高等工程流体力学.pptx

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1、高等工程流体力学1流体力学的基本认识与基流体力学的基本认识与基本内容本内容2工程热物理基础工程热物理基础物质状态物质状态传热学传热学流体力学流体力学物质传递物质传递宏观宏观热力学热力学能量传递能量传递流体力学地位流体力学地位3流体性质流体性质流体基本性质（与固体相对应）流体基本性质（与固体相对应）流体分类流体分类理想流体，粘性流体理想流体，粘性流体不可压流体，可压缩流体不可压流体，可压缩流体单相流体，多相流体单相流体，多相流体牛顿流体，非牛顿流体牛顿流体，非牛顿流体正常流体，稀薄流体正常流体，稀薄流体4流体力学流体力学理想流体力学理想流体力学粘性流体力学粘性流体力学可压缩流体力学可压缩流体力学

2、多相流体力学多相流体力学非牛顿流体非牛顿流体稀薄气体流体力学稀薄气体流体力学微尺度流体力学微尺度流体力学磁流体力学磁流体力学工程流体力学基础工程流体力学基础气动力学气动力学生物流体力学生物流体力学叶轮机械流体力学叶轮机械流体力学海洋流体力学海洋流体力学两相流体力学两相流体力学5教科书教科书高等工程流体力学高等工程流体力学，张鸣远、景思睿、李国君编著，西安交通大学出版社，2006年7月，西安主要参考书主要参考书流体力学流体力学，张兆顺，崔贵香，清华大学出版社，2006，北京其他参考书其他参考书FundamentalMechanicsofFluids,I.G.Curries,3rdEdition,

3、MarcelDekker,Inc.,2003，NewYork流体力学流体力学，吴望一编著，北京大学出版社，1995，北京流体力学流体力学，周光炯等编著，高教出版社，2002，北京高等工程流体力学练习题解高等工程流体力学练习题解，张鸣远编著，2008，西安交通大学出版社，西安6先修课程先修课程 本科生流体力学 高等数学 微积分 微分方程 矢量分析，场论 数理方程，复变函数 工程热力学7 本科流体力学本科流体力学 研究生流体力学研究生流体力学基本物理概念基本物理概念 理论分析理论分析流体、粘性、可压缩性系统推导控制方程组积分方程（宏观）积分方程（宏观）微分方程（微观）微分方程（微观）动量定理，边界

4、层方程速度场，压强场定常流动定常流动非定常流动非定常流动伯努利方程，非定常，非惯性系，一维流动一维流动多维流动多维流动一维等熵流动可压缩流体平面势流流动基本无紊流介绍基本无紊流介绍紊流紊流工程师工程师 科学研究人员科学研究人员8本课程主要内容本课程主要内容 流体力学基本概念、方程与定理（重点）理想不可压流体流动（掌握）粘性不可压缩流体流动（重点）理想可压缩流体流动（了解）实际流体的流动（介绍）水波动力学，多相流体，血液流动 流体力学数值模拟（介绍）9第第 一一 部部 分分 流体力学的控制方程流体力学的控制方程第一章第一章 流体力学的基本概念流体力学的基本概念10流体力学基本概念流体力学基本概念

5、拉格朗日参考系与欧拉参考系拉格朗日参考系与欧拉参考系迹线、流线、脉线迹线、流线、脉线物质导数物质导数速度分解定理速度分解定理有旋运动概念有旋运动概念物质积分随体导数物质积分随体导数-雷诺输运方程雷诺输运方程张量基本概念张量基本概念附录附录应力张量应力张量本构方程本构方程11第第 一一 部部 分分 流体力学的控制方程流体力学的控制方程第一章第一章 流体力学的基本概念流体力学的基本概念121.1 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系连续介质假说连续介质假说 流体由无穷多的流体质点连续无间隙地组成。流体质点流体质点流体质点是在流体力学中研究的最小单元。当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体

