例题数据线性代数第六章.ppt

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1、 第六章第六章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 向向量量空空间间又又称称线线性性空空间间,是是线线性性代代数数中中一一个个化了化了.具一般性具一般性.当然当然,推广后的向量概念也就更加抽象推广后的向量概念也就更加抽象要把这些概念推广要把这些概念推广,使向量及向量空间的概念更使向量及向量空间的概念更量量,并介绍过向量空间的概念并介绍过向量空间的概念.在这一章中在这一章中,我们我们最基本的概念最基本的概念.在第四章中在第四章中,我们把有序数组叫向我们把有序数组叫向线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义主要内容主要内容举例举例举例举例线性空间的性质线性空间的性质线性空间的性质

2、线性空间的性质子空间子空间子空间子空间 第一节第一节 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质 定义定义 1 设设设设 V V 是一个非空集合是一个非空集合是一个非空集合是一个非空集合,R,R 为实数域为实数域为实数域为实数域.八条运算规律八条运算规律八条运算规律八条运算规律(设设 ,V;,R):的的的的积积积积,记作记作记作记作 ;并且这两种运算满足以下并且这两种运算满足以下并且这两种运算满足以下并且这两种运算满足以下总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 V V 与之对应与之对应与之对应与之对应,称为称为称为称为 与与与与=+;个元素个元素个元素个元素 V

3、 V 与之对应与之对应与之对应与之对应,称为称为称为称为 与与与与 的的的的和和和和,记作记作记作记作 如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素如果对于任意两个元素 ,V V,总有唯一的一总有唯一的一总有唯一的一总有唯一的一又对于任一数又对于任一数又对于任一数又对于任一数 R R 与任一元素与任一元素与任一元素与任一元素 V V,1.定义定义一、线性空间的定义一、线性空间的定义 (i)(i)+=+;(ii)(ii)(+)+)+=+(+(+););(iii)(iii)在在在在 V V 中存在零元素中存在零元素中存在零元素中存在零元素 0 0，对任何对任何对任何对任何 V V

4、,(v)(v)1 1 =;使使使使 +=0;0;(iv)(iv)对任何对任何对任何对任何 V V,都有都有都有都有 的负元素的负元素的负元素的负元素 V V,都有都有都有都有 +0=+0=;(vi)(vi)()=()=();(vii)(vii)(+)=+;(viii)(viii)(+)=)=+.那么那么那么那么,V V 就称为就称为就称为就称为(实数域实数域实数域实数域 R R 上的上的上的上的)向量空间向量空间(或或称为称为向量空间向量空间.就称为就称为线性运算线性运算;凡定义了线性运算的集合凡定义了线性运算的集合,就就 简言之简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算凡满足八条规律的加法及乘数

5、运算,统称为统称为统称为统称为(实实实实)向量向量.线性空间线性空间),V V 中的元素不论其本来的性质如何中的元素不论其本来的性质如何中的元素不论其本来的性质如何中的元素不论其本来的性质如何,在第四章中在第四章中,我们把有序数组称为向量我们把有序数组称为向量,并并对对运算运算运算运算.规律规律规律规律,当然也就不一定是有序数组的加法及数乘当然也就不一定是有序数组的加法及数乘当然也就不一定是有序数组的加法及数乘当然也就不一定是有序数组的加法及数乘(2)(2)向量空间中的运算只要求满足八条运算向量空间中的运算只要求满足八条运算向量空间中的运算只要求满足八条运算向量空间中的运算只要求满足八条运算(

6、1)(1)向量不一定是有序数组向量不一定是有序数组向量不一定是有序数组向量不一定是有序数组;特殊情形特殊情形.比较起来比较起来,现在的定义有了很大的推广现在的定义有了很大的推广:的集合称为向量空间的集合称为向量空间.显然显然,那些只是现在定义的那些只是现在定义的足八条规律足八条规律.最后最后,把对于运算封闭的有序数组把对于运算封闭的有序数组它定义了加法和乘数运算它定义了加法和乘数运算,容易验证这些运算满容易验证这些运算满 例例 1 次数不超过次数不超过 n 的多项式的全体的多项式的全体,记作记作P x n,即即对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成

7、下面举一些例子下面举一些例子.只要验证只要验证 P x n 对运算封闭对运算封闭:项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律,故故向量空间向量空间.这是因为这是因为,通常的多项式加法、数乘通常的多项式加法、数乘多多二、举例二、举例所以所以 P x n 是一个向量空间是一个向量空间.例例 2 n 次多项式的全体次多项式的全体对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空Q x n 对运算不封闭对运算不封闭.间间.这是因为这是因为 0 p=0 xn+0 x+0 Q x n,即即 例例 3 正弦函数的集合正弦函数的集合对于通常的

8、函数加法及数乘函数的乘法构成向量对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量闭闭:满足线性运算规律满足线性运算规律,故只要验证故只要验证 S x 对运算封对运算封空间空间.这是因为这是因为,通常的函数加法及乘数运算显然通常的函数加法及乘数运算显然所以所以 S x 是一个向量空间是一个向量空间.检检验验一一个个集集合合是是否否构构成成向向量量空空间间,当当然然不不能能则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算,只检验对运算的封闭性只检验对运算的封闭性(如上面两例如上面两例).若所定义

9、的若所定义的对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 例例 4 n 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体不构成向量空间不构成向量空间.可以验证可以验证 Sn 对运算封闭对运算封闭.但因但因不满足运算规律不满足运算规律(v),即所定义的运算不是线性即所定义的运算不是线性个集合个集合,若定义两种不同的线性运算若定义两种不同的线性运算,就构成不就构成不同同的概念是集合与运算二者的结合的概念是集合与运算二者的结合.一般地说一般地说,同一同一空间而空间而 Sn 则不是向量空间则不是向量空间.由此可见由此可见,向量空间向量空间由于在其中所定义的运算不

10、同由于在其中所定义的运算不同,以致以致 Rn 构成向量构成向量 比较比较 Sn 与与 Rn,作为集合作为集合,它们是一样的它们是一样的,但但运算运算,所以所以 Sn 不是向量空间不是向量空间.的向量空间若定义的运算不是线性运算的向量空间若定义的运算不是线性运算,就不能就不能构成向量空间构成向量空间.下例下例.为了对线性运算的理解更具有一般性为了对线性运算的理解更具有一般性,请看请看可以说可以说,把向量空间叫做线性空间更为合适把向量空间叫做线性空间更为合适.间的本质间的本质,而其中的元素是什么倒不重要而其中的元素是什么倒不重要,由此由此所以所以,所定义的线性运算是向量所定义的线性运算是向量空空

11、例例 5 正实数的全体正实数的全体,记作记作 R+,在其中定义在其中定义加法及乘数运算为加法及乘数运算为加法加法加法加法:数乘数乘数乘数乘:验证验证 R+对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间.对加法封闭对加法封闭对加法封闭对加法封闭:对任意的对任意的 a,b R+,有有 证证 实际上要验证十条实际上要验证十条:对数乘封闭对数乘封闭对数乘封闭对数乘封闭:对任意的对任意的 R,a R+,有有(i)(i)(ii(ii)(iii)(iii)R+中存在零元素中存在零元素 1,对任何对任何 a R+,有有 (iv)(iv)对任何对任何 a R+,有负元素有负元素 a-1 R+,

12、使使 (v)(v)(vi)(vi)(vii)(vii)(viii)(viii)因此因此,R+对于所定义的运算构成线性空间对于所定义的运算构成线性空间.下面讨论线性空间的性质下面讨论线性空间的性质.性质性质 1 零元素是唯一的零元素是唯一的零元素是唯一的零元素是唯一的.三、线性空间的性质三、线性空间的性质 性质性质 2 任一元素的负元素是唯一的任一元素的负元素是唯一的任一元素的负元素是唯一的任一元素的负元素是唯一的.负元素记作负元素记作-.的的 性质性质 4 如果如果如果如果 =0,=0,则则则则 =0 =0 或或或或 =0.=0.性质性质 3 0 0 =0;(=0;(-1)1)=-;0=0.0

13、=0.在第四章中在第四章中,我们提过子空间我们提过子空间,今稍作修正今稍作修正.定义定义 设设设设 V V 是一个线性空间是一个线性空间是一个线性空间是一个线性空间,L L 是是是是 V V 的一的一的一的一因因 L 是是 V 的一部分的一部分,V 中的运算对于中的运算对于 L 而言而言,规规 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?子空间子空间子空间子空间.乘两种运算也构成一个线性空间乘两种运算也构成一个线性空间乘两种运算也构成一个线性空间乘两种运算也构成一个线性空间,则称则称则称则称 L L 为为为为 V V 的的的的个非空子集个非空子集个非空子集个非

14、空子集,如果如果如果如果 L L 对于对于对于对于 V V 中所定义的加法和数中所定义的加法和数中所定义的加法和数中所定义的加法和数四、子空间四、子空间律律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显显然然是是满满足足的的,因因此此因此我们有因此我们有 定定理理 线线性性空空间间线线性性空空间间 V V 的的非非空空子子集集的的非非空空子子集集 L L 构构成成子子构构成成子子空间的充要条件是空间的充要条件是空间的充要条件是空间的充要条件是:L L 对于对于对于对于 V V 中的线性运算封闭中的线性运算封闭中的线性运算封闭中的线性运算封闭.满足规律满足规律(iii),(iv)

15、.但由线性空间的性质知但由线性空间的性质知,若若 L 对运算封闭对运算封闭,则即则即能能只要只要 L 对运算封闭且满足规律对运算封闭且满足规律(iii)、(iv)即即可可.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返

16、回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束

17、本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容

18、已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.