代数系统(离散数学).ppt

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1、离离 散散 数数 学学(II)古典代数与近世代数古典代数与近世代数v古典代数的研究对象：方程古典代数的研究对象：方程以方程根的计算与分布为其研究中心以方程根的计算与分布为其研究中心v近世代数的研究对象：代数系统近世代数的研究对象：代数系统v古典代数的发展过程导致了群的概念的古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数提出，发展成了近世代数古典代数的发展过程古典代数的发展过程一元一次方程一元一次方程公元前公元前1700年年一元二次方程一元二次方程公元前几世纪公元前几世纪巴比伦人巴比伦人一元三次方程一元三次方程 我国：在公元七世纪我国：在公元七世纪 一般的近似解法一般的近似解法 唐朝数

2、学家王孝通唐朝数学家王孝通缉古算经缉古算经 西方：西方：16世纪世纪意大利数学家意大利数学家卡丹公式卡丹公式古典代数的发展过程古典代数的发展过程一元四次方程一元四次方程FerrariL化为求一个三次方程和两个二次方程的根化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程一元五次方程失败：失败：EulerL(1707-1783)、Vandemonde、LagrangeJL、RuffiniP、GaussKF19世纪世纪法国青年数学家法国青年数学家Galois:五次以上方程无根式解五次以上方程无根式解Galois(18111832)(18111832)(18111832)(18111832)-近世代数

3、的创始人近世代数的创始人EvaristeGalois近世代数的特点近世代数的特点-抽象抽象代数系统：代数系统：群群环环域域格格布尔代数布尔代数离散数学离散数学II第六章第六章 群群 与与 环环6.1 代代 数数 系系 统统l代数运算的定义及其性质代数运算的定义及其性质l代数系统的定义代数系统的定义二元代数运算二元代数运算设设S是一个非空集合，称是一个非空集合，称SS到到S的一个映射的一个映射f为为S的一个二元代数运的一个二元代数运算，即，对于算，即，对于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，通过通过f，唯一确定唯一确定S中一个元素中一个元素c：f（a，b）=c，常记为常记为a*b=c。Note

4、：代数运算是闭运算。代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。意义很广泛。类似地，可定义类似地，可定义S的的n元代数运算：元代数运算：Sn到到S的映射。的映射。代数运算的定义代数运算的定义 加法和乘法是自然数集加法和乘法是自然数集N上的二元代数运上的二元代数运算；减法和除法不是算；减法和除法不是N上的二元代数运算上的二元代数运算加法、减法、乘法都是整数集加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元上的二元代数运算；除法不是代数运算；除法不是Z上的二元代数运算上的二元代数运算乘法、除法是非零实数集乘法、除法是非零实数集R*上的二元代数上的二

5、元代数运运算算；加加法法和和减减法法不不是是R*上上的的二二元元代代数数运运算算代数运算的例子代数运算的例子矩矩阵阵加加法法和和乘乘法法是是n阶阶实实矩矩阵阵集集合合上上的的二元代数运算。二元代数运算。设设S是是一一个个非非空空集集合合，（S）是是S的的幂幂集集，则则、是是（S）上上的的二二元元代代数数运算。运算。、都是真值集合都是真值集合0，1上的二元代数运算。上的二元代数运算。代数运算的例子代数运算的例子设设*是集合是集合S上的二元代数运算，如果对于上的二元代数运算，如果对于任意任意a，bS，a*b=b*a都成立，则都成立，则称运算称运算 *满足交换律。满足交换律。例例.设设Q为有理数集合

6、，对任意为有理数集合，对任意a,bQ,Q,定定义义Q上的运算上的运算如下如下：ab=a+b-a b=a+b-a b b，则则是是Q Q上的二元代数运算，且满足交换律：上的二元代数运算，且满足交换律：ab=a+b-a b=a+b-a b=b+a-b b=b+a-b a=b a=ba代数运算的性质代数运算的性质交换律交换律设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，如如果果对对于于任任意意a，b，cS，(a*b)*c=a*(b*c)都都成立，则称运算成立，则称运算*满足结合律。满足结合律。例例.设设A A是是一一个个非非空空集集合合，对对任任意意a,b a,b AA，定义定义A A上的运

7、算上的运算如下：如下：ab=bb=b，则则是是A A上上的的二二元元代代数数运运算算，且且满满足足结结合合律律:(:(ab)c=bc=cb)c=bc=c a(bc)=ac=c(bc)=ac=c代数运算的性质代数运算的性质结合律结合律设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，a是是S中中的的元元素素，如如果果a*a=a,则则称称a是是关关于于运运算算*的的幂幂等等元元。如如果果S中中每每个个元元素素都都是是关关于于*的的幂幂等元，则称运算等元，则称运算*满足等幂律。满足等幂律。结结论论：若若a是是关关于于运运算算*的的幂幂等等元元，则则对对于于任意正整数任意正整数n n，a an n

