2、例例 1解解求不定积分求不定积分利用凑微分公式利用凑微分公式所以所以完完换元换元回代回代例例 2解解求不定积分求不定积分换元换元回代回代注注:一般情形一般情形:完完例例 3解解计算不定积分计算不定积分换元换元回代回代注注:一般情形一般情形:完完例例 4解解计算不定积分计算不定积分注注:对变量代换比较熟练后对变量代换比较熟练后,可省去书写中间变量可省去书写中间变量的换元和回代过程的换元和回代过程.完完例例 5解解求不定积分求不定积分换元换元回代回代注注:一般情形一般情形:例例 6 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 6 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 6 求下列不定积分求下列不定积分解解

3、注注:一般情形一般情形:完完例例7求下列不定积分求下列不定积分解解(1)(2)原式原式原式原式例例7求下列不定积分求下列不定积分解解(1)(2)原式原式原式原式例例7求下列不定积分求下列不定积分解解(1)(2)原式原式原式原式完完例例 8求下列不定积分求下列不定积分(1)解解原式原式例例 8求下列不定积分求下列不定积分解解例例 8求下列不定积分求下列不定积分解解注注:一般情形一般情形:完完例例 9解法一解法一求不定积分求不定积分原式原式解法二解法二 原式原式解法三解法三 原式原式注注:一般情形一般情形:完完例例 10 求下列不定积分求下列不定积分解解(2)原式原式例例 10 求下列不定积分求下

4、列不定积分解解(2)原式原式例例 10 求下列不定积分求下列不定积分解解(2)原式原式注注:当被积函数是三角函数的乘积时当被积函数是三角函数的乘积时,项去凑微分项去凑微分.折开奇次折开奇次完完例例 11 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 11 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 11 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 11 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 11 求下列不定积分求下列不定积分解解完完例例 12解解计算不定积分计算不定积分由于由于所以所以例例 12解解计算不定积分计算不定积分例例 12解解完完计算不定积分计算不定积分例例 13解解求不定积分求不定积分原式原式注注:利

5、用平方差公式进行根式有理化是化简积分计利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计算的常用手段之一算的常用手段之一.完完例例 14 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 14 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 14 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 14 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 14 求下列不定积分求下列不定积分解解完完例例 15 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 15 求下列不定积分求下列不定积分解解例例 15 求下列不定积分求下列不定积分解解完完例例 16解法一解法一试用换元法求不定积分试用换元法求不定积分解法二解法二原式原式原式原式完完例例 17解解求求完完例例 1

6、8 用换元法求不定积分用换元法求不定积分解解原式原式完完例例 19 试用换元法求不定积分试用换元法求不定积分解解 原式原式完完例例 20解解试用换元法求不定积分试用换元法求不定积分利用例利用例12的结果的结果:得得完完例例 21解解求不定积分求不定积分所以所以因为因为原式原式完完例例 22求不定积分求不定积分解解因为因为它与被积函数分母相同它与被积函数分母相同,所以所以原式原式完完内容小结内容小结1.第一类换元法第一类换元法（凑微分法凑微分法）设设具有原函数具有原函数可导，可导，则有换元公式则有换元公式公式应用关键公式应用关键:2.化为化为将将常见的凑微分方式常见的凑微分方式积分类型积分类型换

7、元公式换元公式第第一一类类换换元元积积分分法法第第一一类类换换元元积积分分法法利用积化和差利用积化和差公式进行变换公式进行变换用公式用公式进行变换进行变换化为倍角的三角函化为倍角的三角函数降幂后再积分数降幂后再积分1.求下列不定积分求下列不定积分2.设设求求课堂练习课堂练习完完1.求下列不定积分求下列不定积分解解(1)原式原式1.求下列不定积分求下列不定积分解解1.求下列不定积分求下列不定积分解解(2)解一解一 原式原式1.求下列不定积分求下列不定积分解解(2)1.求下列不定积分求下列不定积分解解(2)解二解二 原式原式1.求下列不定积分求下列不定积分解解1.求下列不定积分求下列不定积分解解1.求下列不定积分求下列不定积分解解1.求下列不定积分求下列不定积分解解(4)令令则则于是于是原式原式完完2.设设求求解解令令则则从而从而完完