基本概念62可分离.ppt

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1、微分方程 第六章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 几何问题几何问题物理问题物理问题来源：引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C=1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.引例引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).常微分方程偏

2、微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.例例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所

3、求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件 转化 可分离变量的微分方程、齐次方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 一、可分离变量方程一、可分离变量方程 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y(x)是方程的解,两边积分,得 则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.例例1.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变

4、量时丢失的解 y=0)例例2.解初值问题 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为解解:显然显然y=0不是该问题的解，不是该问题的解，解法解法 1 分离变量即(C 0 )解法解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:的通解.练习：求微分方程提示提示:分离变量例例3.二、齐次方程二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.解解:令令则则代入化简代入化简 并分离变量并分离变量两边积分两边积分换回原变量换回原变量或或例例3.解微分方程解微分方程内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 3.形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令(解法:)