函数的极值和单调性(上课.ppt

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1、函数的极值与导数函数的极值与导数已知函数已知函数 f(x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7(1)(1)求求f(x)的单调区间的单调区间,并画出其图象并画出其图象;【复习与思考】【复习与思考】(2)(2)函数函数f(x)在在x=0=0和和x=2=2处的函数值处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系与这两点附近的函数值有什么关系?xyo72-1解析解析（1）由由 得增区间：得增区间：由由 得减区间：得减区间：（2）函数函数f(x)在在x=0处的函数值比其附近的处的函数值比其附近的函数值都大，而在函数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的处的函数值比其附近的函数值都小函数值都小xyobay

2、=f(x)函数函数f(x)在在x=a处的函数值处的函数值f(a)比其附近的函数值都小，比其附近的函数值都小，f/(a)=0,而且在点附近的左侧而且在点附近的左侧f/(x)0,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法的研究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?讨论ox1 a x2 x yo x1 b x2 x y xa左侧左侧 aa右侧右侧 f(x)f(x)xb左侧左侧bb右侧右侧 f(x)f(x)增增增增减减减减极大值极大值极小值极小值yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数

3、的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念,反映了函数在某一反映了函数在某一点点 附近的大小情况附近的大小情况;(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)函数的极大函数的极大(小小)值可能不止一个值可能不止一个,而且而且函函数的极大值未必大于极小值数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区而函数

4、的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得间的内部取得，也可能在区间的端点取得.解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x1=2,=2,x2=-=-2.2.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：f(x)f(x)x 当当x=2=2时时,y极小值极小值=28/3=28/3；当当x=-2-2时时,y极大值极大值=-4/3=-4/3.(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+极大值极大值28/3极小值极小值-4/3例例1求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求

5、导数f(x)；(3)求方程求方程f(x）=0的根；的根；(4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+-），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（-+），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1)确定函数的确定函数的定义域定义域；极大值极大值极小值极小值例例2xX1所以，当所以，当x=-1时，函数的极大值是时，函数的极大值是-2，当当x=1时，函数的极小值是时，函数的极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是

6、不是+0-0+极大值极大值极小值极小值求解函数极值一求解函数极值一般有哪些步骤？般有哪些步骤？【思考交流】【思考交流】导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗?对于可导函数而言对于可导函数而言,其其极值点一定是导数为极值点一定是导数为0的点的点,反之导数为反之导数为0的点不一定是的点不一定是函数的极值点函数的极值点.因此因此:导数导数值为值为0的点是该点为极值点的点是该点为极值点的必要非充分条件的必要非充分条件.x yOf(x)x3 3练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:令令 解得解得 列表列表:x0f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以,

7、当当 时时,f(x)有极小有极小值值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 列表列表:x(,3)3(3,3)3(3,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.解得解得 所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极

8、大值 2.习题习题 A组组 4下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,在标记的点中在标记的点中,在哪一点处在哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?或或题型题型 1 1：图像与函数的极值：图像与函数的极值1若函数若函数 在在x=-1和和x=3时有极时有极值，则值，则a=_,b=_-3-9题型型2：含参数的函数：含参数的函数分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有号有从正

9、变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根两个相异的实根a2或或a-12 导函数导函数y=f(x)的图像如图，试找出函数的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？些是极小值点？XYOax1x2x3x4x5x6bY=f(x)X2,x4为极值点为极值点X2为极大值点为极大值点X4为极小值点为极小值点3 导函数导函数y=f(x)的图像如图，在标记的的图像如图，在标记的点中哪一点处点中哪一点处（1）导函数）导函数y=f(x)有极大值？有极大值？（2）导函数）导函数y=f(x)有极小值？有极小值？（3）函数）函数y

10、=f(x)有极大值？有极大值？（4）函数）函数y=f(x)有极小值？有极小值？x1x2x3x4Y=f(x)XYOX2X4X3x5X54 4已知汽车在笔直的公路上行驶：已知汽车在笔直的公路上行驶：（1 1）如果函数）如果函数y=y=f(tf(t)表示时刻表示时刻t t时汽车与起点的距时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于离，请标出汽车速度等于0 0的点的点（2 2）如果函数）如果函数y=y=f(tf(t)表示时刻表示时刻t t时汽车的速度，那时汽车的速度，那么（么（1 1）中标出点的意义是什么？）中标出点的意义是什么？y=f(t)5 以下图形分别表示一个三次函数及其导数在以下图形分别表示一个三次

11、函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（号是（）XYOXYOXYOXYO(1)(2)(3)(4)A(3)(4)B (1)(3)C (2)(4)D(1)(2)A2 若不等式若不等式 对任意实数对任意实数x都都成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围分析：由不等式可以知道分析：由不等式可以知道 ,则要则要求求a的范围，只要的范围，只要a 大于函数大于函数 的最的最大值即可，问题转化成求函数大值即可，问题转化成求函数f(x)的最值的最值课堂小堂小结1 通过图像来观察函数的极值点2 利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围 函数的函数的极值与导数极值与导数 （三）（三）目标：目标：根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式 数形结合来解决问题例1题型型3：求解析式求解析式若函数若函数 在在x=-1和和x=3时有极时有极值，则值，则a=_,b=_-3-9a=-3,b=-9,c=2,极小值为极小值为-25(2006年年北京卷北京卷)已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点过点（1,0）,（2,0）,求：求：（1）的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；(1)由图像可知：由图像可知：(2)在在x=2处有极大值，求处有极大值，求常数常数c的值的值 C=6