齐次线性方程组有非零解的条件.ppt

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1、 n n维向量与线性方程组维向量与线性方程组主要内容：主要内容：（1 1）向量的线性相关性）向量的线性相关性 （2 2）向量组的最大无关组与秩）向量组的最大无关组与秩 （3 3）线性方程组解的结构与通解）线性方程组解的结构与通解定义：定义：n维行向量(或行阵)：n维列向量列向量(或列矩阵列矩阵):):常用的记号是希腊字母常用的记号是希腊字母如果向量的元素在复数域上，全体如果向量的元素在复数域上，全体n n维向量记为维向量记为如果向量的元素在实数域上，全体如果向量的元素在实数域上，全体n n维向量记为维向量记为 n n 维向量的概念维向量的概念=ai=bi=(0,0,0)n n维向量的线性运算维

2、向量的线性运算:=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)，加法：加法：+=(a1+b1,a2+b2,an+bn),数乘：数乘：k =(ka1,ka2,kan),k R.向量相等向量相等：=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)零向量零向量：负向量负向量:-=(-a1,-a2,-an)向量的运算向量空间：n维向量的全体及加法，数乘p.104 性质线性组合、线性方程组的向量形式定义定义注：注：零向量零向量可以由可以由任意任意向量向量线性表出线性表出使得使得是是称称的线性组合的线性组合或或 能由能由线性表示线性表示（表出表出）线性组合的全体.注：注：例例n n维单位向量维单位向量注：可由

3、 线性表出。向量的线性表示与线性方程组的关系结论：线性方程组有解线性方程组有解线性方程组有解线性方程组有解b b b b 能由系数矩阵的列向量线性表出能由系数矩阵的列向量线性表出能由系数矩阵的列向量线性表出能由系数矩阵的列向量线性表出即即例 将=(1,0,-4)T 用 1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T 线性表出.解例例 下述向量中哪个不能由其余的向量线性表示下述向量中哪个不能由其余的向量线性表示向量组之间的关系向量组之间的关系向量组线性表示的定义：向量组线性表示的定义：称向量组称向量组()与向量组与向量组()等价等价若向量组若向量组（）的任意向量都能由向量组的任

4、意向量都能由向量组（）线性线性表示表示，同时向量组（同时向量组（）的任意向量）的任意向量也也都能由向量组都能由向量组（）线性线性表示表示。向量组等价的性质：向量组等价的性质：（）反身性）反身性（）对称性）对称性 （）传）传递性递性 向量组向量组()能由能由向量组向量组()线性表示线性表示:若向量组若向量组（）的任意向量量都能由向量组的任意向量量都能由向量组（）线性）线性表示表示。向量组等价的定义：向量组等价的定义：加推论1,2,3向量的线性表示向量的线性表示与与向量组之间线性表示向量组之间线性表示的矩阵方法的矩阵方法矩阵方法矩阵方法能由向量组能由向量组线性表示，即线性表示，即向量组向量组 线性

5、相关性定义I 等价定义II则称此向量组则称此向量组线性相关线性相关，否则称为，否则称为线性无关线性无关对向量组对向量组若存在一组不全为零的数若存在一组不全为零的数使得若向量组若向量组中存在一个向量能由其它中存在一个向量能由其它向量线性表出，则称此向量组向量线性表出，则称此向量组线性相关线性相关，否则称为否则称为线性无关线性无关注：1 1、单个向量、单个向量 构成的向量组线性相关的充要条件是构成的向量组线性相关的充要条件是该向量该向量 为零向量。为零向量。注：2 2、向量组含有零向量必线性相关、向量组含有零向量必线性相关注：注：3 3、两个向量组成的、两个向量组成的 向量组线性相关向量组线性相关

6、向量的各分量向量的各分量对应成比例对应成比例注：注：4 4、从几何角度解释：两个三维向量线性相关，表示这、从几何角度解释：两个三维向量线性相关，表示这两个相向量在空间共线，两个相向量在空间共线，三个三维向量线性相关，表示这三个相向量在空间共三个三维向量线性相关，表示这三个相向量在空间共面面例例 讨论下列讨论下列 n n 维向量组的相关性维向量组的相关性有非零解有非零解向量组向量组线性相关线性相关 线性方程组线性方程组推论推论1 1其中其中定理：定理：定理：定理：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 系数矩阵的列向量线性相关系数矩阵的列向量线性相关 向量的线性相关性与线性方程组的关系向量