6、质点的速度和密度。由确定流体分子组成的流体团。流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。13拉格朗日参考系拉格朗日参考系理论力学描述质点运动，14流体中有无数多流体质点，需加以区别，以t=t0时刻流体质点空间位置的坐标，作为流体质点的标号，物理量，改变,t不变，表示同一时刻不同流体质点的空间位置或相关变量；t改变,不变，表示同一流体质点的空间位置或相关变量随时间的变化。拉格朗日参考系拉格朗日参考系15物理量上式括号内的自变量表示，它的指标j并非自由指标，只表示在其取值范围内逐一取值。张量下标表示法张量下标表示法拉格朗日参考系拉格朗日参考系16欧拉参考系欧拉参考系改变,t不变，表示同一时刻不

7、同空间点上的场变量；t改变,不变，表示同一空间点上的场变量随时间的变化。当采用欧拉参考系时，就定义了空间的场。或工程现场或实验室测量速度、温度、压强等；气象站测量空气速度、温度、湿度；此时速度、温度、密度、压强等是空间点和时间的函数。17在欧拉参考系中x,y,z,t是相互间无函数关系的独立变量。在拉格朗日参考系中x,y,z不再是独立变量，他们都是时间t和的函数，x-x0=u(t-t0)y-y0=v(t-t0）z-z0=w(t-t0)欧拉参考系欧拉参考系18流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅克比行列式在上述微分中t可视为常数。19流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅

8、克比行列式20雅克比行列式J表示一流体微团或流体质点在t时刻和初始时刻t0的体积之比，也表示初始时刻t0和时刻t的密度比。流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅克比行列式质量守恒，21两种参考系的转换两种参考系的转换由于行列式J表示同一流体质点在时刻t和初始时刻t0的体积之比，因此总是一个有限大的正数，于是从数学上讲上述函数和反函数总是存在的。22拉格朗日参考系转换为欧拉参考系拉格朗日参考系转换为欧拉参考系已知代入两种参考系的转换两种参考系的转换23欧拉参考系转换为拉格朗日参考系欧拉参考系转换为拉格朗日参考系已知初始条件如已知代入两种参考系的转换两种参考系的转换24例1.拉格朗日变

9、数(x0,y0,z0)给出的流体运动规律为1)求以欧拉变数描述的速度场；2)问流动是否定常；3)求加速度。解:1)设速度场的三个分量是两种参考系的转换两种参考系的转换由题给流体运动规律表示式，252)欧拉表达式中包括变量t,是不定常流动。3)在拉格朗日参考系中求加速度两种参考系的转换两种参考系的转换261.2迹线、流线和脉线迹线、流线和脉线271.2迹线、流线和脉线迹线、流线和脉线迹线是流体质点在空间运动过程中描绘出来的曲线，即轨迹。由上式可见一个流体质点的速度矢量总是和该质点的迹线相切，因此迹线也可以定义为始终与同一个流体质点的速度矢量相切的曲线。迹线迹线28在以上方程组中是自变量。是流体质

10、点的空间坐标，因此都是的函数。迹线迹线微分方程微分方程或求迹线是在拉格朗日参考系中进行的。积分得初始条件即29消去得，由条件时，可解出解：积分得，例2设两维流动求时刻通过（1，1）点的流体质点的迹线。迹线迹线注：满足上述速度分布的流场中有无数个流体质点，于是有无数条迹线，本题只求其中一条。30流线流线流线是流场中的一条曲线，曲线上每一点的速度矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。对于非定常流动，空间给定点的速度大小和方向随时间而变化，因此谈到流线总是指某一给定时刻的流线。31因为是求某一时刻的流线，可视时间t 为常数，积分以上方程组即得流线方程。积分在欧拉参考系中进行，这时x,y,z,t是相互独

