平行线的证明.ppt

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1、知识详述知识详述1 1、推理证明的必要性、推理证明的必要性 我们认识事物，可能有偏差，有时是我们认识事物，可能有偏差，有时是“想当然想当然”，过于草率，有时是，过于草率，有时是“乱花迷人眼乱花迷人眼”，观察产生了观察产生了错觉，但无论哪一种情况，没有严格错觉，但无论哪一种情况，没有严格的证明都是不的证明都是不能令人放心和信服的能令人放心和信服的 如当如当n n1 1，2 2，3 3，4 4时时，（，（n n2 25n5n5 5）2 2都是等都是等于于1 1，是不是可以归纳得出：，是不是可以归纳得出：当当n n取任意正整数时取任意正整数时，（n n2 25n5n5 5）2 2的值都是的值都是1

2、1？2 2、检验数学结论是否正确的常用方法、检验数学结论是否正确的常用方法 检验数学结论常用的方法：检验数学结论常用的方法：实验验证法、举出反实验验证法、举出反例、推理论证等例、推理论证等3 3、定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确、定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义的规定，也就是给出它们的定义.注意：注意：定义必须是严密的，在表述时，一般避免使定义必须是严密的，在表述时，一般避免使用含糊不清的术语，例如用含糊不清的术语，例如“大约大约”、“大概大概”、“差不差不多多”、“左右左右”等等 正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物正确的定义能

3、把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来或名词区别开来4 4、命题：判断一件事情的句子叫做命题、命题：判断一件事情的句子叫做命题.命命题题是是一一个个“判判断断句句”，判判断断“是是”或或“非非”.”.其其中中正正确确的的命命题题叫叫做做真真命命题题，不不正正确确的的命命题题叫叫做做假假命命题题如如“对对顶顶角角相相等等”是是真真命命题题，“相相等等的的角角是是对对顶顶角角”是假命题是假命题.注注意意：(1)(1)命命题题必必须须是是一一个个完完整整的的句句子子，常常为为陈陈述述句句；(2)(2)而而且且必必须须对对某某件件事事情情作作出出肯肯定定或或否否定定的的判判断断 如如对对“两两

4、直直线线相相交交”这这个个句句子子，我我们们无无法法判判断断它它是是正确的还是错误的，因而它不是命题正确的还是错误的，因而它不是命题 又又如如，“相相等等的的角角是是对对顶顶角角”这这个个句句子子，我我们们可可以以判断它是错误的，因而是命题，而且是假命题判断它是错误的，因而是命题，而且是假命题5 5、命题是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，、命题是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项命题通常可写成结论是由已知事项推断出的事项命题通常可写成“如如果果那么那么”的形式其中的形式其中“如果如果”引出的部分是引出的部分是条件，条件，“那么那么”引出的部分是结论

5、引出的部分是结论 注意：对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论注意：对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论往往不明显，为了指出它的条件和结论，我们可以把命往往不明显，为了指出它的条件和结论，我们可以把命题写成题写成“如果如果那么那么”的形式这样命题的条件的形式这样命题的条件和结论就显而易见了和结论就显而易见了6 6、公理、证明、定理的概念、公理、证明、定理的概念 （1 1）公公认认的的真真命命题题称称为为公公理理，即即在在长长期期的的实实践践中中，人人们们总总结结出出来来的的一一些些基基本本事事实实.如如“两两点点确确定定一一条条直直线线”；“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”等等等等

6、 （2 2）除除公公理理外外，其其他他命命题题的的真真假假都都需需要要通通过过演演绎绎推推理的方法进行判断理的方法进行判断演绎推理的过程称为证明，演绎推理的过程称为证明，（3 3）经经过过证证明明的的真真命命题题称称为为定定理理定定理理只只能能用用公公理理、定义和已经证明为真命题的命题来证明定义和已经证明为真命题的命题来证明7 7、证明假命题的方法、证明假命题的方法 证明一个命题是假命题，只需举一个证明一个命题是假命题，只需举一个“反例反例”即可，也即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.8 8、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别、