8、=a.=a.代数运算的性质代数运算的性质等幂律等幂律 设设*和和+是是集集合合S上上的的两两个个二二元元代代数数运运算算，如果对于任意如果对于任意a，b，cS,a*（b+c）=（a*b）+（a*c），），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算都成立，则称运算*对对+满足分配律满足分配律。（Note:Note:*未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必成立）成立）代数运算的性质代数运算的性质分配律分配律例例.设设A=A=，二元运算，二元运算*,*,+定义如下定义如下:问分问分配律成立否？配律成立否？*+证明：证明：x+(y*z)=(

9、x+y)*(x+z)证：当证：当x=：x+(y*z)=;(x+y)*(x+z)=当当x=：x+(y*z)=y*z;(x+y)*(x+z)=y*z运算运算*对运算对运算+不可分配不可分配证：证：*（+）=*=（*）+（*）=+=设设*和和+是是集集合合S上上的的两两个个二二元元代代数数运运算算，如如果果对对于任意于任意a,bS,a*(a+b)=a，a+(a*b)=a，都成立，则称运算都成立，则称运算*和和+满足吸收律。满足吸收律。例例.定义自然数集合定义自然数集合N上的运算上的运算*和和+如下：对于如下：对于任意任意a，bN，有，有a*b=maxa,b,a+b=mina,b，则则*和和+是是N上

10、的二元代数运算，且上的二元代数运算，且满足吸收律满足吸收律 a*（a+b）=maxa,mina,b=a,a+（a*b）=mina,maxa,b=a.代数运算的性质代数运算的性质吸收律吸收律设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，如如果果S中中存存在在元元素素，使使得得对对于于S中中任任意意元元素素a，都都有有a*=，*a=，则称则称 是是S上关于运算上关于运算*的零元。的零元。设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，对对于于S中中任任意意三个元素三个元素a，b，c，其中其中a不等于零元不等于零元，如果有如果有（1）若若a*b=a*c，则，则b=c，（2）若若b*a=

11、c*a，则，则b=c，就称就称*满足消去律。满足消去律。代数运算的性质代数运算的性质消去律消去律例例.n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律但乘法不满足消去律.因为因为 但但例例.整整数数集集Z上上的的加加法法、乘乘法法都都满满足足结结合合律律和和交交换换律律，乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律，但但加加法法对对乘乘法法不不满满足足分分配配律律；减减法法不不满满足足结结合合律律，也也不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不不满满足足等等幂幂律律，也也不不满足吸收律。满足吸收律。例例.n阶阶实实矩矩阵阵集集合合上上的的加加法法满满足足结结合合律

12、律，也也满满足足交交换换律律；乘乘法法满满足足结结合合律律，但但不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不不满满足足等等幂幂律律，也也不不满满足足吸吸收收律。律。代数运算性质例代数运算性质例例例.设设（S）是非空集合是非空集合S的幂集，则的幂集，则 （S）上的交运算上的交运算、并运算、并运算都满足结合律，都满足结合律，交换律，交换律，对对、对对都满足分配律，它们都都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律满足等幂律，也满足吸收律,但但、不满足消不满足消去律去律。代数运算性质例代数运算性质例设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，f f1 1，f fm m是是S S 上上的若干代数运算，把的若

13、干代数运算，把S S及其运算及其运算f f1 1，f fm m看成一个整体来看，叫做一个代数系统，看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（记为（S S，f f1 1，f fm m）代数系统的定义代数系统的定义例例.设设S是是一一个个非非空空集集合合，（S）是是S的的幂幂集集，则则（S），）为为代数系统。代数系统。例例.设设、是是真真值值集集合合0，1上上的的合合取取与与析析取取运运算算，则则（0，1，）是代数系统。）是代数系统。代数系统的例代数系统的例例例.设设Z为为整整数数集集，Z0为为偶偶数数集集，N为为自自然然数数集集，+、是数的加法和乘法，则是数的加法和乘法，则（Z,+）、（）、（Z,）、（）、（Z,+,）、（）、（Z0,+）、）、（Z0,）、（）、（Z0,+,）、（）、（N,+）、（）、（N,）、）、（N,+,）都是代数系统。都是代数系统。例例.设设、分分别别表表示示求求最最大大公公约约数数和和求求最最小小公公倍倍数数的的运运算算，那那么么（Z,）、（Z0,）、（N,）都是代数系统。都是代数系统。代数系统的例代数系统的例