曲线和曲面造型基础.ppt

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1、第第2 2章章 曲线和曲面造型基础曲线和曲面造型基础2.1 微分几何基础微分几何基础2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面2.2 图形变换图形变换2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法2.1 微分几何基础微分几何基础1 1 1 1、矢量代数、矢量代数、矢量代数、矢量代数空间三维点空间三维点空间三维点空间三维点P P（x x1 1,y y1 1,z z1 1)的矢量表示：的矢量表示：的矢量表示：的矢量表示：2.1 2.1 微分几何基础微分几何基础矢量加法矢量加法矢量加法矢量加法：矢量点乘：矢量点乘：矢量点乘：矢量点乘：点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第点乘的几何表示形式

2、为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。二个矢量为单位矢量）的投影长度。2.1 微分几何基础微分几何基础矢量叉乘：矢量叉乘：2.1 微分几何基础微分几何基础叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a a和和b b所构所构成的平行四边形的面积。成的平行四边形的面积。2 2、曲线几何、曲线几何 曲线的表示方法：曲线的表示方法：隐式曲线：隐式曲线：显式曲线：显式曲线：参数曲线：参数曲线：2.1 微分几何基础微分几何基础隐式：隐式：隐式：隐式：显式：显式：显式：显式：参数参数参数参数:2.1 微分几何基础微分几何基础有理多项式参数形式：有

3、理多项式参数形式：以直线以直线PQPQ与与x x轴的夹角轴的夹角为参数：为参数：2.1 微分几何基础微分几何基础 隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。2.1 微分几何基础微分几何基础参数曲线：参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中

4、的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示：参数曲线的矢量表示：2.1 微分几何基础微分几何基础曲线的性质：曲线的性质：速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。2.1 微分几何基础微分几何基础速率：速率：2.1 微分几何基础微分几何基础单位切矢：单位切矢：不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。单位切矢和曲率是曲

5、线最重要的两个内蕴属性。单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。弧长弧长：单位切矢：单位切矢：链式法则：链式法则：2.1 微分几何基础微分几何基础曲率：曲率：曲率的定义曲率的定义：链式法则后：链式法则后：二维显式曲线二维显式曲线 y=y(x)的曲率：的曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础法矢：法矢：主法矢的定义主法矢的定义：副法矢：副法矢：切矢、主法矢和副法矢定义切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。了一个坐标系。2.1 微分几何基础微分几何基础曲率半径：曲率半径：定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即2.1 微分几何基础微分几何基础例：求

6、单位圆的单位切矢和曲率半径。例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。2.1 微分几何基础微分几何基础空间曲线的挠率：空间曲线的挠率：空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线Serret-FrenetSerret-Frenet公式公式公式公式：2.1 微分几何基础微分几何基础3 3、曲面几何、曲面几何曲面表示的分类：曲面表示的分类：曲面表示的分类：曲面表示的分类：隐式曲面：隐式曲面：显式（非参）曲面：显式（非参）曲面：参数曲面：参数曲面：或或2.1 微分几何基础微分几何基础参数域上的二维曲线：参数域上的二维曲线：映射为空间中曲面上的曲线：映射为空间中曲面上的曲线：注意等参线的定义。注意等参线的定义。2.1 微

7、分几何基础微分几何基础曲面的切矢：曲面的切矢：2.1 微分几何基础微分几何基础曲面的法矢：2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础第一基本式矩阵：切矢的模：切矢的模：切矢的模：切矢的模：切矢：切矢：切矢：切矢：第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：2.1 微分几何基础微分几何基础应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积单位切矢：单位切矢：单位切矢：单位切矢：2.1 微分几何基础微分几何基础2.1 微分几何基础微分几何基础第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：点乘单位法氏点乘单位法

8、氏点乘单位法氏点乘单位法氏 n n，有，有，有，有第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：2.1 微分几何基础微分几何基础法曲率：点乘单位法氏点乘单位法氏点乘单位法氏点乘单位法氏 n n，有，有，有，有法曲率：法曲率：法曲率：法曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础法曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础主曲率：2.1 微分几何基础微分几何基础 2.1 微分几何基础微分几何基础2.2 图形变换图形变换 在在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何采用何种几何建模方法表达设计

9、对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换

10、从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标成新图形上对应点的坐标点的坐标变换。点的坐标变换。2.2 2.2 图形变换图形变换齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：2.2 图形变换图形变换齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：2.2 图形变换图形变换1、二维变换、二维变换基本变换基本变换基本变换基本变换 比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。变换矩阵

11、：变换矩阵：2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换2 2、三维变换、三维变换基本变换基本变换基本变换基本变换 比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等 。变换矩阵：变换矩阵：2.2 图形变换图形变换基本变换基本变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换组合变换组合变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换 2.2 图形变换图形变换B B zierzi

