模块同角三角函数的基本关系式及诱导公式.ppt

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1、第1页 第十七讲第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式同角三角函数的基本关系式及诱导公式第2页 走进高考第一关走进高考第一关 基础关基础关教教 材材 回回 归归第3页 1.同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式平方关系平方关系:_;商数关系商数关系:_ .1.sin2+cos2=1第4页 2.相关角的表示相关角的表示(1)终边与角终边与角的终边关于的终边关于_对称的角可以表示对称的角可以表示为为+;(2)终边与角终边与角的终边关于的终边关于_对称的角可以表示对称的角可以表示为为-(或或2-);(3)终边与角终边与角的终边关于的终边关于_对称的角可以表示对称的角可以表示为为-;(4)终

2、边与角终边与角的终边关于的终边关于_对称的角可以表示对称的角可以表示为为-.原点原点x轴轴y轴轴直线直线y=x第5页 3.诱导公式诱导公式(1)公式一公式一sin(+k2)=_,cos(+k2)=_,tan(+k2)=_,其中其中kZ.tansincos第6页(2)公式二公式二sin(+)=_,cos(+)=_,tan(+)=_.tan-sin-cos第7页(3)公式三公式三sin(-)=_,cos(-)=_,tan(-)=_.-tan-sincos第8页(4)公式四公式四sin(-)=_,cos(-)=_,tan(-)=_.-tansin-cos第9页(5)公式五公式五sincos第10页(

3、6)公式六公式六-sincos第11页 余弦余弦(正弦正弦)同名同名锐角锐角第12页 第13页 考考 点点 陪陪 练练第14页 答案答案:A第15页 答案答案:B第16页 答案答案:B第17页 4.点点P(tan2008,cos2800)位于位于()A.第二象限第二象限B.第一象限第一象限C.第四象限第四象限D.第三象限第三象限解析解析:2008=6360-152,tan2008=-tan152=tan280,cos2008=cos1520,点点P在第四象限在第四象限.答案答案:C第18页 答案答案:B第19页 第20页 解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关类型一类型一:三角函数式的求值

4、问题三角函数式的求值问题第21页 解题准备解题准备:1.解决给角求值问题的一般步骤为解决给角求值问题的一般步骤为:第22页 2.解决条件求值问题时解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被求值式的要注意发现所给值式和被求值式的特点特点,寻找它们之间的内在联系寻找它们之间的内在联系,特别是角之间的联系特别是角之间的联系,然后然后恰当的选择诱导公式求解恰当的选择诱导公式求解.第23页 典例典例1第24页 分析：利用诱导公式先化简条件分析：利用诱导公式先化简条件.第25页 第26页 此类问题是给值求值此类问题是给值求值.解决这类问题的方法是根据所给值式解决这类问题的方法是根据所给值式和被求式的特点和

5、被求式的特点,发现它们之间的内在联系发现它们之间的内在联系,特别是角之间的特别是角之间的关系关系,恰当地选择诱导公式恰当地选择诱导公式.第27页 类型二类型二:三角函数式的化简问题三角函数式的化简问题第28页 解题准备解题准备:三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供了有利三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供了有利的方法及依据的方法及依据,在做题过程中在做题过程中,应熟练掌握应熟练掌握“奇变偶不变奇变偶不变,符符号看象限号看象限”的原则的原则.利用诱导公式把任意角的三角函数转化利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是为锐角三角函数的基本步骤是:第29页 第3

6、0页 第31页 评析：对角中含有评析：对角中含有k的三角函数化简时的三角函数化简时,要对要对k分为偶数分为偶数和奇数进行讨论和奇数进行讨论,k为偶数时为偶数时,参照参照2进行化简进行化简,k为奇数时为奇数时,去掉偶数倍的去掉偶数倍的后后,参照参照进行化简进行化简.第32页 类型三类型三:三角函数式的证明问题三角函数式的证明问题第33页 解题准备解题准备:(1)从一边开始从一边开始,证得它等于另一边证得它等于另一边,一般由繁到简一般由繁到简.(2)左右归一法左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合方法凑合方法:即针对题设与结论间的差异即针对题设与结论间

