第六章方差分析.pptx

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1、方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA)又叫变量分析，是英国著名统计学家又叫变量分析，是英国著名统计学家R.A.FisherR.A.Fisher于于2020世纪提出的。它是世纪提出的。它是用以检验用以检验两个或多个均数间两个或多个均数间两个或多个均数间两个或多个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。方差分析的定义方差分析的定义方差分析的定义方差分析的定义第1页/共212页方差分析的方差分析的基本功能基本功能对

2、多组样本平均数差异的显著性进行对多组样本平均数差异的显著性进行检验检验第2页/共212页t t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。有人说，我们可以把多组数据化成有人说，我们可以把多组数据化成n n个两组数据（化整个两组数据（化整为零），用为零），用n n次次t t检验来完成这个多组数据差异显著性的判检验来完成这个多组数据差异显著性的判断。断。第3页/共212页对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用对多个处理进行

3、平均数差异显著性检验时，采用t t检验法的缺点：检验法的缺点：1.1.检验过程烦琐。检验过程烦琐。试验包含个处理试验包含个处理t t 检验：检验：C C4 42 2 6 6次次缺缺 点点第4页/共212页缺缺 点点2.2.无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。灵敏性低。t t检验：检验：C C4 42 2 6 6次次需计算需计算 6 6个标准误个标准误误差估计不统一误差估计不统一误差估计精确性降低误差估计精确性降低第5页/共212页缺缺 点点3.3.推断的可靠性低，检验时犯推断的可靠性低，检验时犯错误概率大。错误概率大。t t检验：检验：

4、C C4 42 2 6 6次次H H0 0的概率：的概率：1-1-0.950.956 6次检验次检验相互独立相互独立6 6次都接受的概率次都接受的概率(0.95)(0.95)6 60.7350.735犯犯错误的概率错误的概率1-0.7351-0.7350.2650.265犯犯错误的概率明显增加错误的概率明显增加例如我们用例如我们用t t检验的方法检验检验的方法检验4 4个样本平均数之间的差异显著性个样本平均数之间的差异显著性第6页/共212页试验指标（experimental index）：为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的试验指标有：

5、身高、体重、日增重、酶活性、DNA含量等等。试验因素（experimental factor）：试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。第7页/共212页因素水平（level of factor）:试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个水平。试验处理（treatment）:事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上的具体项目就是具

6、体饲喂哪一种饲料。第8页/共212页试验单位（experimental unit）:在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。重复（repetition）:在实验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理（饲料）有4个重复。第9页/共212页第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理二、数学模型二、数学模型一、方差分析的基本思想、目的和用途一、方差分析的基本思想、目的和用途三、平方和与三、平方和与df的分解的分解四、统计

7、假设的显著性检验四、统计假设的显著性检验 五、多重比较五、多重比较第10页/共212页观观测测值值不不同同的的原原因因处理效应处理效应(treatment effect)：处理不同引起处理不同引起试验误差：试验过程中偶然性试验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致。因素的干扰和测量误差所致。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。第11页/共212页方差分析的基本思想方差分析的基本思想总变异处处理理效效应应试试验验误误差差第12页/共2

8、12页方差分析的目的方差分析的目的确定各种原因在总变异中所占的重要程度。确定各种原因在总变异中所占的重要程度。处理效应处理效应试验误差试验误差相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差较大，即处理效应比试验误差大得多，相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。说明试验处理影响是很大的，不可忽视。第13页/共212页方差分析的用途方差分析的用途1.1.用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2.2.分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用3.3.回归方程的假设检验回归方程的假设检验4.4.方差的同质性检验方差的

9、同质性检验1.1.用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2.2.分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用第14页/共212页二、数学模型二、数学模型假定有假定有k k组观测数据，每组有组观测数据，每组有n n个观测值，则共有个观测值，则共有nknk个观测值个观测值平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2x xij ijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21 处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 第15页/共212页用线性模型用线性模型(linear model)(linear model)来描述