11、立的变量；微分方程微分方程流线流线32求通过(1,1)点的流线,令解出，于是例3设两维流动，求时刻通过（1，1）点的流线。解：流线流线可见通过(1,1)点的流线随时间不同而不同。在时刻33从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的染色液，该染色液形成一条纤细色线，称为脉线。把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时顺序连接起来得到的一条线。脉线又称烟线，染色线。脉线脉线34初始条件，求时刻从点进入流场的流体质点的迹线方程，即求时刻通过点的迹线，脉线方程脉线方程积分上述方程得，脉线脉线35因此当因此当 取取 的值时，方程的值时，方程 即描绘出即描绘出 t 时刻的脉线。时刻的脉线。t固

12、定变化（）时，t瞬时前不同时刻经由(x*,y*,z*)点注入流场的不同流体质点在t时刻的空间位置。脉线方程脉线方程固定t变化（）时，时刻由点(x*,y*,z*)注入流场的一个流体质点的迹线；不同的表示不同的迹线。脉线脉线脉线切线与速度矢量方向不一定相同。36由条件时x=y=1可解出，解：由例2，当取的值时，上式即通过（1，1）点的脉线参数方程。显然在不同时刻（t取不同值时）脉线形状也不同。消去得，在时刻，脉线脉线例3设两维流动，求时刻通过（1，1）点的脉线。37在非定常流动条件下，三种曲线一般是不重合的。在定常流动条件下，三种曲线合而为一。例题小结例题小结流线和脉线都是t=0时刻流场中的一条线

13、，迹线则表示了一个流体质点运动的历史过程，从t=0一直到时刻t；38在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通过该曲线上各点的流线构成一个管状表面，称流管。若流管的横截面无限小，则称流管元。流管表面由流线组成，所以流体不能穿过流管侧面流进流出，而只能从流管一端流入，而从另一端流出。流管流管391.3 物质导数物质导数40在欧拉参考系下用表示流体质点的速度变化。欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉参考系：某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导数或局部导数。拉格朗日参考系：流体质点速度随时间的变化，即加速度。1.3 物质导数物质导数41流体质点的物理

14、量随时间的变化率。又称质点导数，随体导数。设场变量，则表示某一流体质点的随时间的变化。物质导数物质导数42在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）时刻，时刻，物质导数按定义可计算为，物质导数物质导数43 在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）是流体质点的某物理量，或写为于是物质导数物质导数44以矢量和张量下标形式表示的物质导数以矢量和张量下标形式表示的物质导数算符物质导数物质导数45称对流导数或位变导数，由于流体质点在不均匀的场内移动而引起的物理量的变化，由场的不均匀性引起。欧拉参考系中的

15、时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流体物理量随时间的变化，由场的不定常性引起。物质导数，质点导数，随体导数；物质导数物理意义物质导数物理意义参阅11页。46正交曲线坐标系中物质导数表达式正交曲线坐标系中物质导数表达式参阅附录D,409，410页。47例例5为研究城市的空气污染情况，需测量某项污染指标s随时间的变化率，采用了三种方法：1)把测量探头安装在一高塔上；2)把探头安装在一直升飞机上，直升飞机速度为；3)把探头安装在一气球上，设气球随气流运动，气流速度为。试用数学公式分别表示上述三种方法的测量结果。2)直升飞机上探头测得的s变化率应等于的s当地变化率加上s的空间变化率与直升飞

16、机速度的乘积，3)由于气球与空气速度相同，气球上探头测得的s变化率就是s的随体导数或物质导数，解：1）高塔探头测得的是在流场某一固定点上s的随时间的变化率，即s的当地导数,48例例6考虑图示收缩通道内理想不可压缩流体的一维定常流动，分别求欧拉和拉格朗日参考系内的速度和加速度表达式。解：1)欧拉参考系。由不可压缩流体，492)在拉格朗日参考系中，欲求的是t=0时刻从x=0出发的流体质点的速度和加速度表达式，分别对时间求1阶和2阶导数，501.4 速度分解定理速度分解定理51为流场中一任意点，为点邻域内另一点，如果速度场已知，则同一瞬时上述点对于点的相对运动速度可计算如下：1.4 1.4 速度分解