7、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据作为进一步判断其他命题真假的依据随堂演练例例1 1、先观察，再验证、先观察，再验证（1 1）图）图中黑色的边是直的还是弯曲的？中黑色

8、的边是直的还是弯曲的？（2 2）图）图中两条线段中两条线段a a与与b b，哪一条更长？，哪一条更长？分析：分析：先观察得出结论，再实验验证先观察得出结论，再实验验证解：解：对对于于（1 1）题题，直直接接观观察察图图可可得得出出结结论论：黑黑色色的的边边是是弯弯曲曲的的，但但实实际际上上，黑黑色色的的边边是是直直的的；对对于于（2 2）题题，直直接接观观察察图图可可得得出出结论：线段结论：线段b b比线段比线段a a短，但实际上，这两条线段同样长短，但实际上，这两条线段同样长点拨：点拨：要要判判断断一一个个数数学学结结论论是是否否正正确确，仅仅仅仅依依靠靠经经验验、观观察察是是不不够够的的，

9、必须给出严格的证明或实验验证必须给出严格的证明或实验验证例例2 2、当、当x x为任意实数时，为任意实数时，x x2 24x4x5 5的值都大于零吗？的值都大于零吗？解：解：x x2 24x4x5 5x x2 24x4x4 41 1（x x2 2）2 21 1，因为（因为（x x2 2）2 200，所以（，所以（x x2 2）2 21 10 0，所以当所以当x x为任意实数时，为任意实数时，x x2 24x4x5 5的值都大于零的值都大于零方法归纳：方法归纳：本本题题在在检检验验数数学学结结论论时时采采用用了了推推理理的的方方式式，熟熟练练运运用用完完全全平平方方公式是解此题的关键公式是解此题

10、的关键例例3 3、请仔细观察下列各式：、请仔细观察下列各式：25 255 52 2，1 2251 22535352 2，112 225112 2253353352 2，11 122 22511 122 2253 3353 3352 2，试写出表示一般规律的等式，并说明理由试写出表示一般规律的等式，并说明理由分析：从给出的等式可以发现，等式右边是一个完全平方数，等式左边从给出的等式可以发现，等式右边是一个完全平方数，等式左边是以是以5 5结尾，由结尾，由1 1、2 2、5 5组成的数，然后由组成的数，然后由1 1、2 2的个数与的个数与3 3的个数作的个数作比较找出规律，从而写出表示一般规律的等

11、式比较找出规律，从而写出表示一般规律的等式解：一般规律：例例4 4、下列语句中不是命题的是（、下列语句中不是命题的是（）A A相等的角不是对顶角相等的角不是对顶角B B两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等C C两点之间线段最短两点之间线段最短D D过点过点O O作线段作线段MNMN的垂线的垂线解析：解析：根据命题的定义可知，只有对一件事情作出判断，才能叫命题，根据命题的定义可知，只有对一件事情作出判断，才能叫命题，A A，B B，C C项都对某件事情作出了判断，只有项都对某件事情作出了判断，只有D D没有对事情作出任何没有对事情作出任何判断判断答案：答案：D D方法归纳：方法归纳：判断

12、一个语句是否为命题应抓住两条：判断一个语句是否为命题应抓住两条：命题是叙述某件事情命题是叙述某件事情的句子；的句子；必须对该件事情作出判断通常不完整的句子、祈使必须对该件事情作出判断通常不完整的句子、祈使句、疑问句、感叹句均不是命题句、疑问句、感叹句均不是命题例例5 5、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一反例加以说明反例加以说明 （1 1）两个角的和是）两个角的和是180180，则这两个角是邻补角；，则这两个角是邻补角；（2 2）同位角相等；）同位角相等；（3 3）如果）如果a a2 2b b2 2，那么，那么a ab b分析