7、的线性相关性与线性方程组的关系若上述结论如何？，注：此时矩阵为方阵其中其中线性相关推论推论1*1*矩阵矩阵A A降秩，即降秩，即即，矩阵即，矩阵A A是奇异的是奇异的向量组向量组线性无关线性方程组线性方程组只有零解只有零解结果结果2 2向量组向量组线性无关线性无关推论推论：矩阵矩阵A A列满秩，即列满秩，即若上述结论如何？，上述结论如何？，注：此时矩阵为方阵注：此时矩阵为方阵其中其中线性无关线性无关结果结果2*2*矩阵矩阵A A满秩，即满秩，即即，矩阵即，矩阵A A是非奇异的是非奇异的齐次线性方程组只有零解齐次线性方程组只有零解系数矩阵的列向量线性无关系数矩阵的列向量线性无关思考：上例思考：上

8、例对应的一般结果对应的一般结果 设向量组设向量组线性无关线性无关，则向量组则向量组线性相关（无关）的充要条件线性相关（无关）的充要条件是什么？是什么？例例 设向量组设向量组线性无关线性无关线性无关线性无关推论推论1 1：若向量组中有部分向量线性相关，则该向量组线性相关；若向量组中有部分向量线性相关，则该向量组线性相关；若向量组线性无关，则部分向量构成的向量组也线性无关。若向量组线性无关，则部分向量构成的向量组也线性无关。推论推论2 2：若向量组线性相关，则其截短向量组（向量组各向量截取一若向量组线性相关，则其截短向量组（向量组各向量截取一些对应位置的元素）也线性相关；些对应位置的元素）也线性相

9、关；若向量组线性无关，则其延长向量组若向量组线性无关，则其延长向量组（向量组各向量增加一（向量组各向量增加一些对应位置的元素）些对应位置的元素）也线性无关。也线性无关。定理定理：若：若线性无关线性无关，令令证明：证明：线性相关的充要条件为线性相关的充要条件为向量组的线性表示与线性相关向量组的线性表示与线性相关向量组的线性表示与线性相关向量组的线性表示与线性相关线性无关的充要条件为线性无关的充要条件为证明：证明：的矩阵表示为的矩阵表示为为讨论为讨论的线性相关性，首先看其线性组合的线性相关性，首先看其线性组合其中其中 由于由于 是是 线性无关性线性无关性的.所以：所以：的线性相关性取决于矩阵的线性

10、相关性取决于矩阵A A的秩，的秩，即即，若其秩等于，若其秩等于s s，则向量组，则向量组线性无关线性无关，否则，否则线性相关线性相关是否有是否有非零解非零解，因而这问题变为讨论因而这问题变为讨论 AX AX=0=0 是否有是否有非零解非零解。定理定理：若向量组若向量组可由向量组可由向量组线性表出，线性表出，则则 必线性相关。必线性相关。推论推论1 1：若向量组若向量组可由向量组可由向量组线性表出，线性表出，且 线性无关，则推论推论2 2：若向量组若向量组与向量组与向量组等价，等价，则则 且两组向量都线性无关，且两组向量都线性无关，推论推论3 3：若向量组若向量组可由向量组可由向量组线性表出，线

11、性表出，且 线性无关，则 线性无关，且这两组向量等价。向量组的极大线性无关组的定义：向量组的极大线性无关组的定义：(1)(1)线性无关线性无关(2)(2)每个向量都可以由每个向量都可以由 线性表出线性表出则称 为极大线性无关为极大线性无关组对向量组对向量组 若存在部分向量的向量组若存在部分向量的向量组 满足满足:向量组的秩注:(1)(1)向量组的极大无关组不是唯一的向量组的极大无关组不是唯一的.(2)(2)单个零向量构成的向量组无极大线性无关组单个零向量构成的向量组无极大线性无关组.(3)(3)不全是零向量的向量组一定有极大线性无关组不全是零向量的向量组一定有极大线性无关组.(4)(4)向量组

12、本身与其极大无关组等价向量组本身与其极大无关组等价.(5)(5)同一向量组的两个极大无关组间是等价的，所含同一向量组的两个极大无关组间是等价的，所含向量的个数一样向量的个数一样.(4)(4)向量组中的任一个非零向量都可扩充为一个极大向量组中的任一个非零向量都可扩充为一个极大线性无关组线性无关组.向量组的秩定义向量组的秩定义规定规定,由零向量组成的向量组的秩为由零向量组成的向量组的秩为0 0性质性质向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的组的秩秩.记记1.1.向量组向量组线性无关线性无关2.2.向量组向量组线性相关线性相关3.3.若向量组若向量