10、每一观测值：来描述每一观测值：xij=+i+ij(i=1,2,3(i=1,2,3,k j=1,2,3,k j=1,2,3,n),n)总体平均数总体平均数i 处理效应处理效应ij 试验误差试验误差xij 是在第是在第 i 次处理下的第次处理下的第 j 次观测值次观测值要求要求ij 是相互独立的，且服从标准正态是相互独立的，且服从标准正态分布分布 N(0,2)二、数学模型二、数学模型第16页/共212页对于由样本估计的线性模型为对于由样本估计的线性模型为：xij=x+ti+eijx 样本平均数样本平均数ti 样本处理效应样本处理效应eij 试验误差试验误差二、数学模型二、数学模型xij=+i+ij

11、 第17页/共212页根据的根据的i i不同假定，可将数学模型分为以下三种不同假定，可将数学模型分为以下三种：固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型二、数学模型二、数学模型第18页/共212页(一一)固定模型固定模型(fixed model)(fixed model)指各个处理的效应值指各个处理的效应值i i 是固定值是固定值，各个的平均效应，各个的平均效应i i i i 是一个常量，且是一个常量，且i i 0 0。就是说除去随机误差以后每个处理所产生的效。就是说除去随机误差以后每个处理所产生的效应是固定的。应是固定的。二、数学模型二、数学模型实验因素的各水平是根据试验目的事先主观选

12、定的而不是随机选定的。第19页/共212页不同离子对木聚糖酶活性的影响不同离子对木聚糖酶活性的影响(mg/ml)(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.80.80 01.201.602.000.000.400.600.801.001.20固定模型固定模型Na+K+Cu2+Mn2+二、数学模型二、数学模型第20页/共212页在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理所产生的效应是固定的，试在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相同的结果验重复时会得到相同的结果方差分析所

13、得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将其结论扩方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平上。展到未加考虑的其它水平上。固定模型固定模型二、数学模型二、数学模型第21页/共212页(二二)随机模型随机模型(random model)(random model)指各处理的效应值指各处理的效应值i i 不是固定的数值，而是由随机因素所引起的效应。不是固定的数值，而是由随机因素所引起的效应。这里这里i i 是一个随机变量，是从期望均值为是一个随机变量，是从期望均值为 0 0，方，方差为差为2 2 的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结的标准正态总体中得

14、到的随机变量。得出的结论可以推广到多个随机因素的所有水平上。论可以推广到多个随机因素的所有水平上。二、数学模型二、数学模型第22页/共212页随机模型随机模型美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况气候、水肥、土壤气候、水肥、土壤无法人为控制无法人为控制河南河南北京北京广州广州江苏江苏新疆新疆二、数学模型二、数学模型如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所属如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所属总体作出推断就属于随机模型。总体作出推断就属于随机模型。第23页/共212页随机模型随机模型在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的效应并不是固定的，试验

15、重在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相同的结果复时也很难得到相同的结果方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上二、数学模型二、数学模型第24页/共212页固定模型与随机模型的比较固定模型与随机模型的比较1.1.两者在两者在设计思想和统计推断设计思想和统计推断设计思想和统计推断设计思想和统计推断上有明显不同，因此进行上有明显不同，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与dfdf的分的分解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的解公式

16、没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数统计数统计数统计数是不同的。是不同的。2.2.模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一样，固定模型主要侧重于一样，固定模型主要侧重于效应值效应值效应值效应值的估计和比较，而随的估计和比较，而随机模型则侧重效应机模型则侧重效应方差方差方差方差的估计和检验的估计和检验3.3.对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别二、数学模型二、数学模型第25页/共212页(三三)混合模型混合模型(mixed model)(mixed model)指多因素试验中既有固定因素又有

17、随机因素时所用的模型指多因素试验中既有固定因素又有随机因素时所用的模型在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少对较少二、数学模型二、数学模型第26页/共212页方差是离均差平方和除以自由度的商方差是离均差平方和除以自由度的商2(x-)2 N(x-x)2 s2 2=n-1要把一个试验的总变异依据要把一个试验的总变异依据变异来源变异来源变异来源变异来源分为相应的变异，首先要将总平方和分为相应的变异，首先要将总平方和和总和总dfdf分解为各个变异来源的的相应部分。分解为各个变异来源的的相应部分。方差分析的方差分析的基本思想基本思想