13、：分析：（1 1）邻补角必须有公共边，两个没有公共边的角也可能和为）邻补角必须有公共边，两个没有公共边的角也可能和为180180；（；（2 2）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（3 3）a a2 2b b2 2，a a与与b b可能相等，也可能互为相反数可能相等，也可能互为相反数方法归纳：方法归纳：识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正识别命题的真假，关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确可先举确可先举“特例特例”验证，特例成立，还不能证明为真命题，要验证，特例成立，还不能证明为真命题，要由特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法证明

14、结论正确若由特殊形式转化成一般形式，再用推理的方法证明结论正确若特例不成立，则原命题一定是假命题特例不成立，则原命题一定是假命题解：解：（1 1）假命题如图）假命题如图1 1所示，所示，l l1 1ll2 2，则，则1122180180，但，但11与与22不是邻补角不是邻补角 （2 2）假命题如图）假命题如图2 2所示，所示，l l1 1与与l l2 2不平行，不平行，11和和22是同位角，是同位角，但但1212 （3 3）假命题例如（）假命题例如（3 3）2 23 32 2，但，但3333，所以是假命题，所以是假命题例例6 6、指出下列命题的条件和结论、指出下列命题的条件和结论（1 1）等角

15、的补角相等；）等角的补角相等；（2 2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等分析：分析：不仅真命题是命题，假命题也是命题对于条件和结论不明确不仅真命题是命题，假命题也是命题对于条件和结论不明确的命题，先把它改写成的命题，先把它改写成“如果如果那么那么”的形式的形式解：解：（1 1）改改写写成成“如如果果两两个个角角相相等等，那那么么这这两两个个角角的的补补角角相相等等”条件：两个角相等结论：这两个角的补角相等条件：两个角相等结论：这两个角的补角相等 （2 2）改改写写成成“如如果果两两个个三三角角形形中中的的两两边边及及其其夹夹角角分分别别相相等等，那那么

16、么这这两两个个三三角角形形全全等等”条条件件：两两个个三三角角形形中中的的两两边边及及其其夹夹角角分别相等结论：这两个三角形全等分别相等结论：这两个三角形全等规律总结：规律总结：把把条条件件和和结结论论不不明明确确的的语语句句先先写写成成“如如果果那那么么”的的形形式式，再再指指出出它它的的条条件件和和结结论论注注意意命命题题有有真真假假之之分分，假假命命题题也也是是命题，也可以指出它的条件与结论命题，也可以指出它的条件与结论平行线的判定平行线的判定 平行线的性质平行线的性质1 1、平行线的判定、平行线的判定 （1 1）判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，）判定公理：两条直线被

17、第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行那么这两条直线平行 简述为：同位角相等，两直线平行简述为：同位角相等，两直线平行 （2 2）判定定理（一）：两条直线被第三条直线所截，如果内错）判定定理（一）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行角相等，那么这两条直线平行 简述为：内错角相等，两直线平行简述为：内错角相等，两直线平行 （3 3）判定定理（二）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁）判定定理（二）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行内角互补，那么这两条直线平行 简述为：同旁内角互补，两直线平行简述为：同旁内角互补，两直线平行2 2

18、、平行线的性质定理、平行线的性质定理 （1 1）性质定理（一）：两条平行直线被第三条直线所截，同位）性质定理（一）：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等角相等 简述为：两直线平行，同位角相等简述为：两直线平行，同位角相等 （2 2）性质定理（二）：两条平行直线被第三条直线所截，内错）性质定理（二）：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等角相等 简述为：两直线平行，内错角相等简述为：两直线平行，内错角相等 （3 3）性质定理（三）：两条平行直线被第三条直线所截，同旁）性质定理（三）：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补内角互补 简述为：两直线平行，同旁内角互补简述为：两直线平行，同旁