12、er曲线的定义曲线的定义为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点BernsteinBernsteinBernsteinBernstein基函数基函数基函数基函数2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1、BzierBzier曲线曲线曲线曲线 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面Bernstein基函数的性质基函数的性质uu 非负性非负性非负性非负性uu 权性权性权性权性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性端点处：端点处：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 非负性非负性非负性非负性uu 权性权性

13、权性权性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性证明：证明：证明：证明：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 非负性非负性非负性非负性uu 规范性规范性规范性规范性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 非负性非负性非负性非负性uu 规范性规范性规范性规范性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性证明：证明：证明：证明：2.3 NURBS曲线与曲面曲

14、线与曲面uu 非负性非负性非负性非负性uu 规范性规范性规范性规范性uu 对称性对称性对称性对称性uu 递推性递推性递推性递推性uu 导数递推性导数递推性导数递推性导数递推性证明：证明：证明：证明：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性通过首、末控制顶点通过首、末控制顶点2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不

15、变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性因为因为所以所以类似地有：类似地有：跟首末跟首末各一条边各一条边有关有关跟首末跟首末各两条边各两条边有关有关2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地曲线的形态与坐标系的选取无关，由其

16、控制多边形唯一地曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可以从基函数的权性得到解释。确定。原因可以从基函数的权性得到解释。确定。原因可以从基函数的权性得到解释。确定。原因可以从基函数的权性得到解释。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性由基函数的对称性由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺决定。只要控制顶点顺序

17、颠倒一下，即可实现序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。对曲线的反向。因为颠倒控制多边形顶点的顺序，即颠倒控制多边形顶点的顺序，即则新曲线为：则新曲线为：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性。保凸性。保凸性。保凸性。B B zierzier曲线的实质是一系列绝对矢量曲线的实质是一系列绝对矢量的凸组合（加权组合）。此性质便于确定的凸组合（加权组合）。此性质便于确定B B zierzier 曲线的范围

18、。曲线的范围。凸包示意图凸包示意图2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性 B B zierzier曲线比其控制多边形更曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。光滑，拐折减少。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面uu 端点性质端点性质端点性质端点性质uu 几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性uu 对称性对称性对称性对称性uu 凸包性凸包性凸包性凸包性uu 变差减小性变差减小性变

19、差减小性变差减小性uu 保凸性保凸性保凸性保凸性 是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面1 1、几何作图法几何作图法几何作图法几何作图法2 2 2 2、递归分割算法、递归分割算法、递归分割算法、递归分割算法Bzier曲线的递推定义曲线的递推定义2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点p(tp(t*)，该点把曲线分为两，该点把曲线分为两，该点把曲线分为两，该点把曲线分为两段段段段BzierBzier曲线，它们的控制顶

20、点分别如图所示。曲线，它们的控制顶点分别如图所示。曲线，它们的控制顶点分别如图所示。曲线，它们的控制顶点分别如图所示。Bzier曲线的分割曲线的分割2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面张量积张量积Bzier曲面曲面给定空间点阵给定空间点阵给定空间点阵给定空间点阵b bi,ji,j,i i=0,1,=0,1,mm;j j=0,1,=0,1,n n。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面B-B-样条曲线示例。样条曲线示例。三次均匀三次均匀B-B-样条曲线样条曲线2、B-B-样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线 2.3 NURBS曲

21、线与曲面曲线与曲面1.1.三次均匀三次均匀B-B-样条曲线段样条曲线段其中：其中：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面v三次均匀三次均匀B-B-样条曲线段的端点性质样条曲线段的端点性质:2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 均匀均匀均匀均匀B-B-B-B-样条曲线的几何性质：样条曲线的几何性质：样条曲线的几何性质：样条曲线的几何性质：直观性。直观性。直观性。直观性。局部性。局部性。比比比比BezierBezier曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性。保凸性。保凸性。对称性对称性 曲线易于反向。曲线易于反向。与与BezierBezier曲线一样具有几何不变性、变差

22、减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：三点共线三点共线三点共线三点共线 四点共线四点共线四点共线四点共线 两顶点重合两顶点重合两顶点重合两顶点重合 三顶点重合三顶点重合三顶点重合三顶点重合2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面二次均匀二次均匀B B样条曲线样条曲线：端点性质端点性质：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面非均匀非均匀非均匀非均匀B B B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线1.1.均匀均匀B B样