7、的差异,有针对性地变形有针对性地变形,以消除其差异的方法以消除其差异的方法,简言之简言之,即化异为同的方法即化异为同的方法.第34页(5)分析法分析法:从被证明的等式出发从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的逐步地探求使等式成立的充分条件充分条件,一直到已知条件或明显的事实为止一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原就可以断定原等式成立等式成立.第35页 典例典例3已知已知sin(+)=1,求证求证:tan(2+)+tan=0.第36页 第37页 评析：本题是条件等式的证明问题评析：本题是条件等式的证明问题,证明条件等式证明条件等式,一般有两一般有两种方法种方法:一是从被证等式一边推向

8、另一边的适当的时候一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条将条件代入件代入,推出被证式的另一边推出被证式的另一边,这种方式称作代入法这种方式称作代入法,二是直二是直接将条件等式变形接将条件等式变形,变形为被证的等式变形为被证的等式,这种方法称作推出法这种方法称作推出法,证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形据果变形.第38页 笑对高考第三关笑对高考第三关 成熟关成熟关名名 师师 纠纠 错错第39页 误区一误区一:忽视隐含的平方忽视隐含的平方关系关系,扩大解的范围而致错扩大解的范围而致错第40页 剖析：条件给出了含有参数的正余弦的函数值剖

9、析：条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要而参数值要受到正余弦的平方关系受到正余弦的平方关系“sin2+cos2=1”的限制的限制,而上述而上述解法就忽视了这个制约关系解法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错以致扩大了解的范围而错.第41页 第42页 误区二误区二:忽略角的范围忽略角的范围,造成多解而致错造成多解而致错第43页 上面解答忽略了角的范围上面解答忽略了角的范围,扩大了三角函数值的取值范围扩大了三角函数值的取值范围,造造第44页 第45页 第46页 解答关于含有解答关于含有“sincos,sincos”的问题时的问题时,一般一般都要利用平方关系都要利用平方关系sin2

10、+cos2=1,但必须注意对所求得的结但必须注意对所求得的结果进行检验果进行检验,否则会造成多解否则会造成多解.第47页 解解 题题 策策 略略第48页 根据近几年三角部分的命题特点根据近几年三角部分的命题特点,复习时宜采用以下策略复习时宜采用以下策略:(1)学习本讲内容学习本讲内容,可以从两个方面入手可以从两个方面入手,一方面是诱导公式一方面是诱导公式的灵活应用与特殊角的三角函数值的记忆的灵活应用与特殊角的三角函数值的记忆;另一方面是同角另一方面是同角三角函数基本关系式的应用三角函数基本关系式的应用,对于诱导公式的考查对于诱导公式的考查,主要是根主要是根据诱导公式将所求三角函数式转化为特殊角

11、的三角函数据诱导公式将所求三角函数式转化为特殊角的三角函数,从从而求出函数值而求出函数值,对于同角三角函数基本关系式的考查对于同角三角函数基本关系式的考查,应做到应做到灵活运用公式进行化简灵活运用公式进行化简 求值和证明求值和证明,且做到对公式的正用且做到对公式的正用 逆用逆用 变形应用等变形应用等.第49页(2)同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式,正弦正弦 余弦余弦 正切的诱导公式正切的诱导公式,常考常新常考常新,一般在选择题一般在选择题 填空题中考查填空题中考查,因此在复习时重点因此在复习时重点复习基础知识复习基础知识 基本思想基本思想 基本方法基本方法.第50页(3)解决本

12、讲问题解决本讲问题,要注意以下两种数学思想的运用要注意以下两种数学思想的运用.化归转化思想化归转化思想:化归思想主要体现在将任意角的三角函数化归思想主要体现在将任意角的三角函数求值问题转化为锐角三角函数问题解决求值问题转化为锐角三角函数问题解决,同时异名化同名同时异名化同名,异异角化同角也是转化思想的一个重要应用角化同角也是转化思想的一个重要应用.分类讨论思想分类讨论思想:分类讨论思想主要体现在应用诱导公式时分类讨论思想主要体现在应用诱导公式时对对k的讨论及求三角函数值时对角的象限的讨论应做到讨论的讨论及求三角函数值时对角的象限的讨论应做到讨论合理合理 自然自然,分类划分明确分类划分明确 清晰