19、内角互补3 3、证明的一般步骤、证明的一般步骤 解答证明题一般有以下三个步骤：解答证明题一般有以下三个步骤：（1 1）画出图形）画出图形根据题意画出图形，标上必要的字母；根据题意画出图形，标上必要的字母；（2 2）写已知、求证）写已知、求证用字母、符号表示命题的条件和结论；用字母、符号表示命题的条件和结论；（3 3）写证明过程）写证明过程用用“”“”、“”“”，再注明相应，再注明相应依据的方式，写出证明过程依据的方式，写出证明过程注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题明题中，有相当一

20、部分不是文字证明题题目已经明确用字母、符题目已经明确用字母、符号把命题表示出来，甚至也画出了示意图，对于不是文字证明的题，号把命题表示出来，甚至也画出了示意图，对于不是文字证明的题，我们只需从第三步开始写即可我们只需从第三步开始写即可随堂演练随堂演练例例1 1、如图所示，若、如图所示，若BB3535，CDFCDF145145，问问ABAB是否与是否与CECE平行？平行？分析：分析：B B与与BDEBDE是同旁内角，是同旁内角，只要只要BDEBDE145145，ABAB与与CECE即可平行，即可平行，而而CDFCDF与与BDEBDE是对顶角是对顶角 解：解：AB AB与与CECE平行理由如下：平

21、行理由如下：CDF CDF145145（已知），（已知），BDE BDECDFCDF145145（对顶角相等）（对顶角相等）B BBDEBDE3535145145180180 ABCE ABCE（同旁内角互补，两直线平行）（同旁内角互补，两直线平行）方法归纳：方法归纳：利用利用“同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行”证明两条直线平行时，要找证明两条直线平行时，要找准哪两个角是相应的同旁内角，再证明这两个角互补准哪两个角是相应的同旁内角，再证明这两个角互补例例2 2、已知：如图所示，、已知：如图所示，CCCOACOA，DDBODBOD 求证：求证：ACBDACBD分析：分析：因为因为

22、CCDD，那么，那么ACBDACBD，而，而COACOABODBOD，COACOACC，BODBODDD，可得，可得CCDD证明：证明：C CCOACOA，DDBODBOD，COACOABODBOD，C CDD（等量代换）（等量代换）ACBD ACBD（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）规律总结：规律总结：本题中所形成角是内错角，所以先设法证明内错角相等本题中所形成角是内错角，所以先设法证明内错角相等例例3 3、如图所示，直线、如图所示，直线a a，b b被直线被直线c c所截，且所截，且1122180180 求证：求证：abab分析：分析：可利用可利用“同位角相等，两直线平行

23、同位角相等，两直线平行”“”“内错角相等，两直线平内错角相等，两直线平行行”或或“同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行”证明证明证法证法1 1：1 133（对顶角相等），（对顶角相等），1122180180（已知），（已知），3 322180180（等量代换）（等量代换）ab ab（同旁内角互补，两直线平行）（同旁内角互补，两直线平行）证法证法2 2：1 144180180（平角定义），（平角定义），1122180180（已知），（已知），2 244（同角的补角相等）（同角的补角相等）ab ab（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）证法证法3 3：1 15518018

24、0（平角定义），（平角定义），1122180180（已知），（已知），2 255（同角的补角相等）（同角的补角相等）ab ab（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）点拨：点拨：证明两直线平行，关键是找到与待证结论相关的角证明两直线平行，关键是找到与待证结论相关的角例例4 4、如如图图所所示示，在在ABCABC中中，D D，E E，F F分分别别为为ABAB，ACAC，BCBC上上的的点点，且且DEBCDEBC，EFABEFAB，求证：，求证：ADEADEEFCEFC 分析：分析：要要证证ADEADEEFCEFC，只只要要证证出出ADEADE和和EFCEFC都都和和BB相相等等即即