13、组可由向量组可由向量组线性表示，线性表示，则4 4.等价向量组必有相同的秩等价向量组必有相同的秩5.5.若若 则向量组中任意则向量组中任意 r r 个个线性无关线性无关向量都是它的一个极大线性无关组向量都是它的一个极大线性无关组.例例1 1设设 线性相关线性相关，求向量组求向量组 的秩的秩 解：易证两向量组等价，所以解：易证两向量组等价，所以例例2 2 若若 ，且，且 可由可由 线性表出，线性表出，则则 与与 等价。等价。例例3 3 若若 ，则则 向量组的秩与矩阵秩的关系1.1.矩阵矩阵A A的的行秩行秩 =A=A的的列秩列秩 =R(A)=R(A)证证2.2.矩阵矩阵A A 经有限次初等行变换

14、为矩阵经有限次初等行变换为矩阵B B，A A 的任意的任意 k k列与列与B B的的相应相应的的k k列列具有相同的相关性具有相同的相关性即，矩阵的行变换不改变列的线性相关关系即，矩阵的行变换不改变列的线性相关关系补充补充3.3.矩阵矩阵A A 经有限次初等经有限次初等列变换列变换为矩阵为矩阵B B，A A 的任意的任意 k k行与行与B B的相应的的相应的k k行行具有相同的相关性具有相同的相关性即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系补充补充例例 求向量组的秩，一个极大线性无关组，并将其它求向量组的秩，一个极大线性无关组，并将其它向量用所求的极大线性无关

15、组线性表示向量用所求的极大线性无关组线性表示解：解：解：解：注意：初等变换求向量组的秩及极大线性无关组的方法。注意：初等变换求向量组的秩及极大线性无关组的方法。注意：初等变换求向量组的秩及极大线性无关组的方法。注意：初等变换求向量组的秩及极大线性无关组的方法。矩阵秩的一些结论 （2 2）设设A A，B B分别为分别为mrmr矩阵和矩阵和rnrn矩阵，则矩阵，则（1 1）设设A A，B B为为mnmn矩阵，则矩阵，则如果如果A A 或或B B可可逆是逆是什么什么结果结果（4 4）设设A A，B B分别为分别为mnmn和和nsns矩阵，且矩阵，且ABAB0 0，则则 R(A)R(A)R(B)n.R

16、(B)n.（3 3）*定理定理 (Sylvester)(Sylvester)设设A A，B B分别为分别为mnmn及及nsns矩阵，矩阵，则则 R(AB)R(A)R(AB)R(A)R(B)R(B)n.n.(3)的证明 设R(A)=r,R(B)=s,所以存在可逆矩阵P，Q 使得而，而，R(CR(C1 1)=R(ABQ)=R(AB)=R(ABQ)=R(AB)，所以，所以 R(AB)+(n-s)R(C)=R(A),R(AB)+(n-s)R(C)=R(A),即，即，R(AB)R(A)R(AB)R(A)R(B)R(B)n.n.(4)(4)可以由可以由(3)(3)得到，还可以由齐次线性方程组解的结构的得到

17、，还可以由齐次线性方程组解的结构的（后续）（后续）因为因为 而而 C C1 1 含有含有C C 的的S S个列向量，个列向量，所以所以 R(CR(C1 1)+(n-s)R(C)=R(A),)+(n-s)R(C)=R(A),例 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，nm,证明：(AB)X=0有非零解。证明 显然AB为mm方阵，另外一方面，因此 AB的 m个列向量线性相关，即(AB)X=0 有非零解。齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组有非零解的条件qq讨论齐次线性方程组讨论齐次线性方程组讨论齐次线性方程组讨论齐次线性方程组v若记则则 齐次线性方程组可表示为齐次线性方程组可表示为 A AX X=0

18、(2)=0 (2)其中矩阵其中矩阵A A称为齐次线性方程组的系数矩阵。称为齐次线性方程组的系数矩阵。若若都是齐次线性方程组（都是齐次线性方程组（1 1）解，则）解，则也是齐次线性方程组（也是齐次线性方程组（1 1）的解）的解齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组（齐次线性方程组（1 1），），当它的系数矩阵的秩当它的系数矩阵的秩r=nr=n时，只有零解；时，只有零解；当它的系数矩阵的秩当它的系数矩阵的秩r rn n时，有无穷多个解。时，有无穷多个解。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如何描述它的所有的解呢当齐次线性方程组有无穷多个解时，如何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况进行讨论。？下面我们