17、定速度分解定理理1.4.1 1.4.1 速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量52速度梯度张量速度梯度张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量53速度梯度张量速度梯度张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量54只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对应相等，可表示为，是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动。应变率张量应变率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量55只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为，是

18、一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动。旋转率张量旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量56反对称张量只有三个独立分量，可看作一个矢量的三个分量，旋转率张量旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量57旋转率张量旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量58表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的点相对于M点的速度变化。表示由于流体微团变形而产生的点相对于M点的速度变化。速度分解定理速度分解定理速度分解定理，应变率张量和旋转率张量速度分解定理，应变率张量和旋转率张量59

19、只有AOBCBOCA1.4.2 1.4.2 应应变变率率张张量量和和旋旋转率张量的物理意义转率张量的物理意义相对伸长率相对伸长率60应变率张量对角线分量表示与坐标轴平行的线段元的相对伸长率。同理应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义相对伸长率相对伸长率61相对体积膨胀率相对体积膨胀率速度的散度等于流体微团的相对体积膨胀率。应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义相对体积膨胀率意味着单位体积流体单位时间内增加了多少体积，也可理解为单位时间有多少流体体积从单位体积内流出。62同样可推得，旋转角速度旋转角速度00BCABA应变率张量和旋转率张量的物理

20、意义应变率张量和旋转率张量的物理意义63流体微团绕x轴和y轴旋转的角速度，定义流体线OA和OB的角速度和的平均值为流体微团绕z轴旋转的角速度（逆时针为正）应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义旋转角速度旋转角速度由旋转率张量3个非零分量组成的矢量就是流体微团的旋转角速度，64速度分解定理应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义旋转角速度旋转角速度表示流体微团旋转引起的两相邻点间速度变化，这里认为点周围很小邻域内的流体像刚体一样以角速度旋转。刚体旋转运动刚体旋转运动65,OA和OB间夹角为0BAx轴和y轴间夹角变形率，角变形率角变形率(剪切变形率

21、剪切变形率)应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量的非对角线分量或表示分别与x轴和y轴平行的两个微元线段元之间夹角变化率一半的负值。66角变形率角变形率(剪切变形率剪切变形率)同样可以推得，S23或S32表示分别与y轴和z轴平行的两个微元线段元之间夹角变化率一半的负值，S31或S13表示分别与z轴和x轴平行的两个微元线段元之间夹角变化率一半的负值。应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义67应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义速度分解定理给出线相对伸长率和剪切变形率对于流体微团内两相邻点间速度变化的贡献。角

22、变形率角变形率(剪切变形率剪切变形率)681)流体微团旋转角速度2)应变率张量 3)旋转率张量4)变形速度 和旋转速度例7.设平面简单剪切运动的速度分布为，试求:解:1)2)693)4)5)70以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一个旋转运动,可以用下图直观的表示。711.5 有旋运动的基本概念有旋运动的基本概念721.5 有旋运动的基本概念有旋运动的基本概念涡量涡量速度的旋度称为涡量涡量是流体微团旋转角速度的两倍。73有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动流场中处处涡量为零，称势流，或。否则称有旋流动。势流势流74有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动势流势流流动是否有旋主要

23、看流场中的流体微团自身是否旋转，而与其运动轨迹无关。在点涡流动中流体微团作圆周运动，但其自身并不旋转；在简单剪切流动中，流体微团作直线运动，但自身却作顺时针方向的旋转平面剪切流动点涡流动 参阅404页。75称速度势函数。易证以的梯度形式表示的速度场是无旋场，速度势函数速度势函数上式即为某一标量函数全微分的充要条件，有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动76速度环量速度环量速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量，线积分沿逆时针方向进行。速度环量和涡通量，斯托克斯公式速度环量和涡通量，斯托克斯公式涡通量涡通量77Stokes定理定理由于速度环量是线积分，被积函数是速度本身，而涡通量则是面积分，被积函