25、可可，而由而由DEBCDEBC，EFABEFAB，可知这两个角都和，可知这两个角都和BB相等相等证明：证明：DEBC DEBC（已知），（已知），ADE ADEBB（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）EFAB EFAB（已知），（已知），B BEFCEFC（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）ADE ADEEFCEFC（等量代换）（等量代换）规律总结：规律总结：在有平行线的前提下，若要求证相等的两个角不是两平行线被在有平行线的前提下，若要求证相等的两个角不是两平行线被截所得的角，要借助一个中间量，将两者联系起来截所得的角，要借助一个中间量，将两者联系起来例例5 5

26、、如图所示，、如图所示，11与与22互补，互补，BBDD，求证：，求证：AB/CDAB/CD 分析：分析：要证要证ABCDABCD，要寻找同位角相等或内错角相等，或同旁内角，要寻找同位角相等或内错角相等，或同旁内角互补，题中条件不能直接应用，但可作为桥梁互补，题中条件不能直接应用，但可作为桥梁证明：证明：1133（对顶角相等），（对顶角相等），11与与22互补（已知），互补（已知），22与与33互补（等量代换）互补（等量代换）DE/BFDE/BF（同旁内角互补，两直线平行）（同旁内角互补，两直线平行）BB44（已知两直线平行，同位角相等），（已知两直线平行，同位角相等），BBDD（已知），（已

27、知），44DD（等量代换）（等量代换）AB/CDAB/CD（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）例例6 6、求证：垂直于同一条直线的两条直线互相平行、求证：垂直于同一条直线的两条直线互相平行分析：分析：这是一道文字证明题，先要画出图形，写出已知、求证，再这是一道文字证明题，先要画出图形，写出已知、求证，再写出证明过程写出证明过程已知：已知：如图所示，直线如图所示，直线acac，bcbc求求证：证：abab证明：证明：ac ac，bcbc（已知），（已知），1 19090，229090（垂直的定义），（垂直的定义），1 122（等量代换），（等量代换），ab ab（同位角相等，两直

28、线平行）（同位角相等，两直线平行）方法归纳：方法归纳：解解答答文文字字叙叙述述类类证证明明题题的的关关键键是是正正确确理理解解文文字字信信息息，把把文文字字表表示示的的命命题题“翻翻译译”成成用用图图形形和和符符号号表表示示（即即画画图形，写出已知、求证），最后再写出证明过程图形，写出已知、求证），最后再写出证明过程三角形的内角三角形的内角三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180180三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系随堂演练随堂演练例例1 1、（1 1）在）在ABCABC中，若中，若A=50A

29、=50，B=CB=C，则，则B=_B=_ （2 2）若一个三角形的三个内角之比为）若一个三角形的三个内角之比为432432，则这个三角形，则这个三角形的最大内角为的最大内角为_ （3 3）在）在RtABCRtABC中，中，AAB=135B=135，则，则BB的度数是（的度数是（）A A45 B45 B9090 C C4545或或90 D90 D不能确定不能确定答案：答案：（1 1）65 65（2 2）80 80（3 3）C C提示：提示：（1 1）三角形三个内角的和等于）三角形三个内角的和等于180180，题中为等腰三角形，已，题中为等腰三角形，已知顶角，可求出其中一底角知顶角，可求出其中一底

30、角 （2 2）已知三个内角之比）已知三个内角之比432432，180180（4 43 32 2）2020，再按三个比值分别求出三个角，其中最大内角为，再按三个比值分别求出三个角，其中最大内角为2042048080 （3 3）在不能确定哪个角是直角的情况下，那么）在不能确定哪个角是直角的情况下，那么BB的度数有两的度数有两个个例例2 2、（、（1 1）ABCABC中，中，A=A=B=B=CC，则，则ABCABC是是_三角形三角形 （2 2）不能判定三角形是直角三角形的条件是（）不能判定三角形是直角三角形的条件是（）A AAAB=C BB=C BA=B=A=B=CCC CA=90A=90B DB