13、清晰.第51页 快快 速速 解解 题题第52页 典例典例已知已知(0,),且且sin,cos是方程是方程25x2-5x-12=0的两个根的两个根,求求sin3+cos3和和tan-cot的值的值.第53页 第54页 第55页 第56页 第57页 方法与技巧：由题目的形式得知方法与技巧：由题目的形式得知,很明确地会利用根与系数很明确地会利用根与系数的关系的关系,将所求式表示成将所求式表示成sin+cos sincos的形式的形式,求求tan-cot时时,必须化为必须化为“弦弦”,否则用不上已求得的值否则用不上已求得的值.由于由于sin,cos是方程的根是方程的根,一般地一般地,很自然的想到根与系

14、数很自然的想到根与系数的关系的关系.其实此题直接求出两根更简单其实此题直接求出两根更简单.第58页 第59页 教教 师师 备备 选选第60页 1.诱导公式的记忆诱导公式的记忆记忆口诀记忆口诀“奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限”,意思是说角意思是说角“,kZ”的三角函数值的三角函数值:当当k为奇数时为奇数时,正弦变余弦正弦变余弦,余余弦变正弦弦变正弦;当当k为偶数时为偶数时,函数名不变函数名不变,然后然后的三角函数值前面加上的三角函数值前面加上当视当视为锐角时为锐角时,原函数值的符号原函数值的符号.第61页 2.三角函数的三类基本题型三角函数的三类基本题型(1)求值题型求值题型:已知一

15、个角的某个三角函数值已知一个角的某个三角函数值,求该角的求该角的其他三角函数值其他三角函数值.已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限,此此类情况只有一组解类情况只有一组解;已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出给出,解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在象限所在象限,然后分不同的情况求解然后分不同的情况求解;第62页 一个角的某一个三角函数值是用字母给出的一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,这时一般有这时一般有两组解两组解.第63页(2)化简

16、题型化简题型:化简三角函数式的一般要求是化简三角函数式的一般要求是:能求出值的要能求出值的要求出值来求出值来;函数种类尽可能少函数种类尽可能少;化简后的式子项数最少化简后的式子项数最少,次数次数最低最低,尽可能不含根号等尽可能不含根号等.(3)证明题型证明题型:证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异两端的差异,就是有目标地化简就是有目标地化简.第64页 3.利用两类公式求值化简利用两类公式求值化简,证明时应注意的几个问题证明时应注意的几个问题(1)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函

17、数间的必然联系数间的必然联系,诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律间的内在规律.它们对三角函数式的求值它们对三角函数式的求值 化简化简 证明等具有证明等具有重要作用重要作用,需要熟练掌握需要熟练掌握,灵活应用灵活应用.第65页(2)同角三角函数的关系式的基本用途同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个根据一个角的某一个三角函数值三角函数值,求出该角的其他三角函数值求出该角的其他三角函数值(当然用三角函数的当然用三角函数的定义求解会更方便定义求解会更方便);化简同角的三角函数式化简同角的三角函数式;证明同角的三证明同角的三角恒等式角恒等式

18、.(3)诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数数,因此因此,常用于求值和化简常用于求值和化简.第66页(4)在已知一个角的一个三角函数值在已知一个角的一个三角函数值,求这个角的其他三角函求这个角的其他三角函数值时数值时,要注意题设中的角的范围要注意题设中的角的范围,需要时并就不同象限分别需要时并就不同象限分别求出相应的值求出相应的值.(5)在利用同角三角函数的基本关系化简在利用同角三角函数的基本关系化简 求值时求值时,要注意用要注意用“是否是同角是否是同角”来区分和选用公式来区分和选用公式.(6)在应用诱导公式进行三角函数式的化简在应

19、用诱导公式进行三角函数式的化简 求值时求值时,应注意应注意公式中符号的选取公式中符号的选取.第67页 4.利用两类公式求值利用两类公式求值 化简化简 证明的常用方法证明的常用方法(1)已知角已知角的某一种三角函数值的某一种三角函数值,求角求角的其余的其余5种三角函数种三角函数值时值时,要注意公式的合理选择要注意公式的合理选择,一般思路是按一般思路是按“倒倒 平平 倒倒 商商 倒倒”的顺序很易求角的顺序很易求角,特别要注意开方时的符号选取特别要注意开方时的符号选取.第68页(2)在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时,要细心观察要细心观察题目的特征题目的特征