24、数是速度的偏导数（涡量的分量以速度偏导数表示），因此利用速度环量常常比使用涡通量更为简便。速度环量和涡通量，斯托克斯公式速度环量和涡通量，斯托克斯公式78涡线涡线 流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。涡涡管管 在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线，在某瞬时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面，称涡管。涡管横截面无限小时称微元微元涡管涡管。涡线、涡面和涡管涡线、涡面和涡管涡面涡面在涡量场内取一非涡线的曲线，过曲线每一点作涡线，这些涡线组成的曲面称涡面。在某一给定时刻，通过空间同一点的流线和涡线，一般来说方向不同。在平面流动和轴对称流动中，流线与涡线正交。79矢

25、量恒等式，涡量场内无源无汇。涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质涡量场是无源场涡量场是无源场80涡线和涡管都不能在流体内部中断涡线和涡管都不能在流体内部中断由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在流体内部中断。(如果发生中断，取封闭曲面，将中断处包在其中，则通过封闭曲面的涡通量将不为零，与无源场事实相矛盾)。涡线和涡管只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其头尾搭在固壁或自由面，或延伸至无穷远。不可压缩流体的速度场是无源场，因此流线和流管也不能在流体内部终止，它们必须自行封闭，或延伸至无穷远，或将其头尾搭在固壁或自由面上。涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质81由 ，对图示涡管，涡量场的

26、运动学性质涡量场的运动学性质对一个确定的涡管，它的任一横截面上的涡通量相等。该常数称为涡管强度。涡管强度涡管强度当横截面积增加时，截面的平均涡量值减小；反之亦然。引入平均截面涡量概念，82涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质即在同一时刻围绕周界的速度环量与围绕周界的速度环量相等，也可以说涡管任意横截面上的环量相等。引用斯托克斯公式，涡管强度涡管强度831.6 物质积分的随体导数物质积分的随体导数雷诺输运定理雷诺输运定理84相对体积膨胀率相对体积膨胀率速度的散度等于流体微团的相对体积膨胀率。应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义相对体积膨胀率意味着单位体积流体单位时间内

27、增加了多少体积，也可理解为单位时间有多少流体体积从单位体积内流出。85系统系统某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组。系统和控制体系统和控制体1.6 物质积分的随体导数物质积分的随体导数雷诺输运定理雷诺输运定理86控制体控制体流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。在欧拉参考系中通常把注意力集中在通过控制体的流体上，应用质量、动量和

28、能量守恒定律于控制体，即可得到欧拉参考系中的基本方程组。系统和控制体系统和控制体通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式87对系统体积分的随体导数对系统体积分的随体导数动量定理动量定理88设是单位体积流体的物理量分布函数，而是系统体积内包含的总物理量，则对系统体积分的随体导数对系统体积分的随体导数89如果利用一个在时刻t与重合，空间位置及大小形状均不随时间变化的体积（控制体）来替换，上述体积分结果将保持不变，雷诺输运定理雷诺输运定理把欧拉参考系的积分改变为拉

29、格朗日参考系的积分，积分域由可变体积变为固定体积，求导和积分运算顺序可相互交换。90雷诺输运定理雷诺输运定理高斯公式，公式左侧表示一个系统的总物理量对时间的变化率；公式右侧第一项表示在t时刻与系统重合的固定控制体内的物理量的变化率，这个变化是由于分布函数的不定常性引起的；公式右侧第二项表示通过控制面净流出控制体的物理量流率，此项是由于分布函数的不均匀性以及系统的空间位置和体积形状随时间改变而引起的。公式右侧分别是针对静止控制体和静止控制面的积分，被积函数是欧拉参考系中的变量。91用静止控制体替换 雷诺输运定理雷诺输运定理令考虑到92例8 给定一流场的速度分布和密度分布为：其中 ,k为非零常数，