31、DAAB=90B=90 （3 3）一个三角形中，至少有）一个三角形中，至少有_个角是锐角，至多有个角是锐角，至多有_个角是钝角或直角个角是钝角或直角提示：提示：（1 1）根据题中比例关系，用一元一次方程的方法建立方程）根据题中比例关系，用一元一次方程的方法建立方程解答解答 （2 2）能判断三内角中有一个角是直角的是）能判断三内角中有一个角是直角的是A A、B B、C C，选，选D D答案：答案：（1 1）钝角）钝角 （2 2）D D （3 3）2 12 1例例3 3、如图所示，、如图所示，1122334=_4=_ （2 2）如图所示，）如图所示，11223344556=_6=_ 提示：提示：三

32、角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180把这六个角分到两个三角形把这六个角分到两个三角形求内角和求内角和答案：答案：（1 1）280 280 （2 2）360360例例4 4、（、（1 1）如图）如图RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90，A=50A=50，将其折叠，将其折叠，使点使点A A落在落在CBCB上上AA处，折痕为处，折痕为CDCD，则，则 ADB ADB等于（等于（）A A40 B40 B3030C C20 D20 D1010（2 2）如图，在）如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，EF/ABEF/AB，1=501=50，则，则BB的度数为（的度

33、数为（）A A50 B50 B6060C C30 D30 D4040提示：提示：（1 1）折叠后的两个三角形对应的角、边都相等）折叠后的两个三角形对应的角、边都相等.（2 2）利用）利用“两直线平行内错角相等两直线平行内错角相等”的性质，可推出的性质，可推出AA115050，便可以求出，便可以求出B.B.答案：答案：（1 1）D D （2 2）D D例例5 5、如图所示，将三角形纸片、如图所示，将三角形纸片ABCABC的一个角折叠，折痕为的一个角折叠，折痕为EFEF，若，若A=80A=80，B=68B=68，CFE=78CFE=78，求，求CEFCEF的度数的度数 提示：提示：利用三角形内角和

34、求出利用三角形内角和求出CC的度数，的度数，而而CC又为图中两个三角形的公共角，又为图中两个三角形的公共角，已知已知CFECFE7878，即可得出，即可得出CEFCEF的的度数度数答案：答案：7070例例6 6、如如图图所所示示，B B处处在在A A处处的的南南偏偏西西6060方方向向，C C处处在在A A处处的的南南偏偏东东2020方方向向，C C处处在在B B处处的的南南偏偏东东8080方方向向，求求ACBACB的的度度数数 答案：答案：6060例例7 7、如如图图，DPDP平平分分CDACDA，BPBP平平分分ABCABC，则则PP、AA、CC之之间间的的关系怎样，请说明理由关系怎样，请

35、说明理由 提示：提示：根据三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，在类似如图八字形的三角形在类似如图八字形的三角形中，对顶角相等，另外两组中，对顶角相等，另外两组内角之和也相等内角之和也相等答案：答案：2P=C2P=CAA三角形的外角三角形的外角1 1、三三角角形形的的外外角角：三三角角形形的的一一边边与与另另一一边边的的延延长长线线组组成成的的角角，叫做三角形的外角叫做三角形的外角 如如图图，像像ACDACD那那样样，三三角角形形的的一一边边与与另另一一条条边边延延长长线线组组成成的的角就是三角形的外角角就是三角形的外角 外角特征：外角特征：（1 1）顶点在三角形的一个顶点上，如）顶点在三角

36、形的一个顶点上，如ACDACD的顶点的顶点C C是是ABCABC的一个顶点；的一个顶点；（2 2）一条边是三角形的一边，如）一条边是三角形的一边，如ACDACD的一条边的一条边ACAC正好是正好是ABCABC的一条边；的一条边；（3 3）另一条边是三角形某条边的延长线如）另一条边是三角形某条边的延长线如ACDACD的边的边CDCD是是ABCABC的的BCBC边的延长线边的延长线2 2、性质：、性质：（1 1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2 2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一