23、条存在的问题样条存在的问题2.2.非均匀非均匀B B样条基函数的定义样条基函数的定义:2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 B-样条基函数的支样条基函数的支撑区间为撑区间为u i ,u i+m+12.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 节点重复度增加节点重复度增加节点重复度增加节点重复度增加1 1 1 1，支撑区间中减少一个非零节，支撑区间中减少一个非零节，支撑区间中减少一个非零节，支撑区间中减少一个非零节点区间，该节点处的可微性降低点区间，该节点处的可微性降低点区间，该节点处的可微性降低点区间，该节点处的可微性降低1 1 1 1次。例：次。例：次。例：次。例：零阶连续零阶连续零阶连续零阶连

24、续零阶不连续零阶不连续零阶不连续零阶不连续！根据！根据Ck-r连续性的结论，可在连续性的结论，可在B-样条样条曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为mm1 1时，时，时，时，B-B-样条曲线具有与样条曲线具有与样条曲线具有与样条曲线具有与B B zierzier曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为端节点重复度为m m m m1 1 1 1，其它内部节点的重复度均为，其它内部节点的重复度均为

25、，其它内部节点的重复度均为，其它内部节点的重复度均为1 1 1 1，且均匀分布时，称为且均匀分布时，称为且均匀分布时，称为且均匀分布时，称为准均匀准均匀准均匀准均匀B-B-B-B-样条曲线。样条曲线。样条曲线。样条曲线。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面次次B B样条曲面可以表达为：样条曲面可以表达为：其中，其中，为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。B-样条样条曲面为张量积曲面。曲面为张量积曲面。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面NURBSNon-Uniform Rational B-SplineBezier方法、方法、B样条方法回顾与分析，有待

26、解决的一个重要问题是自由样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。1974，美国的，美国的K.J.Versprille以博士论文的形式发表了第以博士论文的形式发表了第1篇有关篇有关NURBS的文章，以后的文章，以后L.Piegl 和和W.Tiller对对NURBS进行了深入研究，进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。使之在理论和应用上趋于成熟。IGES和和STEP标准分别将其列为优化标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。类型和唯一的自由曲线曲面

27、表示方法。2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 学习学习NURBSNURBS重点掌握的问题：重点掌握的问题：1.NURBS的定义的定义 2.权因子的意义权因子的意义 3.圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示 4.NURBS的各种算法的各种算法 5.各种构型曲面的各种构型曲面的NURBS表示表示 2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 有理分式表示有理分式表示:其中，其中，其中，其中，w wi,i=0,1,n 为与控制顶点为与控制顶点 相联系的权因子。相联系的权因子。w w0，w wn0其余其余w wi 0。N i,k为为k次规范次规范B样条基函数。样条基函数。2.3 NURBS曲线与曲面曲

28、线与曲面有理基函数表示有理基函数表示有理基函数表示有理基函数表示有理有理有理有理B-B-样条基函数的性质：样条基函数的性质：样条基函数的性质：样条基函数的性质：局部支撑性质局部支撑性质局部支撑性质局部支撑性质 规范性规范性规范性规范性 可微性可微性可微性可微性 节点区间内节点区间内节点区间内节点区间内 ,节点节点节点节点 区间上区间上区间上区间上 若若若若 ，则则 若若若若 ，则则 若若若若 ，则则 若若若若 ，则则2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面齐次坐标表示齐次坐标表示齐次坐标表示齐次坐标表示2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面NURBSNURBS的定义步骤：的定义步骤：的定义步骤：

29、的定义步骤：1.1.确定带权控制顶点确定带权控制顶点确定带权控制顶点确定带权控制顶点2.2.用带权控制顶点定义一条齐次空间中用带权控制顶点定义一条齐次空间中用带权控制顶点定义一条齐次空间中用带权控制顶点定义一条齐次空间中的的的的K K次次次次B-B-样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线3.3.将齐次空间中的将齐次空间中的将齐次空间中的将齐次空间中的K K次次次次B-B-样条曲线投影样条曲线投影样条曲线投影样条曲线投影到到到到 的平面上，得的平面上，得的平面上，得的平面上，得2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面权因子的几何意义权因子的几何意义权因子的几何意义权因子的几何意义权因子的几何意义示意图权

30、因子的几何意义示意图权因子的几何意义示意图权因子的几何意义示意图共线四点的交比：共线四点的交比：共线四点的交比：共线四点的交比：vv讨论：权因子对曲线形状的影响讨论：权因子对曲线形状的影响讨论：权因子对曲线形状的影响讨论：权因子对曲线形状的影响2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面 用如图所示的标准型二次用如图所示的标准型二次有理有理Bzier曲线（曲线（NURBS的的一个特例）表示给定的圆锥

31、截一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确定线，主要任务是确定w1。vv所以，当所以，当所以，当所以，当w w1 1为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的p(1/2)p(1/2)点在点在点在点在mbmb1 1的连线上。的连线上。的连线上。的连线上。二次曲线二次曲线二次曲线二次曲线弧的形状弧的形状弧的形状弧的形状因子因子因子因子2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以