18、基本思想基本思想引起观测值出现变异分解为处引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。理效应的变异和试验误差的变异。第27页/共212页平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 处理间平均数的处理间平均数的差异是由处理效差异是由处理效应引起的：应引起的：处理内的变异是处理内的变异是由随机误差引起：由随机误差引起：平平方方和和(x-xi)(xi x)第28页/共212页根据线性可加模型，则有：根据线性可加模型，则有：平平方方

19、和和(xi x)(x-x)(x-xi)+(x-x)2 2(x-xi)+(xi x)(xi x)2(x-x)2 1 n 1 n(x-xi)2+(x-xi)(xi x)21 n+1 n 每一个处理每一个处理n n 个观测值离均差平方和累加：个观测值离均差平方和累加：(x-xi)2+2(x-xi)(xi x)+(xi x)2 0第29页/共212页平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk(xi x)0(x-xi)21 n 第30页/共212

20、页(xi x)(x-xi)由于由于 0，则：，则：21 n(x-x)2 (xi x)2(x-xi)2 n n 11+1 n(xi x)2(x-xi)2(x-x)2 1 n 1 k 1 n 1 k+n1 k 总平方和总平方和 SST 处理内或组处理内或组内平方和内平方和 SSe处理间或组处理间或组间平方和间平方和 SSt平平方方和和把把k k 个处理的离均差平方在累加，得个处理的离均差平方在累加，得第31页/共212页平平方方和和总平方和处理间平方和总平方和处理间平方和 +处理内平方和处理内平方和SST SSt+SSeSST (x-x)21 n 1 k=x2-T2 kn(x)2 kn x2-SS

21、T x2-C令矫正数令矫正数C ，则：则：T2 kn第32页/共212页平平方方和和SSt n1 k(xi x)2 k n(-2 +)1x xi i2 2 x xi ixx2=n n -+nknk1 k x xi i2 2 2n 1 k xx xi ix2=-2nk +n1 k x xi i2 2 x2 nkxnkx2 2 =-n1 k x xi i2 2 nkxnkx2 2 =-n n1 k T Ti i2 2 n2 nkT T2 2(nk)2=T Ti i2 2 -Cn11 k x xi i=kxx xi i=T Ti in n=T Tnknkx第33页/共212页总平方和：总平方和：SS

22、T x2-C 处理间平方和：处理间平方和：SSt=T Ti i2 2 -Cn1处理内平方和：处理内平方和：SSe=SST -SSt平平方方和和第34页/共212页自自由由度度总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：dfT=dft+dfe总总 df处理间处理间df处理内处理内df第35页/共212页自由度自由度dfT=nk-1nk-1dft=k-1k-1dfe=dfT-dft=nk-1-(k-1)=nk-k=k(n-1)平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x

23、12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 第36页/共212页根据各变异部分的平方和和自由度，可求得根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差处理间方差（st2）和和处处理内方差理内方差（se2 ）：）：st2=SStdftSSedfese2=第37页/共212页平方和平方和自由度自由度方差方差处理间处理间处理内处理内总变异总变异第38页/共212页某猪场对某猪场对4 4个不同品种幼猪进行个不同品种幼猪进行4 4个月增重量的测个月增重量的测定，每个品种选择体重接近的幼猪定，每个品种选择体重接近的幼猪4 4头，测定结果列于头，测定结果列于下表，试进行方差

24、分析。下表，试进行方差分析。=27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6T Ti i27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234沈花沈花沈黑沈黑沈白沈白大白大白品品 种种重重复复x xi ixk=4，n=4，nk=16第39页/共212页例例 =27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6T Ti i27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924

25、.031.835.91234沈花沈黑沈白大白 品 种重复x xi ix4个不同品种猪个不同品种猪4个月的增重量个月的增重量(kg)(1)平方和的计算：平方和的计算：T2 knC434.42 1611793.96SST x2-C 31.92+24.02+24.62-C213.3SSt=T Ti i2 2 -Cn11/4(123.62+103.22+111.42)-C103.94SSe SST-SSt=213.3-103.94=109.36第40页/共212页例例(2)自由度的计算：自由度的计算：dfdfT T nk-1 nk-1=16-1=15=16-1=15dfdft t=k-1 k-1=4-

26、1=3=4-1=3dfdfe e=k(n-1)k(n-1)=43=12=43=12(3)方差计算：方差计算：st2=SStdft103.942 334.64734.647SSedfese2=109.362 129.113第41页/共212页四、统计假设的显著性检验四、统计假设的显著性检验 F F 检验检验第42页/共212页确定各种原因（确定各种原因（处理效应处理效应处理效应处理效应、试验误差试验误差试验误差试验误差）在总变异中所占的重要程度。）在总变异中所占的重要程度。处理间处理间处理间处理间的方差（的方差（s st t2 2）可以作为）可以作为处理效应处理效应处理效应处理效应方差的估计方差

27、的估计量量处理内处理内处理内处理内的方差（的方差（s se e2 2）可以作为）可以作为试验误差试验误差试验误差试验误差差异的估计差异的估计量量处理效应处理效应试验误差试验误差方差分析的目的方差分析的目的:第43页/共212页二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。响不大。如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处说明试验处理的变异在总变

28、异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。理对结果的影响很大，不可忽视。处理效应处理效应试验误差试验误差第44页/共212页F检验检验 从第三章我们已经知道，从一正态总体（从第三章我们已经知道，从一正态总体（,2 2 ）中）中随机抽取两个样本，其样本方差随机抽取两个样本，其样本方差s s1 12 2 与与s s2 22 2 的比值为的比值为F F ：Fs12 s22 其其F F 分布曲线随着分布曲线随着dfdf1 1 和和dfdf2 2 的变化而变化。由于的变化而变化。由于F F 值值表是一尾的（表是一尾的（F F值的区间值的区间0 0，+)+)），一般将大方差作），一般将大方差

29、作分子，小方差作分母，使分子，小方差作分母，使F F 值大于值大于1 1，因此，表上，因此，表上dfdf1 1 的代的代表大方差自由度，表大方差自由度，dfdf2 2 代表小方差自由度。代表小方差自由度。第45页/共212页用处理效应的方差用处理效应的方差（s st t2 2）和实验误差的方差和实验误差的方差（s se e2 2）比较时，我们所做的比较时，我们所做的无效假设无效假设是是假设假设假设假设处理效应处理效应的变量的变量和和实验误差实验误差的变量是来自同一正态总体的两个样本，因的变量是来自同一正态总体的两个样本，因此处理效应的方差此处理效应的方差（s st t2 2）和实验误差的方差和

30、实验误差的方差（s se e2 2）的的比值就是比值就是F F 值，即值，即处理效应处理效应试验误差试验误差=方差分析方差分析第46页/共212页F检验检验 在进行不同处理差异显著性的在进行不同处理差异显著性的F F 检验时，一般是把检验时，一般是把处处处处理间方差理间方差理间方差理间方差作为分子，称为大方差，作为分子，称为大方差，误差方差误差方差误差方差误差方差作为分母，称作为分母，称为小方差。为小方差。无效假设是把各个处理的变量无效假设是把各个处理的变量假设假设假设假设来自同一总体，即来自同一总体，即处理间方差处理间方差不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应，只有误差的影

31、响，因而处理，只有误差的影响，因而处理间的样本方差间的样本方差t t2 2 与误差的样本方差与误差的样本方差e e2 2 相等：相等：Ho：t2 e2HA：t2 e2第47页/共212页st2无论无效假设是否为真，无论无效假设是否为真，s se e2 2 均为总体方差均为总体方差2 2的估计。的估计。se2只有无效假设为真时，只有无效假设为真时，s st t2 2(=(=s se e2 2)才是总体方差才是总体方差2 2 的估计；当无效的估计；当无效假设不真时，将假设不真时，将s st t2 2(s se e2 2 )是一个比是一个比2 2 更大的估计值。更大的估计值。第48页/共212页F检

32、验检验与与t t 检验相类似，检验相类似，F F 检验是把计算所得检验是把计算所得的的F F 值与临界值与临界F F值比较，判断由误差造成的值比较，判断由误差造成的概率大小，最后作出统计推断。概率大小，最后作出统计推断。无效假设是否成立，要看计算的无效假设是否成立，要看计算的F F 值在值在F F 分布中出现的概率。分布中出现的概率。第49页/共212页F F0.05 P0.05 处理间差异不显著处理间差异不显著F F0.05 P0.05 处理间差异显著处理间差异显著F F0.01 P0.01 处理间差异极显著处理间差异极显著否定否定H Ho o否定否定H Ho o接受接受H Ho o 我们确

33、定显著标准水平我们确定显著标准水平后，从后，从F F 值表中查出在值表中查出在dfdft t和和dfdfe e下的下的F F值值第50页/共212页综上所述，可归纳成方差分析表综上所述，可归纳成方差分析表(analysis of(analysis of variance table)variance table)s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内nk-1nk-1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2F检验检验第51

34、页/共212页上例中，上例中，4个不同品种猪增重的个不同品种猪增重的F值为：值为：Fst2 se2 34.647 9.113 3.802dfdft t 3 dfdfe e 12，查查F值表得值表得F0.05 3.49，F0.015.95品种间猪的增重量差异是显著的品种间猪的增重量差异是显著的例例F0.01F F0.050.01P FF F0.01 0.01，P 0.01P LSDLSD0.010.01，说明两地间差异极显著，标说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；以不同的大写字母；LSDLSD0.010.01 各组间差数各组间差数 LSDLSD0.05 0.05，说明两地间差异显著，说明两

35、地间差异显著，标以不同的小写字母；标以不同的小写字母；第98页/共212页地区地区平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州31.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.85a ab bbcbcc cd dA AB BBCBCCDCDD D结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北安徽与贵

36、州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。与安徽差异不显著。第99页/共212页根据组内观测次数目不同根据组内观测次数目不同组内观测次数相组内观测次数相等的方差分析等的方差分析组内观测次数不组内观测次数不相等的方差分析相等的方差分析第100页/共212页 有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k k个处理的观测次数依次是个处理的观测次数依次是n n1 1 、n n2 2 、n nk k的单因素分组资料，的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不

37、是nknk，而是，而是 次，在计算平方和时公式稍有改变。次，在计算平方和时公式稍有改变。组内观测次数不相等的方差分析组内观测次数不相等的方差分析se2ni-1 SSe误差或处理内误差或处理内SST总和总和st2k-1处理间处理间F方差方差自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源Fst2se2ni-k 第101页/共212页在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各于各组内观测次数不等，因此应需先算得各n ni i的平均数的平均数n n0 0：各个处理的样本容量用于LSR检验用于LSD检验第102页/共212页用

38、某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（整粒小麦（I I），切去一半胚乳（），切去一半胚乳（IIII），切去全部胚乳），切去全部胚乳（IIIIII），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。行方差分析。处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424

39、414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g g）第103页/共212页处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g）n1 8，n2 10，n3 6，N24(1)平方和的计算平方和的计算第104页/共212页SST x2 C=212+292+262-C=230.5SSe SST-SSt 230.5-6.8223.7(2)自由度的计算自由度的计算第1

40、05页/共212页(3)列方差分析表列方差分析表变异来源变异来源SSdfs2F处理间处理间处理内处理内6.8233.72213.410.70.318总变异总变异230.523由表中结果可知，由表中结果可知，F F1 1，表明三种处理的每株粒重无，表明三种处理的每株粒重无显著差异。显著差异。第106页/共212页 由于由于F检验不显著，不需要再作多重比较。如果检验不显著，不需要再作多重比较。如果F检验检验显著，则需要进一步计算显著，则需要进一步计算n0，并求得，并求得 （用于（用于LSR检验）检验）或或 （用于（用于LSD检验），即检验），即x x1 1x x2 2-Sx xS第107页/共21

41、2页 需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。第108页/共212页 需要指出的是，不等观测次需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。也降低了分析的灵敏度。第109页/共212页在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况每一观测值都是某一特定温度与光照条件

42、共同作用的结果。每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。温度光照B1B2BcA1A1 B1A1B2A1 BcA2A2 B1A2B2A2 BcArAr B1ArB2Ar Bc第110页/共212页第三节第三节二因素方差分析二因素方差分析第111页/共212页试验指试验指标标因因 素素水水 平平处处 理理效效 应应一、相关概念一、相关概念第112页/共212页一、相关概念一、相关概念试验指标：衡量试验结果的标准试验指标：衡量试验结果的标准猪的日增重猪的日增重小麦产量小麦产量酶的活性酶的活性试验指标试验指标第113页/共212页因素因素(factor)(factor)：也叫因子，是指对试