37、个内角3 3、三角形的外角和为、三角形的外角和为360360随堂演练随堂演练例例1 1、（、（1 1）如图所示，下列结论正确的是（）如图所示，下列结论正确的是（）A A12A B12A B1A21A2C CA21 DA21 D21A21A提示：提示：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 答案：答案：A A （2 2）如图，）如图，1=1001=100，2=1452=145，那么，那么33等于（等于（）A A55 B55 B6565C C75 D75 D8585提示：提示：利用三角形的外角和为利用三角形的外角和为360360求出求出33的邻补角

38、，从而的邻补角，从而得得33的度数的度数答案：答案：B B （3 3）在）在ABCABC中，中，A=53A=53，B=63B=63，那么，那么ABCABC的最小外角是的最小外角是（）A A117 B117 B6363C C116 D116 D5353提示：提示：利用三角形内角和定理求出利用三角形内角和定理求出CC，最大内角的邻补角就是，最大内角的邻补角就是最小外角最小外角.答案：答案：C C （4 4）如如图图，ADAD与与BCBC相相交交于于O O，AB/CDAB/CD，B=20B=20，D=40D=40，那那么么BODBOD的度数为的度数为_ 提示：提示：因为因为ABCDABCD，所以，所

39、以AADD4040，BB2020，由三角形，由三角形内角和可求出内角和可求出AOB.AOB.答案：答案：60 60 （5 5）在）在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与ACAC所在的直线相交所在的直线相交所得的锐角为所得的锐角为5050，则，则AA的度数为的度数为_提示：提示：因为因为ABCDABCD，所以，所以AADD4040，BB2020，由三角，由三角形内角和可求出形内角和可求出AOB.AOB.答案：答案：4040或或140140例例2 2、（、（1 1）如图）如图l l1 1/l/l2 2，则下列式子中值为，则下列式子中值为180180的是（的

40、是（）A A B BC C D D答案：答案：A A （2 2）如图，）如图，AABBCCDDEEF=_F=_ 答案：答案：360 360 （3 3）如图为五角星，则）如图为五角星，则AABBCCDDE=_E=_ 提示：提示：本题主要运用了三角形内角和定理及外角和的有关结论，把所本题主要运用了三角形内角和定理及外角和的有关结论，把所求的五个角集中到一个三角形中来解决求的五个角集中到一个三角形中来解决答案：答案：180180例例3 3、如如图图，直直线线DEDE交交ABCABC的的边边ABAB、ACAC于于D D、E E，交交BCBC的的延延长长线线于于F F若若B=67B=67，ACB=74A

41、CB=74，AED=48AED=48求求BDFBDF的度数的度数 提示：提示：由已知条件由已知条件BB6767，ACBACB7474可求出可求出AA，然后用三角，然后用三角形的外角与内角关系形的外角与内角关系BDFBDFAAAEDAED求解求解答案：答案：8787例例4 4、如如图图，ABCABC中中，1=21=2，ABC=CABC=C，4=54=5求求55的的度数度数 提示：提示：由已知条件得出：由已知条件得出：ABCABC、BDCBDC为等腰三角形，为等腰三角形，CC为为ABCABC、BDCBDC的公共角，的公共角，44551122，由此等量关系，设未知，由此等量关系，设未知数列出方程可求得数列出方程可求得.答案：答案：7272例例5 5、如如图图，在在ABCABC中中，ADBCADBC于于D D，AEAE平平分分BACBAC（CBCB）试说明试说明EAD=EAD=（CCBB）答案：答案：AE AE平分平分BACBAC，EACEAC BACBAC （180180BBCC）ADBC ADBC，DACDAC9090CC，EAD EADEACEACDACDAC （180180BBCC）（）（9090CC）（CCBB）