32、根据形状因子确定二次曲线弧的类型：讨论讨论讨论讨论：vv负权因子；负权因子；负权因子；负权因子；vv节点插入；节点插入；节点插入；节点插入；给定控制顶点给定控制顶点b b0 00 00 0、b b1 11 0 1 0、b b2 20 10 1及权因子及权因子w w0 0=w w2 2=1,=1,w w1 1=1/2=1/2，定义一条平面有理二次定义一条平面有理二次B Bzierzier曲线曲线p(u),0p(u),0 u u 1.1.（1 1）求插入一个节点求插入一个节点1/21/2后，新后，新的控制顶点及相应的权因子；（的控制顶点及相应的权因子；（2 2）求曲线上参数）求曲线上参数为为1/2

33、1/2的点的点p p(1/2)(1/2)。习习习习题题题题2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面NURBSNURBS曲面方程：曲面方程：曲面方程：曲面方程：2.3 NURBS曲线与曲面曲线与曲面拟合：拟合：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语 2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法光顺：光顺：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法几何连续性：几何连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法参数连续性：参数连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法几何连续

34、性：几何连续性：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法裁剪曲面：裁剪曲面：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法曲面设计：曲面设计：2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法拉伸：拉伸：截面曲线确定深度生成拉伸拉伸曲面图2.25 拉伸曲面生成过程2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：给定母线给定母线给定母线给定母线，驱动方向，驱动方向，驱动方向，驱动方向 ，驱动距离驱动距离驱动距离驱动距离 d d ，可构造可构造可构造可构造NURBSNURBS列表柱面：列表柱面：列表柱面：列表柱面：其中，其中，其中，其中，2.

35、4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法旋转：旋转：图2.26 旋转曲面生成过程母线旋转轴旋转旋转角度生成旋转曲面2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法旋转曲面的数学表示：旋转曲面的数学表示：给定母线给定母线给定母线给定母线将上式同圆的将上式同圆的将上式同圆的将上式同圆的NURBSNURBS定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：其中，其中，其中，其中，应根据应根据应根据应根据 d dj j 来获得来获得来获得来获得.2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法扫成：扫成：2.4 曲线与曲面造型方法曲

36、线与曲面造型方法变剖面扫成：变剖面扫成：图2.28 可变剖面的扫成（a）轨迹曲线组（c）辅助轨迹曲线组（d）可变剖面扫成曲面箭头方向（b）设定原始轨迹选为原始轨迹2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法水水 箱箱 NURBS 曲曲 面面剖面线剖面线剖面线剖面线+轮廓线轮廓线轮廓线轮廓线+扫掠规则扫掠规则扫掠规则扫掠规则剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式vv 同步扫掠同步扫掠vv 脊线扫掠脊线扫掠vv 平行扫掠平行扫掠vv 旋转扫掠旋转扫掠工程需求的反映工程需求的反映2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法蒙皮

37、：蒙皮：单向蒙皮曲面的生成过程单向蒙皮曲面的生成过程选取参考截面线单向蒙皮曲面生成2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：方法步骤：方法步骤：方法步骤：方法步骤：vv 检取各截面线检取各截面线检取各截面线检取各截面线vv 升阶，统一次数升阶，统一次数升阶，统一次数升阶，统一次数vv 插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量vv 确定确定确定确定v v v v向节点矢量向节点矢量向节点矢量向节点矢量vv v v v v向向向向NURBSNURBSNURBSNURBS控制顶点反算控制顶点反算

38、控制顶点反算控制顶点反算vv 正向计算正向计算正向计算正向计算2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：方法步骤：方法步骤：方法步骤：方法步骤：vv 构造构造构造构造u u向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。vv 构造构造构造构造v v向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。vv 构造由构造由构造由构造由u u、v v向截面线的交点组成的点阵形成向截面线的交点组成的点阵形成向截面线的交点组成的点阵形成向截面线的交点组成的点阵形成的张量积曲面。的张量积曲面。的张量积曲面。的张量积曲面。v

39、v 通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向上分别具有相同的次数和节点矢量。上分别具有相同的次数和节点矢量。上分别具有相同的次数和节点矢量。上分别具有相同的次数和节点矢量。vv 进行布尔和运算，得到最终曲面。进行布尔和运算，得到最终曲面。进行布尔和运算，得到最终曲面。进行布尔和运算，得到最终曲面。2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法涡涡 轮轮 叶叶 片片排排 气气 管管 NURBS 曲曲 面面型型 芯芯 NURBS 曲曲 面面曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例 2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法柴油机汽缸盖柴油机汽缸盖手电钻手电钻整体叶轮整体叶轮2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型方法The End