30、求1)在流场中某点的流体密度随时间的变化率；2)流体质点密度在运动过程中随时间的变化率；3)证明体积中的流体质量的随体导数等于零。解:1)2)933)在体积中流体质量为是以0点为圆心，半径为的圆面。9495于是，96上一节上一节 课程内容课程内容拉格朗日参考系与欧拉参考系拉格朗日参考系与欧拉参考系迹线、流线、迹线、流线、脉线脉线物质导数物质导数速度分解定理速度分解定理 基准速度基准速度+伸缩变形伸缩变形+剪切变形剪切变形+旋转旋转有旋运动概念有旋运动概念物质积分随体导数物质积分随体导数-雷诺输运方程雷诺输运方程97补充内容：张量分析补充内容：张量分析98为什么学习张量为什么学习张量以张量表示的

31、数学式更为简洁；用张量表示的公式具有更清楚的物理意义；以矢量、张量表示的公式适用于任意坐标系；可方便地进行数学推演；便于阅读科技文献。99（1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定 x、y、z分别计作x1、x2、x3，分别计作指标表示法指标表示法直角坐标的3个方向记做1、2、3，ax、ay、az分别计作a1、a2、a3，100求和约定求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，表示对该指标分别取1、2和3，然后求和。在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标。（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定101例例1.1.展开下列求和式，解解：（1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约

32、定在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标。102哑指标在作求和运算后就消失了，因此改变哑指标的字母不改变表达式的内容，自由指标和哑指标自由指标和哑指标（1 1）指标表示法和符号约定）指标表示法和符号约定在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。如果一个方程中只有一个自由指标，表示是一个矢量方程，有3个分量方程；如果有2个自由指标，则表示9个分量方程。为避免混淆，同一项中相同指标出现的次数不能多于2。103克罗内克尔克罗内克尔(Kronecker)(Kronecker)符号符号（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定104与相乘，相当于把的下标j置换为i。符号具有以下重要性质：克

33、罗内克尔克罗内克尔(Kronecker)(Kronecker)符号符号（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定105符号具有以下重要性质：克罗内克尔克罗内克尔(Kronecker)(Kronecker)符号符号（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定106置换符号置换符号i、j、k偶排列，123，231，312i、j、k中有两个以上指标相同时i,j,k奇排列，213，321，132（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定任意两个指标交换位置，会改变奇偶性；将首位指标移至末位，奇偶性不变。107有以下重要性质：置换符号置换符号（1 1）指标表示法和求和约定）指

34、标表示法和求和约定108用指标表示法表示矢量运算用指标表示法表示矢量运算（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定109（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定两个矢量相乘（点乘或叉乘），它们的下标应取不同的字母（下标相同则就表示求和，与题意不符）。用指标表示法表示矢量运算用指标表示法表示矢量运算110（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定用指标表示法表示矢量运算用指标表示法表示矢量运算111重要公式汇总重要公式汇总（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定112例例2 2.已知,求:解解（1）（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定是

35、位置矢量。（2）113（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定（3）（4）114（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定（5）（6）115例例3 3.证明 证明证明:（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定116哈密顿算子哈密顿算子利用张量下标表示法哈密顿算子可写为一个具有微分及矢量双重运算的算子（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定117利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。梯度梯度散度散度哈密顿算子哈密顿算子（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定118旋度旋度哈密顿算子哈密顿算子（1 1）指标表示法和求和约定

36、）指标表示法和求和约定119拉普拉斯算子拉普拉斯算子哈密顿算子哈密顿算子（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定120例题例题4 4.分别写出在直角坐标系中的表达式.解解:（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定121（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定122例例5 5.是位置矢量,证明:是常矢量。证明证明:(2).(1).（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定123(4).(3).（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定124例题例题6 6.证明证明证明：（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定梯梯度场是无旋场度场

37、是无旋场125（1 1）指标表示法和求和约定）指标表示法和求和约定求导时当作常数对待。涡旋场是无源场涡旋场是无源场126标量标量是一维的量，它只需1个数来表示，如温度、密度等。矢矢量量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空间坐标系的3个坐标轴方向的3个分量来表示，矢量是三维的量，如力，速度，加速度，动量等。三维空间中的二二阶阶张张量量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整地表示，如应力，变形速率。三维空间中的 n 阶张量阶张量由 3n个分量组成。标量和矢量是低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。笛卡尔张量。（2）笛卡尔张量）笛卡尔张量标量、矢量和张量标量、矢量和张量127

