随机数学基础东南大学曹振华章.pptx

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1、1.确定性现象.在一定条件下可能发生这种结果也可能发生那种结果的，因而无法事先断言出现那种结果的现象称为随机现象。第一章 随机事件及其概率3.概率规律和统计规律性。2.随机现象:第1页/共264页1.1随机事件 随机试验:(1)可在相同的条件下重复进行;(2)重复试验有多个可能结果,且能事先 明确所有可能的结果;(3)一次试验只出现一个结果，且试验前 不能确定出现哪个结果。第2页/共264页样本空间随机试验中，每一个可能结果称为该试验随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个的一个样本点样本点,记为记为.全体样本点组成的集合称为该试验的全体样本点组成的集合称为该试验的样本样本空间空间，记为，记

2、为。E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面 的情 况.1=H,T 1=H,2=T 第3页/共264页 E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.4=0，1，2，1=0,2=1,3=2 E E3 3:掷一颗骰子掷一颗骰子,观察点数观察点数.则则 3 3=1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 1=11=1 2=2 2=2 6=66=6E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.2=HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT 第4页/共264页 E5:从一批电子元件中任取一只测试其寿命.5=t|t01.离散样本空间.2.连续样本空间.第5页/共264页如如E1E1中中,

3、“出现正面出现正面”;E3;E3中，中，“出现偶数出现偶数点点”;E5;E5中中1000t3000(1000t3000(小时小时).).随机事件“在一定条件下可能发生也可能不发生事情在一定条件下可能发生也可能不发生事情”叫做叫做随机事件随机事件,简称事件简称事件.随机事件：样本空间中样本点的集合第6页/共264页基本事件:由单个样本点组成 如:H,T.必然事件:样本空间自身复合事件:多个样本点组成 如:E3中 出现正面次数为偶数.不可能事件：空集第7页/共264页事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:AB:A发生必然导致事件B发生 若A B且A B,则A=B第8页/共264页2.事件

4、的并:第9页/共264页3.事件的交：A B:“事件A与B同时发生”第10页/共264页4.事件的差:A-B:“A发生而B不发生”第11页/共264页5.互不相容(互斥):注：基本事件两两互不相容第12页/共264页6.互逆事件：第13页/共264页7.事件的运算律:交换律:结合律:分配律：第14页/共264页解释:德摩根公式推广：德摩根公式:第15页/共264页例例1 1 高射炮对模型飞机射击三次，设高射炮对模型飞机射击三次，设A Ai i表表示示“第第i i次击中飞机次击中飞机”，用，用A Ai i表示下列事件表示下列事件(1)B(1)B1 1“只有第一次击中飞机只有第一次击中飞机”（2

5、2）B B2 2“恰有一次击中飞机恰有一次击中飞机”（3 3）B B3 3“至少有一次击中飞机至少有一次击中飞机”（4 4）B B4 4 “至多两至多两次击中飞机次击中飞机”第16页/共264页2.频率与概率(一)频率 1.定义：将一试验E在相同的条件下重复进行n次,如果事件A发生了nA次,则比值 Fn(A)=nA/n称为事件A发生的频率.第18页/共264页第19页/共264页抛币试验抛币试验第20页/共264页频率的特性:波动性和稳定性.(1)波动性:对于同一个试验,不同的试验序列其频率不同;(2)稳定性:随着n逐渐增大,事件A的频率总在某一定值P(A)的附近摆动而逐渐稳定。P(A)通常称

6、为频率的稳定值。第21页/共264页(二)概 率频率的稳定值频率的稳定值P(A)P(A)反映了事件反映了事件A A在一次试在一次试验中发生的可能性大小，称验中发生的可能性大小，称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。1 1 统计定义：第22页/共264页2 2 公理化定义：设：设为样本空间，为样本空间，A A为事件，为事件，对每一事件对每一事件A A赋予一实数赋予一实数P(A)P(A)，如果，如果P(A)P(A)满满足如下三条公理：足如下三条公理：则称则称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。第23页/共264页概率的性质:第24页/共264页第25页/共264页 P(

7、B)=P(A)+P(B-A),第26页/共264页第27页/共264页这个式子称为这个式子称为“加奇减偶公式”.第28页/共264页第29页/共264页例例1 1 设设A,BA,B为两个事件为两个事件,且且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率求下列各事件的概率.第30页/共264页第31页/共264页3.古典概型古典概型的特点:(1)有限样本空间:=1,2,n(2)等可能样本点:P(1)=P(2)=P(n)第32页/共264页计算公式:由概率定义及等可能性,可得第33页/共264页例.设一袋中有编号为

8、1,2,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（记为事件A）(2)最小号码为5的概率.（记为事件B）解：从9个球中任取3只球,共有 种取法.（2）最小号码为5,共有 种取法.（1）取到1号球共有 种取法第34页/共264页推广：有N件产品,其中M件次品,从中任取n件,求取到k件次品的概率.M件次品中取k件,取法数为 从N-M件正品中取n-k件,取法数为 ,于是解:记Ak:取到k件次品 N件中任取n件,共有 取法,第35页/共264页例2 将n只球一只一只随机地放入N(Nn)个盒子中去,试求 A:1-n号盒子各有一球的概率 B:每个盒子至多有 一只球的概率.(设盒子的容量不

9、限)假定每个人的生日在一年365天的任一天都等可能,随机选取n(0,称为在A发生的条件下B发生的条件概率.第41页/共264页 性质(条件概率是一个概率)第42页/共264页第43页/共264页例1 根据长期气象纪录，甲乙两城市一年中雨天的比例分别为20%和18%,同时下雨的比例为12%。问甲乙两城市气候是否相关？解：以A,B分别表示甲乙两城市出现雨天。则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是所以两城市气候有一定的相关性。第44页/共264页例2 袋中有某产品件，其中一等品件二等品件，不放回从中连续抽两件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).

10、(二)乘法定理:第45页/共264页推广:若P(AB)0,则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般,设A1,A2,An是n个事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,则有乘法公式:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2 An-2)P(An|A1A2An-1).第46页/共264页例 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为获0.7,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9,试求透镜落下三次而未打破的概率.第47页/共264页练习：设盒中有a(a2)个黑球，b个白球，连续从盒中取球3次，每次取一球，取

11、后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。解：以Ai 表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),第48页/共264页(三)全概率公式和贝叶斯公式:例1.某电子设备厂所用的晶体管由三家元件制造厂提供,数据如下:元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05从中任取一只晶体管,它是次品的概率是多少？第49页/共264页第50页/共264页全概率公式:第51页/共264页例1(续).:产品为次品,Bi:产品由工厂i生产元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05运用全概率公

12、式可得第52页/共264页例2 某产品整箱出售每箱20个，各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。顾客购买时选取一箱从中任取4只检查，若无次品则买下该箱产品，若有次品则退回，求顾客买下该箱产品的概率。解：以Bj表示“选取的一箱产品中有j个次品”(j=0,1,2),则Bj构成样本空间的一个划分.A表示“顾客买下该箱产品”第53页/共264页练习:甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红球和2白球,从甲箱中取两只球放入乙箱中,再从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率.解 设Bi=从甲箱中取出i只白球i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间的一个划分。有由全概率公式

13、第54页/共264页贝叶斯公式:第55页/共264页例3(续1)任取一只晶体管,若它是次品,则它由1号工厂 生产的概率分别是多少?1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05第56页/共264页注:1.P(Bi)称为先验概率。事件B1,B2,Bn被看作是引起事件A发生的n个原因。2.P(Bi|A)通常称为后验概率。事件A表示结果，P(Bi|A)表示 A的发生是由第i个原因引起的概率。求结果：全概公式求原因：贝叶斯公式 第57页/共264页例在数字通讯中，发送信号和的概率分别为0.7和0.3;发送0收到1的概率为0.2;发送1收到1的概率为0.9。求收到信号为1时发送信号为

14、1 的概率。解：A接收信号为1第58页/共264页练习：机器良好时,生产的产品的合格率为90%,而当机器有故障时,其合格率为30%,每天开机时机器良好的概率为75%。已知某日第一件产品是合格品,问机器良好的概率是多少?解:A表“产品合格”,B为“机器良好”,=(0.90.75)/(0.9 0.75+0.3 0.25)=0.9.第59页/共264页1.5 独立性若 P(B|A)=P(B),由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).一般地,P(B|A)P(B).第60页/共264页定义1:设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独

15、立的事件.注：必然事件和不可能事件与任何事件A都独立第62页/共264页定理：如果事件A,B相互独立，且P(B)0,则 P(A|B)=P(A)第63页/共264页第64页/共264页例2 甲、乙两射手向同一目标独立射击,甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。解：A甲击中目标，B乙击中目标，第65页/共264页定义2:设A,B,C是三个事件,若满足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C为相互独立的事件.定义3：对n个事件A1,A2,An,如果对所

16、有可能的组合1ijkn成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),则称这n个事件A1,A2,An相互独立.第66页/共264页定义4：设A1,A2,An是n个事件，如果对任意的1ij n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这 n个事件两两独立.注：若n个事件相互独立，必蕴含这n个事件两两相互独立.反之不成立。第67页/共264页例3 一均匀正四面体,其一、二、三面分别染成红白黑三色,第四面染上红白黑三色.现以分别A,B,C记投掷一次四面体出现红白黑颜色的事件,则由于四面体中有两面有红色

17、,因此 但是 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)A,B,C不是相互独立的.同理 P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4所以A,B,C两两独立.P(A)=1/2第68页/共264页例4 假若每个人血清中有肝炎病毒的概率为0.4%,混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解：以Ai(i=1,2,100)记“第i个人的血清含有肝炎病毒”,Ai相互独立.所求概率为第69页/共264页例5设有4个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比较两个系统的可靠性.二:先并联后串联一:先串联后并联第70

18、页/共264页练习 某高射炮打飞机命中率为0.6,为了以99%以上的概率命中目标，应配备多少门大炮？第71页/共264页3.袋子中有编号1-10十个球，从中任取一个若不是“2”号球则放回，若是则不放回。然后从袋子中再任取一球，则取到”1”号球的概率是多少？4.甲乙丙三个班级学生数分别为20，25，30，其中女生数为7，5，9.任选一个班级，从中抽出一名学生，若抽得一名女生则她属于甲班的概率是多少？练习第72页/共264页作 业习题：3(3)(4)，5，7，9，13，21，27,32,33,43，45.第73页/共264页第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念例1 从一批产品中任意抽取k

19、件,观察出现的“次品数”X1,依试验结果不同X1的所有可能取值为:0,1,2,k.K+1个结果可用(X1=j)表示.例2 记录某接待站一天中来访的人数X2,“接待k个人”可用(X2=k)表示.第74页/共264页例4 掷一枚硬币观察正反面.试验结果为:1=正面,=反面.试验的结果可以用变量X4 表示例3 测试电子元件寿命的试验中,“元件寿命为t小时”可以用(X3=t)来表示.第75页/共264页定义.1如果对于样本空间中每个样本点，都有唯一的一个实数X()与之对应，则称X()为随机变量简记X()为X.分类：(1)离散型，(2)连续型.第76页/共264页2.2 随机变量的分布函数定义：X是一随

20、机变量,对任意xR,函数 F(x)=P Xx 称为X的分布函数.P x1x1,F(x2)-F(x1)0.(2)0F(x)1 且(规范性)(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点 x0处是右连续的,(右连续性)第78页/共264页第79页/共264页2.3 离散型随机变量的概率分布1.定义 若随机变量全部可能取值是有限或 可列无穷多,则称为离散型随机变量.或列表第80页/共264页分布律的性质：第81页/共264页例1.设一汽车在开往目的地的道路上过四盏信号灯,每盏信号灯是红灯的概率为p，X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律。解:X 0 1 2 3 4 pk即 PX=k=(

21、1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4PX=4=(1-p)4 p 第82页/共264页第83页/共264页X的分布函数第84页/共264页例3.已知X的分布律X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求:(1)X的分布函数F(x),(2)P X1/2,P3/2s+t|Xs)=P(Xt)第111页/共264页(三)正态分布:第112页/共264页性质:第113页/共264页如何计算?转化为标准正态分布进行计算。第114页/共264页(2)标准正态分布:第115页/共264页(3)转换为标准正态分布第116页/共264页第117页/共264页引

22、理 对于标准正态分布有第118页/共264页练习 设XN(0.5,9),求P(|X|2)第119页/共264页例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在0.01以下设计的，设男子身高XN(170,62)(厘米），问车门高度应为多少？解：设车门高度为h,按题意有P(Xh)0)的概率密度。二、X为连续型-分布函数法第125页/共264页第126页/共264页于是求导可得第127页/共264页第128页/共264页2.已知一年中某种人群死亡率为0.0005,该人群有10000人参加人寿保险,每人保费5元.若未来一年中死亡,则得到赔偿5000.求:(1)未来一年中保险公司至少获利10000元的概

23、率。(2)亏本的概率。练习：1.一个盒子中放有N个编号1N的标签N个,从中又放回地抽取n个，求取出的最大号码X的分布率。第129页/共264页作业：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48第130页/共264页第三章 多维随机变量及其分布 n维随机变量定义:若X1()X2(),Xn()是定义在样本空间上的n个随机变量,则称构成一个n维随机变量,简记为X=(X1,X2,Xn)第131页/共264页1.二维随机变量(联合)分布函数:联合分布函数.3.1 二维随机变量第132页/共264页第133页/共264页(1)F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即联合分布函数的性质：

24、第134页/共264页(3)F(x,y)关于x,y都是右连续的，即 第135页/共264页2.二维随机变量的分布二维离散型随机变量的分布律第136页/共264页例1 一袋子中有5个球，其中2个球上标有数字“1”，3个球上标有数字“0”。在有放回和无放回情况下各取两个球，X,Y分别表示第一、二次取得的数字，求(X,Y)的联合分布律。解:(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回取球，对应概律为P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/53/5=9/25(X,Y)的分布律为第137页/共264页例2.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可

25、能地取值,随机变量Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.第138页/共264页第139页/共264页二维连续型随机变量的联合概率密度第140页/共264页第141页/共264页第142页/共264页 二维均匀分布及二维正态分布1.二维均匀分布区域G的面积为A,若(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布.第143页/共264页2.二维正态分布(X,Y)具有概率密度第144页/共264页2.边缘分布 一、边缘分布函数：第145页/共264页二、边缘分布律：二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y的分布律 P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,)分别称为(X,Y)

26、关于X,Y的边缘分布律。第146页/共264页设(X,Y)的联合分布律 P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)则关于X的边缘分布律为第147页/共264页例1(续)求关于X和Y的边缘分布律。无放回取球有放回取球两种取球方式下边缘分布均为pkpk第148页/共264页第149页/共264页三、边缘概率密度:所以，关于X的边缘密度为第150页/共264页例1 设(X,Y)在G上服从均匀分布，求其边缘密度解：因G的面积为1/2，所以第151页/共264页第152页/共264页练习第153页/共264页第154页/共264页第155页/共264页3.条件分布 一、二维离散型变量的情况:第

27、156页/共264页第157页/共264页例1 以X,Y分别表示某医院一天中出生的婴儿总数和男婴数。(X,Y)的联合分布律为求:(1)边缘分布律 (2)条件分布律第158页/共264页例2 一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.第159页/共264页二、二维连续型随机变量称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,第160页/共264页第161页/共264页第162页/共264页练习第163页/共264页4.相互独立的随机变量 第164页/共264页例1(X,Y

28、)由联合分布证明X与Y独立。第165页/共264页定理:如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:第166页/共264页定理(X,Y)是二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:第167页/共264页例 判定独立性第168页/共264页例 判定独立性第169页/共264页命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.第170页/共264页定理：设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,若h,g是连续函数,则h(X)和g(Y)相互独立.第171页/共264页5.二维随机变

29、量的函数的分布问题：已知 Z=g(X,Y),以及(X,Y)的联合分布，如何求出Z的分布？1 (X,Y)为二维离散型随机变量例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为下表试求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。第172页/共264页解：列下表(1)Z1=X+Y的分布律为(2)Z2=XY 的分布律为(3)Z3=max(X,Y)的分布律为第173页/共264页证 Z=X+Y可能的取值为0,1,2,且 第174页/共264页2 二维连续型随机变量的函数的分布Z=g(X,Y）的分布函数为第175页/共264页(一)和(Z=X+Y)的分布:求Z=X+Y的概率密度.第

30、176页/共264页第177页/共264页例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.第178页/共264页例2 设(X,Y)由联合概率密度求Z=X+Y的密度函数fZ(z).第179页/共264页第180页/共264页(二)商(Z=X/Y)的分布:第181页/共264页(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:第182页/共264页例4 两个部件L1,L2组成的串、并联系统分析：对系统1 T=minX,Y 对系统2 T=maxX,Y第183页/共264页第184页/共264页练习1 设(X,Y)的联合密度为(1)求边缘密度fX(x),fY(y)(2)求

31、条件密度fX|Y(x|y)第185页/共264页3.将两封信随机投入编号为1，2，3，4 的4个邮箱，用X,Y分别表示1，2号邮箱中的邮件数，求（1）(X,Y)的联合分布律。（2）求X关于Y=0的条件分布律。(3)判定X,Y的独立性(4)求X+Y的分布律。4.设X,Y同服从参数为p的几何分布，且X,Y相互独立，求Z=X+Y分布律。第186页/共264页作业：1,3,6,9,12,18,19,23,24,28第187页/共264页第四章 随机变量的数字特征1.随机变量的数学期望第188页/共264页下面计算一些离散型分布的期望值。1)(0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为P(X=1)=

32、p,P(X=0)=1-p,0p1X的数学期望为 EX=1p+0(1-p)=p第189页/共264页第190页/共264页第191页/共264页第192页/共264页第193页/共264页连续型随机变量的数学期望：设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有第194页/共264页第195页/共264页下面计算常用连续型变量的数学期望：则它恰是区间a,b的中点。第196页/共264页第197页/共264页第198页/共264页 因此柯西分布的数学期望不存在.第199页/共264页练习 求伽玛分布的数学期望。第200页/共264页随机变量函数的数学期望公式:第201页/共264

33、页练习 Xe(),求E(e-sX)第202页/共264页第203页/共264页练习：求EY第204页/共264页例6 设X,Y相互独立同服从N(0,1),求EmaxX,Y第205页/共264页均值的性质:(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设X,Y相互独立,则 E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式)第206页/共264页例1.二项分布的均值的计算:设Xb(n,p),X表示n次独立重复试验中A发生的次数，引入Xi(i=1,2,n),第207页/共264页例2 将n个编号为1-n的球随机

34、放入编号为1-n的n个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹配。X表示匹配数，求EX.第208页/共264页2.方差 第209页/共264页若X为离散型随机变量第210页/共264页方差的计算公式:第211页/共264页1.X服从(0-1)分布,则EX=0(1-p)+1p=p,故 D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差第212页/共264页第213页/共264页第214页/共264页第215页/共264页第216页/共264页第217页/共264页2.求伽玛分布的方差练习：1.求几何分布g(p)的方差第218页/