19、对解的情况进行讨论。假假定定1 1，2 2，k k为为齐齐次次线线性性方方程程组组的的k k个解向量，如果个解向量，如果（a a）1 1，2 2，k k线性无关；线性无关；（b b）齐齐次次线线性性方方程程组组的的任任意意解解向向量量是是1 1，2 2，k k的线性组合，的线性组合，则则称称1 1，2 2，k k为为齐齐次次线线性性方方程程组组的一个的一个基础解系基础解系。基础解系 与极大线性无关组的概念比较与极大线性无关组的概念比较注vv齐次线性方程组的齐次线性方程组的基础解系基础解系不唯一不唯一。vv基础解系包含的解向量的基础解系包含的解向量的个数个数唯一唯一(n-r(A)n-r(A)。v

20、v基础解系之间基础解系之间等价等价 与极大线性无关组的问题比较与极大线性无关组的问题比较基础解系的求法(举例说明)例例 求齐次线性方程求齐次线性方程组的基础解系组的基础解系 例例 求齐次线性方程求齐次线性方程组的基础解系组的基础解系定理定理定理定理 如如如如果果果果齐齐齐齐次次次次线线线线性性性性方方方方程程程程组组组组的的的的系系系系数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的秩秩秩秩r=nr=nr=nr=n，它它它它有有有有唯唯唯唯一一一一零零零零解解解解，此此此此时时时时它它它它没没没没有有有有基基基基础础础础解解解解系系系系；如如如如果果果果齐齐齐齐次次次次线线线线性性性性方方方方程程程程组组组组

21、的的的的系系系系数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的秩秩秩秩r r r rn n n n，它它它它有有有有无无无无穷穷穷穷多多多多个个个个解解解解，此此此此时时时时它它它它有有有有基基基基础础础础解解解解系系系系，其其其其基基基基础础础础解解解解系系系系包包包包含含含含n-rn-rn-rn-r个个个个解解解解向向向向量量量量，齐齐齐齐次次次次线线线线性性性性方程组的方程组的方程组的方程组的任意解任意解任意解任意解为其为其为其为其基础解系的线性组合基础解系的线性组合基础解系的线性组合基础解系的线性组合。如果如果1 1，2 2，n-rn-r为齐次线性方程组为齐次线性方程组的基础解系，则其任意线性组合的

22、基础解系，则其任意线性组合 x=kx=k1 11 1+k+k2 22 2+k+kn-rn-rn-r n-r 称为齐次线性方程组的称为齐次线性方程组的通解通解。（k k1 1，k k2 2，k kn-rn-r为任意实数）为任意实数）命题：命题：设设 R(A)=r,R(A)=r,则齐次线性方程组则齐次线性方程组AX=0AX=0的的任意任意n-rn-r个线性无关的解向量个线性无关的解向量都可以作为它的都可以作为它的基础解基础解系。求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：(1)(1)用初等用

23、初等用初等用初等行变换行变换行变换行变换将齐次线性方程组的系数矩阵将齐次线性方程组的系数矩阵将齐次线性方程组的系数矩阵将齐次线性方程组的系数矩阵化为行最简形，依此得到齐次线性方程组化为行最简形，依此得到齐次线性方程组化为行最简形，依此得到齐次线性方程组化为行最简形，依此得到齐次线性方程组同解线性方程组同解线性方程组同解线性方程组同解线性方程组；(2)(2)根据同解线性方程组写出其基础解系和通解。根据同解线性方程组写出其基础解系和通解。根据同解线性方程组写出其基础解系和通解。根据同解线性方程组写出其基础解系和通解。例例 设设A A，B B分别为分别为 mn mn 和和 ns ns 矩阵，且矩阵，

24、且 ABAB0 0，则，则 R(A)R(A)R(B)n.R(B)n.用齐次方程组解得性质证明下列结论用齐次方程组解得性质证明下列结论;设设 设齐次线性方程组设齐次线性方程组AX=0AX=0的基础解系的基础解系 证明证明 也是齐次线性方程组的基础解系也是齐次线性方程组的基础解系例非非齐齐次次线线性性方方程程组组uu非齐次线性方程组解得结构非齐次线性方程组解得结构uu典型例题典型例题非齐次线性方程组非齐次线性方程组若记则非齐次线性方程组可表示为则非齐次线性方程组可表示为 A AX X=b=b非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构性质1 设 都是非齐次线性方程组的解，则 是其对应齐次线性方

25、程组的解。性质2 设 是非齐次线性方程组的解，是对应齐次线性方程组 Ax0 的解，则 仍是非齐次线性方程组的解。非齐次线性方程组的通解（一般解）可表示为 其中 为任意实数,是非齐次线性方程组的一个解（称为特解）,是 对应齐次线性方程组Ax=0 的基础解系。结论：结论：例例 求解线性方程组求解线性方程组解解 对其增广矩阵对其增广矩阵B B作初等行变换：作初等行变换：由于由于 R R（A A）=2=2，而，而R R（B B）=3=3，则线性方程组，则线性方程组无解无解。例例例例 求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组解解 对增广矩阵对增广矩阵B B作初等行变换：作初等行变换：可见

