高等数学-第九章-多元函数微分法及其应用.ppt

《高等数学-第九章-多元函数微分法及其应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学-第九章-多元函数微分法及其应用.ppt（270页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 多元微积分的概念、理论、方法是一元微多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。解，融会贯通。多元函数微分学多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，在上册中，我们讨论的是一元函数

2、微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数函数多元函数，也提出了多元微积分问题。多元函数，也提出了多元微积分问题。重点重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。应用，多元函数极值。难点难点复合函数求导，多元函数极值。复合函数求导，多元函数极值。函数的微分法从一元函数发展到函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，从二元函数

3、到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。因此这里基本上只讨论二元函数。掌握多元函数基本概念，会表示定义域，掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续了解二元极限、连续深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，阶和高阶偏导数，掌握全微分概念掌握全微分概念会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，方法，会求曲线的切线、法平面，曲面的切平会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，面和法线，会求多元函数极值会求多元函数极值基本要求基本要求（1）邻域）邻域（2）区域）区域一、多元函数的概念一、

4、多元函数的概念例如，例如，即为开集即为开集例如，例如，例如，例如，连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域（3）聚点）聚点说明：说明：说明：说明：内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间说明：说明：说明：说明：n维空间的记号为维空间的记号为 n维空

5、间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念邻域：邻域：内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义设两点为设两点为（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为（6）二元函数二元函数 的图形的图形（如右图）（如右图）二元函数的图形通二元函数的图形通常是一张曲面常是一张曲面.二、多元函数的极限二、多元函数的极限（1

6、）定义中）定义中 的方式可能是多种多样的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。于同一常数。这是产生本质差异的根本原这是产生本质差异的根本原因。因。（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、如局部有界性、局部保号性、夹逼准则

7、、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。以巩固和加深理解。说明：说明：证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：利用点函数的形式有利用点函数的形式有例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性解解取取当当 时时故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例6

8、 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得上取得介于这两值之间

9、的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续

10、函数的性质闭区域上连续函数的性质四、小结四、小结思考题思考题不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它的自变量不止一个，但实际问题常常要求在

11、其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。下定义。一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求导求导求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这

12、仍然是一元函数求导问题如如 在在 处处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；计算计算 f x (x0 ,y0)时可先将时可先将 y=y0 代入代入 f(x,y)再对再对 x 求导然后代入求导然后代入 x=x0 计算计算 f y (x0 ,y0 )时同理时同理解解3、4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，

13、其余均视为常求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是重要的是区分清函数的类型区分清函数的类型这是出错的主要原因。这是出错的主要原因。5、若若 f(x,y)=f(y,x)则称则称 f(x,y)关于关于 x,y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时只需将所求的只需将所求的 中的中的 x,y 互换即可互换即可6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏

14、导数存在偏导数存在 连续连续.7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:二、高阶偏导数二、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？解解三、小结三、小结偏导数的定义偏导

15、数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,练练 习习 题题练习题答案练习题答案全全 微微 分分一、全微分的定义一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念全微分的定义全微分的定义事实上事实上二、可微的条件二、可微的条件证证总成立总成立,同理可得同理可得一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多

16、元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如则则当当 时时说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加叠加叠加原理原理原理原理全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况解解所求全微分所

17、求全微分解解解解所求全微分所求全微分证证令令则则同理同理不存在不存在.多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导三、小结三、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）思考题思考题练练 习习 题题练习题答案练习题答案复合函数求导法则复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则先回忆一下一元复合函数的微分法则则复合函数则复合函数

18、对对 x 的导数为的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是

19、对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。一、链式法则一、链式法则证证上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函

20、数的情况：链式法则如图示链式法则如图示称为标准法则或称为标准法则或 这个公式的特征：这个公式的特征：函数函数有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式；两个公式；由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有项分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言

21、之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”特殊地特殊地其中其中即即令令两者的区别两者的区别区区别别类类似似注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形意多个自变量的情形如如则则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关变量的个数无关关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求阶偏导数

22、，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式公式用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量，以为中间变量，

23、以 x,y 为自变量为自变量的复合函数的复合函数因此求它们关于因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具具有相同结构的复合函数易被误认为仅是有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的的函数，从而导致漏掉函数，从而导致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导内层函数可导

24、 的合并问题的合并问题视题设条件视题设条件解解解解例例3 设设均满足复合函数求偏导数的条件均满足复合函数求偏导数的条件 计算计算（两重复合问题）（两重复合问题）解解由链式法则由链式法则故故同理可得同理可得解解令令记记同理有同理有于是于是二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以过程中，不论变量间的关系如何错

25、综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错从而为解题带来很多方便，而且也不易出错例例5 设设各函数满足求导条件各函数满足求导条件求求解一解一 变量间的关系如下图所示变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较混乱这里变量间的关系比较混乱用全微分来解用全微分来解由全微分定理由全微分定理注意到注意到 x,z 是独立自变量是独立自变量 解二解二由全微分定义由全微分定义注注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错解法二在实际计算中

26、显得十分灵便且不易出错故故 三、小结三、小结1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（理解其实质）（理解其实质）思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形解解令令则则解解令令则则解解令令则则思路：思路：解解令令则则整理得整理得整理得整理得整理得整理得二、方程组的情形二、方程组的情形1、对于方程组、对于方程组 怎样求偏导数怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数首先应明确这个方程组

