曲面曲线方程.ppt

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1、一、空间曲面及其方程一、空间曲面及其方程二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程 曲面、空间曲线及其方程曲面、空间曲线及其方程 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.定义定义1.如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)

2、=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.例例2.研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.定义定义2.一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直

3、线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？例例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例4.求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为三、柱面三、柱面

4、引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴

5、;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)1 1.椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号

6、)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面(2)双叶双曲面双叶双曲面注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:单叶双曲面双叶双曲面五、空间曲线及其方程五、空间曲线及其方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C.C机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.六、空间曲线的参数方程六、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为

7、螺距螺距.例例5.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为七、空间曲线在坐标面上的投影七、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:(2)(1)2.画出图形画出图形(3)(4)思考思考:交线情况如何?交线情况如何?(5)3.画出下列各曲面所围图形: