高等数学无穷级数(IV).ppt

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1、11.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数交错级数绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛小结小结定义定义为为正项级数正项级数.收敛的充要条件收敛的充要条件单调增加数列单调增加数列一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若的一般项的一般项则称则称当级数为正项级数，则：当级数为正项级数，则：这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形:定理定理1(基本定理基本定理)正项级数正项级数收敛收敛有界有界.正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号,其敛散其敛散性性对收敛的正项级数对收敛的正项级数,其和也不变其和也不变.不变不变,注注 例例 判定判定 的

2、敛散性的敛散性.解解由定理由定理1 1知知,故级数的部分和故级数的部分和该正项该正项级数收级数收敛敛.由于由于另一个另一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定.启示启示:判定一个判定一个正项正项级数级数的的敛散性敛散性,可可与与正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列有界有界.比较审敛法比较审敛法证证定理定理2即部分和数列有界即部分和数列有界.则则收收敛敛收收敛敛发散发散发散发散收收敛敛.不是有界数列不是有界数列用比较审敛法，用比较审敛法，须有参考级数须有参考级数.发散发散发散发散发散发散推论推论1(发散发散)收收敛敛,收收敛敛.(发散发散)现证现证注注

3、解解(1)用用比较审敛法比较审敛法发散发散.例例讨论讨论 的收敛性的收敛性.(2)收敛收敛故故(1)几何级数几何级数常用的比较级数常用的比较级数(2)p-级数级数(3)调和级调和级数数发散发散推论推论2定理定理2则则收收敛敛收收敛敛发散发散发散发散例例 讨论正项级数讨论正项级数 的敛散性的敛散性.解解：而等比级数而等比级数 收敛收敛.所以原级数收敛所以原级数收敛.由比较审敛法，由比较审敛法，解解因为因为而而是发散的是发散的p-级数级数所以所以,原级原级数数发散发散.由由比较审敛法，比较审敛法，例例 讨论正项级数讨论正项级数 的敛散性的敛散性(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)定理定理3

4、两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性;证证由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式(2)推论推论则级数则级数发散发散;则级数则级数收敛收敛.由比较审敛法可推出如下快速的审敛法由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母当分母,分子关于分子关于n的最高次数分别为的最高次数分别为级数级数收敛收敛;级数级数发散发散.例例发散发散.因为因为而而发散发散.例例收敛收敛.解解收敛收敛发散发散例例 判定判定级数级数 的敛散性的敛散性.极限形式知极限形式知,例例 判定判定级数级数 的敛散性的敛散性.解解解解而级数而级数收敛收敛,例例使用比较审敛法或比较审敛法的极限使用比较审敛法或比较审敛法的极限形式必须找到适当的比较级数形式必须找到适当的比较级数.由由(1)式的式的左边相加左边相加,的各项的各项右边右边,证证(1)小于右边相加收敛的等比级数小于右边相加收敛的等比级数发散发散 由由(1)式的式的比值审敛法失效比值审敛法失效.左边左边,收敛收敛.的对应项的对应项,