35、共264页方差的性质:1 C是常数,D(C)=0;2 D(CX)=C2D(X);3 X,Y相互独立,则有 D(XY)=D(X)+D(Y);4 D(X)=0PX=C=1.第219页/共264页第220页/共264页例1 设XB(n,p),分解X求其方差DX.第221页/共264页第222页/共264页第223页/共264页切比雪夫不等式:第224页/共264页练习 XB(100,1/2),估计P(40X60)第225页/共264页3.协方差和相关系数第226页/共264页展开可得:Cov(X,Y)=EX-EXY-EY =E(XY)-E(X)E(Y).于是 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(

36、X,Y).第227页/共264页例1.求X,Y的协方差第228页/共264页第229页/共264页 协方差的性质:1 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2 Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);3 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);6|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);5 若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX;第230页/共264页第231页/共264页由性质(6)|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y)可得.第232页/共264页例1(续)：求相关系数第233页/共264页第234页/共264页第

37、235页/共264页4.矩、协方差矩阵(1)若E(Xk),k=1,2,存在,则称为X的k阶原点矩.(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X的 k阶中心矩.(3)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.一、矩第237页/共264页协方差阵的性质：对称性、正定性等。第239页/共264页三.n维正态分布:第240页/共264页第241页/共264页2.性质:(1)n维r.v.(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,Xn的任一线性组合l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布.“分布自由”定义法第242页/共2

38、64页(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的线性函数,则(Y1,Y2,Yn)也服从多维正态分布.正态分布线性变换的不变性第243页/共264页(3)若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,Xn相互独立”与“X1,X2,Xn两两不相关”是等价的.第244页/共264页练习：轮盘赌中轮盘上有37个数字0-36.0是绿色，其他数字红黑相间。在单个数字上的赔率为1:35.若出现数字0，则赌场吃掉一半赌金。求下注人一次平均收益EX.第245页/共264页练习1某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别有80件，10件，10件，从中任取一件，记

39、求（1）X1与X2的联合分布律（2）X1与X2的相关系数。2 将n个编号为1-n的n个球随机放入m个盒子中去(盒子容量不限)，X表示有球的盒子数，求EX第246页/共264页第247页/共264页作业：9 11 13 20 22 25 34 35 38 43 第248页/共264页第五章 大数定律及中心极限定理1.大数定律 一.问题的提出:1.当n足够大时,频率 是否收敛到相应的概率p，即第249页/共264页第250页/共264页一 切比雪夫大数定律:设X1,X2,Xn,是相互独立随机变量序列,第252页/共264页特殊情况 设X1,X2,Xn,相互独立,且同分布第253页/共264页二.贝

40、努利大数定律:设nA是n次独立重复试验中A发生的次数,p=P(A),则贝努利大数定律:频率nA/n收敛到概率p.第254页/共264页三.辛钦大数定律:设X1,X2,Xn,独立同分布,且具期望注：对方差不做要求。第255页/共264页2.中心极限定理 一.问题提出:对于独立随机变量序列X1,X2,Xn,假定EXi,DXi存在,令第256页/共264页一.独立同分布的中心极限定理:设 Xk(k=1,2,)相互独立,服从同一分布且第257页/共264页第258页/共264页练习：某种电子元件40个，其寿命服从参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次工作,求总工作时间不足380小时的概率。第2

41、59页/共264页二.德莫佛-拉普拉斯定理:第260页/共264页例2 有800台电话分机，独立使用，每台话机约有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外线才能90%以上的保证各分机用外线不必等候。解：设X为需用外线的台数，XB(800,0.05).即求最小的N,使得*投掷硬币问题第261页/共264页练习：在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保费,在一年内一个人死亡的概率为0.0004,死亡者其家属可向保险公司领得20000元赔偿费.求：保险公司亏损的概率为多大？作业：1 4 6 8第262页/共264页练习:1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9?(147147个个)2.一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠度为0.95?(25(25个个)3.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？(79(79条条)第263页/共264页感谢您的观看！第264页/共264页