26、可见 R(A)=R(B)=2,R(A)=R(B)=2,则线性方程组有解则线性方程组有解有唯一解、无解、有无穷多个解？有唯一解、无解、有无穷多个解？有唯一解、无解、有无穷多个解？有唯一解、无解、有无穷多个解？并求其唯一解和通解。并求其唯一解和通解。并求其唯一解和通解。并求其唯一解和通解。例例3 3 问问a a，b b为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组解法一解法一解法二解法二解法一解法一解法一解法一(一般解法一般解法一般解法一般解法):):对其增广矩阵进行初等行变换对其增广矩阵进行初等行变换对其增广矩阵进行初等行变换对其增广矩阵进行初等行变换 1）当a1时，R(A)=R(B)=4，这时原方程

27、组有唯一解为为(i)(i)若若bb1 1，R(B)=3R(A)R(B)=3R(A)，这时方程组，这时方程组无解无解。(ii)(ii)若若b=b=1 1，R(B)=2=R(A)R(B)=2=R(A)，这时方程组有，这时方程组有无穷多个解。无穷多个解。2 2）当）当 a=1a=1，R R（A A）=2=2。例例4 4 设设A A为为n n阶矩阵，证明阶矩阵，证明 R R（A A）=R=R（A A A A）。）。由于若由于若A AX X=0=0，有，有A A A AX X=0=0，这说明，这说明凡是凡是 AX=0AX=0的解的解 必为必为A A A AX X=0=0的解的解。证明：证明：另一方面，若

28、另一方面，若则则故故A A AX=0AX=0与与AX=0AX=0的同解。的同解。AX=0因此因此这说明这说明凡是凡是A A AX=0AX=0的解必为的解必为A AX X=0=0的解的解。两两齐次线性方程组同解齐次线性方程组同解，意味着它们的，意味着它们的基础解系包含的基础解系包含的向量个数相等向量个数相等，亦即有：，亦即有：n R(A)=nR(AA)所以所以 R(A)=R(AR(A)=R(A A).A).例例5 5 已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组的一个基础解系为的一个基础解系为试写出线性方程组试写出线性方程组的通解，并说明理由。的通解，并说明理由。例例6 6 设设 是非齐次线性方程组是非

29、齐次线性方程组Ax=Ax=b b的一个解，的一个解，是其对应齐次线性方程组是其对应齐次线性方程组 Ax=0 Ax=0 的一个基础解系，证明的一个基础解系，证明 是非齐次线性方程组的是非齐次线性方程组的 n-r+1 n-r+1 个线性无关的解向量，个线性无关的解向量，并且非齐次线性方程组的任意解向量并且非齐次线性方程组的任意解向量可表为：可表为：其中其中证证 显然显然 是非是非齐次线性方程组的齐次线性方程组的n nr r1 1个解向量，个解向量，先证其先证其线性无关线性无关。假定。假定 那么有那么有则则*是是 的的线性组合线性组合，因此，因此，*是是齐次线性齐次线性方程组的解向量方程组的解向量，

30、这与假设，这与假设矛盾矛盾若若所以所以，故故又因为又因为是其对应齐次线性方程组是其对应齐次线性方程组Ax=Ax=0 0的一个的一个基础解系基础解系因此因此线性无关得证线性无关得证此例说明，非齐次线性方程组的任意解向量可用该方程组自身此例说明，非齐次线性方程组的任意解向量可用该方程组自身此例说明，非齐次线性方程组的任意解向量可用该方程组自身此例说明，非齐次线性方程组的任意解向量可用该方程组自身的的的的n n n nr r r r1 1 1 1个解向量的线性组合来表示，但其组合个解向量的线性组合来表示，但其组合个解向量的线性组合来表示，但其组合个解向量的线性组合来表示，但其组合系数必等于系数必等于系数必等于系数必等于1 1 1 1。这是非齐次线性方程组的任意解向量的这是非齐次线性方程组的任意解向量的这是非齐次线性方程组的任意解向量的这是非齐次线性方程组的任意解向量的另一种另一种另一种另一种表示方式。表示方式。表示方式。表示方式。再证非其次线性方程组再证非其次线性方程组任意任意解向量解向量 的表示的表示因为因为-*-*是齐次线性方程组的解向量是齐次线性方程组的解向量,是其对应齐次线性方程组是其对应齐次线性方程组Ax=Ax=0 0的一个的一个基础解系基础解系那么有那么有即即其中其中即