38、二阶张量二阶张量 二阶张量有9个分量，二阶张量也可表示为矩阵形式，标量、矢量和张量标量、矢量和张量（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量张量可以用黑体大写字母表示，也可用它的一个分量表示。128张量相等张量相等两个张量相等则各分量一一对应相等。设，若则二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算坐标变换；若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中也相等。张量相等与矩阵相等运算相同。（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量129张量加减张量加减设、，则二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张量才能相加减。张量加减运算与矩阵的相应运算相同。（2 2）

39、笛卡尔张量）笛卡尔张量130两个矢量的并矢定义为也可写成并矢是一个二阶张量。单位矢量的两两并矢称为并基并基，三维空间的二阶并基共有9个。并矢运算不服从交换律,并矢并矢二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量矩阵无类似运算。131二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算张量乘积张量乘积设、，分量相乘，是4阶张量。可以证明一个m阶张量和一个n阶张量的乘积是m+n阶张量。（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量矩阵无类似运算。132张量数乘张量数乘二阶张量乘以标量,，则张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。与矩阵运算相同。二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算（2 2）笛卡尔张量）笛卡

40、尔张量133设，定义点积为点积和双点积点积和双点积 二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算，得到一个新的二阶张量。1)张量点积张量点积二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量1342)二阶张量与矢量的点积二阶张量与矢量的点积矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算点积和双点积点积和双点积 1353)二阶张量的双点积二阶张量的双点积二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算点积和双点积点积和双点积（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量136二阶张量的代数运算二

41、阶张量的代数运算点积和双点积点积和双点积（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量矩阵无点积运算。137设是一个二阶张量，则也是一个二阶张量，称为P 的共轭张量。共轭张量共轭张量共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解对称张量、反对称张量和张量的分解（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量138若二阶张量分量之间满足则称此张量为对称张量，可表示为,一个对称张量，只有6个独立的分量。对称张量对称张量共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解对称张量、反对称张量和张量的分解（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量139若二阶张量分量之间满足则称此张量为反对称张量，可表示为一个二阶反对称张量只有3个独立

42、的分量，对角线各元素均为零。反对称张量反对称张量共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解对称张量、反对称张量和张量的分解（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量140张量分解定理张量分解定理一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解对称张量、反对称张量和张量的分解（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量141梯度梯度设矢量，则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲，一个n阶张量的梯度是阶张量。张量的微分运算张量的微分运算（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量142一个二阶张量的

43、散度是一个矢量。一般来讲，一个阶张量的散度是阶张量，散度散度设二阶张量，张量的微分运算张量的微分运算（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量143张量的微分运算张量的微分运算（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量拉普拉斯算子拉普拉斯算子张量的积分运算张量的积分运算高斯公式高斯公式144例例7 7.设，求.解解：（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量145（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量146例题例题8.8.解解:（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量147例题例题9 9.写出下述方程在直角坐标系中的表达式 是切应力张量(二阶张量)。解解:将上述矢量用张量下标表示法写出,（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量148例题例题10

44、10.设 是对称张量,证明证明证明:（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量149各向同性张量各向同性张量在连续介质力学中，通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关，即介质是各向同性的连续介质。表示这类力学性质的张量称为各向同性张量，如流体粘性，电导率等。若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值，经过任一旋转坐标变换后均保持不变，则称此张量为各向同性张量。（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量150三阶各向同性张量都可写成的形式，其中为一标量常数。零阶张量（标量）和任意阶零张量都是各向同性张量。零张量是指全部分量值均为零的张量。二阶各向同性张量都可写成的形式，其中为一标量常数。一阶张量（矢量）除零矢量