43、验指标有影响，在研究：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验条件。中加以（控制）考虑的试验条件。可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子 浓度、温度等浓度、温度等非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等）非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等）固定因素：指因素的水平是经过特意选择的固定因素：指因素的水平是经过特意选择的随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随 机抽出的样本机抽出的样本因素因素一、相关概念一、相关概念第114页/共212页不同离子不同离子对木聚糖对木聚糖酶活性

44、酶活性的影响的影响(mg/ml)(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.80.80 01.201.602.000.000.400.600.801.001.20Na+K+Cu2+Mn2+实验指标实验指标因素因素第115页/共212页水平水平(level)(level)：每个因素的不同状态（从质或量方：每个因素的不同状态（从质或量方 面分成不同的等级）面分成不同的等级）因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念水平水平一、相关概念一、相关概念第116页/共

45、212页不同离子不同离子对木聚糖对木聚糖酶活性酶活性的影响的影响(mg/ml)(mg/ml)0.000.250.500.751.001.250.000.060.120.180.240.300.000.400.80.80 01.201.602.000.000.400.600.801.001.20Na+K+Cu2+Mn2+水水平平第117页/共212页处处 理理处理：指对试验对象施以不同的措施处理：指对试验对象施以不同的措施饲料种类饲料种类鱼增重（鱼增重（3个重复）个重复）ABCD31.9 27.9 31.824.8 25.7 26.822.1 23.6 27.327.0 30.8 29.0 对对

46、单因素试验单因素试验而言，水而言，水平和处理是一致的，一平和处理是一致的，一个水平就是一个处理个水平就是一个处理4 4种不同配合饲料对鱼的饲养效果种不同配合饲料对鱼的饲养效果一、相关概念一、相关概念第118页/共212页处处 理理饲料中能量与蛋白质的水平组合饲料中能量与蛋白质的水平组合 protein 能量高高低低高高低低高高 高高低低 高高高高 低低低低 低低对对多因素试验多因素试验而言，而言，处理就是指水平与水处理就是指水平与水平的组合平的组合一、相关概念一、相关概念第119页/共212页固定效应固定效应(fixed effect)：由固定因：由固定因素所引起的效应。素所引起的效应。随机效

47、应随机效应(random effect)：由随：由随机因素引起的效应。机因素引起的效应。一、相关概念一、相关概念效应效应第120页/共212页定义：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差定义：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。分析。固定模型固定模型二因素都是固定因素二因素都是固定因素随机模型随机模型二因素均为随机因素二因素均为随机因素混合模型混合模型一个因素是固定因素，一个因素是固定因素，一个因素是随机因素一个因素是随机因素二因素方差分析二因素方差分析第121页/共212页主效和互作主效和互作主效应主效应（main effectmain effect）

48、：各试验因素的相对独立作用各试验因素的相对独立作用互作互作（interactioninteraction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。同。第122页/共212页因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。有时也可根据专业知识判断。如果交互作用如果交互作用显著显著，则各因素的效应就，则各因素的效应就不能累加不能累加，最优，最优处理组合的选定应根据处理组合的选定应根据各

49、处理组合的直接表现选定各处理组合的直接表现选定。有时交。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。互作用相当大，甚至可以忽略主效应。如果交互作用如果交互作用不显著不显著，则各因素的效应可以，则各因素的效应可以累加累加，各因，各因素的素的最优水平组合起来最优水平组合起来，即为最优的处理组合。，即为最优的处理组合。第123页/共212页二因素方差分析二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析第124页/共212页依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每

50、个处理可只依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定设一个观测值，即假定A A因素有因素有a a各水平，各水平，B B因素有因素有b b个水平，每个处理个水平，每个处理组合只有一个观测值。组合只有一个观测值。无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析第125页/共212页因素因素A A因素因素B B总和总和T Ti i.平均数平均数B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1111x x1212x x1b1bT T1 1.A A2 2x x2121x x2222x x2b2bT T2 2.A Aa ax xa1a1x xa2a2x x