20、,灵活灵活 恰当地选用公式恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦一般思路是将切割化弦,但在某些特殊问题中就不要化切割为弦但在某些特殊问题中就不要化切割为弦,只须利用倒数关系只须利用倒数关系第69页(3)证明三角恒等式的常用方法为证明三角恒等式的常用方法为:从一边开始证得它等于从一边开始证得它等于另一边另一边,一般由繁到简一般由繁到简;证明左证明左 右两边都等于同一个式子右两边都等于同一个式子(或值或值).(4)学会利用方程思想解三角题学会利用方程思想解三角题,对于对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子这三个式子,已知其中一个已知其中一个式子的值式子的值,其余二式的值可以求出其

21、余二式的值可以求出.第70页 课时作业十七课时作业十七 同角三角函数的基本关系式及诱导公式同角三角函数的基本关系式及诱导公式第71页 一一 选择题选择题答案答案:A第72页 第73页 A.-2B.2C.-2或或2D.0答案答案:C第74页 第75页 答案答案:A第76页 第77页 4.(基础题基础题,易易)设设f(x)=a sin(x+)+bcos(x+),其中其中a,b,都是非零实数都是非零实数,若若f(2008)=-1,那么那么f(2009)等于等于()A.-1B.0C.1D.2答案答案:C第78页 解析解析:f(2008)=a sin(2008+)+bcos(2008+)=a sin+b

22、cos=-1,f(2009)=a sin(2009+)+bcos(2009+)=-(a sin+bcos)=1.第79页 5.(能力题能力题,中中)已知已知sin+cos=1,则则sinn+cosn等于等于()A.1B.0C.D.不能确定不能确定答案答案:A第80页 第81页 答案答案:B第82页 第83页 二二 填空题填空题7.(基础题基础题,易易)已知已知tan=2,则则第84页 第85页 第86页 评析评析:这是一组在已知这是一组在已知tan=m的条件下的条件下,求关于求关于 sin cos的齐次的齐次式式(即次数相同即次数相同)的问题的问题,解答这类解答这类“已知某个三角函数已知某个三

23、角函数,求其求其余三角函数值余三角函数值”的问题的常规思路是的问题的常规思路是:利用同角间的三角函利用同角间的三角函数关系数关系,求出其余三角函数值求出其余三角函数值,这就需要根据这就需要根据m的取值符号的取值符号,确确定定角所在的象限角所在的象限,再对它进行讨论再对它进行讨论.这样计算相当繁琐这样计算相当繁琐,而在而在这里灵活地运用这里灵活地运用“1”的代换的代换,将所求值的式子的分子将所求值的式子的分子 分母分母同除以同除以cosn,用用tann表示出来表示出来,从而简化了解题过程从而简化了解题过程,我们我们应熟练掌握这种解法应熟练掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟更主要的是由此进一步

24、领悟“具体问具体问题题 具体分析具体分析”的辩证思想方法的辩证思想方法.第87页 解析解析:直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式=-1.答案答案:-1第88页 第89页 三三 解答题解答题第90页 第91页 11.(能力题能力题,中中)第92页 分析分析:“脱脱”去根号是我们的目标去根号是我们的目标,这就希望根号下能成为完全平这就希望根号下能成为完全平方式方式,注意到同角三角函数的平方关系式注意到同角三角函数的平方关系式,利用公式的性质可利用公式的性质可以达到目标以达到目标.第93页 第94页 评析评析:在三角函数式的变形中在三角函数式的变形中,为脱去根号常借助同角三角函数的为脱去根号常借助同角三角函数的平方关系式平方关系式.本例解答中易犯的错误是缺少对本例解答中易犯的错误是缺少对cos sin正正负的讨论负的讨论,直接直接“脱脱”去分母中绝对值符号去分母中绝对值符号,或是不注意正或是不注意正 余弦函数的有界性余弦函数的有界性,盲目对盲目对1 sin或或1cos的正负进行讨论的正负进行讨论.第95页 第96页 第97页 第98页 第99页