45、外，都是各向异性张量。（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量各向同性张量各向同性张量151四阶各向同性张量都可表示为，其中、都是标量常数。当对i、j两指标对称时，其中和都是标量常数。对k和l也是对称的。（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量各向同性张量各向同性张量152矢量和张量的两种表示法矢量和张量的两种表示法-实体表示法与分量表示法实体表示法与分量表示法（2 2）笛卡尔张量）笛卡尔张量1531.7应力张量应力张量154下标表示面元的法线方向。1.71.7应力张量应力张量应力矢量应力矢量应力矢量方向与法线方向不一定重合。应力矢量是一个特殊矢量。155，正侧流体对负侧流体的作用应力；，负侧流体对正侧流体的

46、作用应力。应力矢量应力矢量156应力矢量的投影应力矢量的投影应力矢量应力矢量157应力的双下标表示法：第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，第 2 个下标表示应力投影方向。应力矢量应力矢量应力矢量的投影应力矢量的投影应力矢量向坐标轴投影，158系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。积分形式的动量方程积分形式的动量方程由动量定理得积分形式的动量方程如下,系统的动量，作用在系统上的重力，作用在系统上的表面力,应力张量应力张量159引入系统的一个特征长度，于是系统的体积为，而系统表面积则与成正比。用遍除上式各项，然后让上述流体系统在保持原形状不变的条件下收缩到一点，即令，

47、则两个体积分项趋于零，积分形式的动量方程积分形式的动量方程应力张量应力张量160应力张量应力张量四面体流体元受力平衡四面体流体元受力平衡倾斜面外法线单位矢量为倾斜面和其余三个面的面积分别为倾斜面和其余三个面上作用的应力矢量分别为，取四面体流体元。四面体表面力合力，161四面体流体元受力平衡四面体流体元受力平衡应力张量应力张量四面体体积在保持形状不变条件下趋于零，一个流体微团所受到的表面力是局部平衡的一个流体微团所受到的表面力是局部平衡的。162四面体流体元受力平衡四面体流体元受力平衡应力张量应力张量163应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量应力张量应力张量164或称应力张量。应力张量的对角线元

48、素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量。应力张量应力张量应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量165应力张量的9个独立分量某瞬时在每一空间点都有唯一确定的值，与无关，只是空间点位置和时间的函数，应力张量应力张量应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量由九个分量（下文中将证明只有6个独立分量）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。如何求一点沿某个方位的应力矢量；166应力张量应力张量动量方程动量方程上述积分的被积函数是连续的，积分区域是任选的，欲使上式恒等于零，被积函数需恒等于零，以张量下标形式可写为167应力张量的对称性应力张量的对称性动量矩定理系统的角动量或动量矩作用于流体系统的力

49、矩，包括由质量力（重力）和表面力产生的力矩，将动量距和力矩的表达式代入动量距方程，168应力张量的对称性应力张量的对称性169应力张量的对称性应力张量的对称性应力张量是对称张量，独立分量只有6个。170例10.流体内某处的应力张量可表示为试求作用于平面 外侧（离开原点一侧）的应力矢量及应力矢量的法向和切向分量。解:求该平面外侧的法向单位矢量，171172同一点各个不同方向上的法向应力是相等的；取是强调压强与作用面的法线方向相反；在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压强函数便完全地描述了一点上的应力状态。理想流体与静止流体的应力张量理想流体与静止流体的应力张量在理想流体或静止流体中切应力

50、为零，173称单位张量。一个单位张量和矢量的点积等于这个矢量本身，理想流体与静止流体的应力张量理想流体与静止流体的应力张量174例11.圆球表面应力如下,求圆球所受的力。以上表达中，为无穷远处压强和流体速度，为动力粘性系数，a为圆球半径。球坐标和直角坐标关系,解:175注意：176又解:由于，与对方向对称，因此它们无方向和垂直于z轴方向的分量，只有沿z轴方向的分量177例12.试求图示圆柱坐标系微元体所受表面力的合力。计算中可取每个表面中心的应力作为该表面的平均应力。已知单位矢量 和 均是的函数，且 微元体中心的应力张量已知。解:178179 同理 180考虑到181整理得1821.8本构方程