27、确定了几个几元隐函数当当 x 给定以后相当于解含关于给定以后相当于解含关于 y,z 的方程组的方程组如果有解且唯一则对于不同的如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了就完全确定了y,z 故方程组确定了两个一元隐函数故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)若若 则则怎样求怎样求两边对两边对 x 求导求导 注意左边是复合函数（三个中间变量），注意左边是复合函数（三个中间变量），同理同理2、解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方

28、法得求导，用同样方法得注注这组公式不太好记，具体做题时应这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想用的是其基本思想关于隐函数求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以为例，为例，主要有三种方法：主要有三种方法：公式法公式法类似地可求得类似地可求得直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次解得：解得：两种方法相比，法二较简便，因为可避免两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。即可求得二阶偏

29、导数，使运算大为简化。则则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分三、小结三、小结隐函数的求导法则隐函数的求导法则（分以下几种情况）（分以下几种情况）思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面定义定义设设 M 是空间曲线是空间曲线 L 上的一个定点上的一个定点,M*是是 L 上的一个动点上的一个动点,当当M*沿曲线沿曲线 L 趋于趋于M

30、 时时,割线割线MM*的极限位置的极限位置 MT （如果极（如果极限存在）限存在）称为曲线称为曲线 L 在在 M 处的切线处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程下面我们来导出空间曲线的切线方程。设空间曲线的方程。设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.且且导数不同时为零导数不同时为零考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.解解切线方程

31、切线方程法平面方程法平面方程。空间曲线方程。空间曲线方程取取 x 为参数为参数法平面方程为法平面方程为。空间曲线方程。空间曲线方程切向量切向量切线方程切线方程法平面方程为法平面方程为所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线。设曲面方程为。设曲面方程为在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线曲线在曲线在M处的切向量处的切向量令令则则切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即。空间曲面方程形为。空间曲面方

32、程形为令令曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量其中其中解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，满足方程满足方程所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)例例6 在椭球面在椭球面 上求一点

33、，上求一点，使它的法线与坐标轴正向成等角使它的法线与坐标轴正向成等角解解令令则则注意到法线与坐标轴正向的夹角注意到法线与坐标轴正向的夹角相等相等故故解得解得所求的点为所求的点为的法线的方向向量为的法线的方向向量为 故椭球面上任一点故椭球面上任一点例例7设设 z=z(x,y)由方程由方程确定，确定，其中其中f(u,v)可微可微证明证明 z=z(x,y)表示锥面表示锥面 为曲面上一点为曲面上一点则连接则连接 PP0 的的直线的方程为直线的方程为证证得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以(a,b,c)为顶点的锥面。为顶点的锥面。曲面的切平面与法线曲面的切平面与法

34、线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）思考题思考题三、小结三、小结空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程练练 习习 题题练习题答案练习题答案方向导数与梯度方向导数与梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假

35、定板上任意一点处的温焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向导数的定义一、方向导数的定义 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？记为记为方向导数的几何意义方向导数的几何意义过直线过直线

36、作平行于作平行于 z 轴的平面轴的平面 与曲面与曲面 z=f(x,y)所交的曲线记为所交的曲线记为 C 表示表示C 的割线向量的割线向量 即即即即割线转化为切线割线转化为切线上式极限存在就意味着当点上式极限存在就意味着当点趋于点趋于点 曲线曲线C在点在点 P0 有唯一的切线有唯一的切线它关于它关于 方向的斜率方向的斜率就是方向导数就是方向导数LCM0TP0PMl证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数解解解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义解解

37、令令故故方向余弦为方向余弦为故故二、梯度的概念二、梯度的概念在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线等高线等高线的画法等高线的画法例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：此时此时 f(x,y)沿该法线方向的方向导数为沿该法线方向的方向导数为 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方数，这

38、个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。向。梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故例例5 求函数求函数沿曲线沿曲线在点在点处处的内法线方向的方向导数的内法线方向的方向导数解一解一用方向导数计算公式用方向导数计算公式即要求出从即要求出从 x 轴正向沿逆时针轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角转到内法线方向的转角在在两边对两边对x 求导求导解得解得（切

39、线斜率）（切线斜率）故法线斜率为故法线斜率为内法线方向的方向余弦为内法线方向的方向余弦为而由而由得得解二解二用梯度用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值值,即梯度是函数在这点增长最快的方向即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，从等高线的角度来看，f(x,y)在点在点 P 的梯度的梯度 方向与过点方向与过点P 的等高线的等高线 f(x,y)=C 在这点在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高

40、的等高线指向数值较高的等高线等高线为等高线为f(x,y)=C 即即椭圆椭圆大于椭圆大于椭圆因此因此在点在点处的内法线恰好是梯度方向处的内法线恰好是梯度方向故故三、小结三、小结1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义(1)(2)(3)

41、2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？解解3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f(x,y)在在D上连续，上连续，D内可微且在内可微且在D内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若

42、这时若 f(x,y)在在D内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是故一般方法是 在实际问题中，往往根据问题的性质就可在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处

43、的函数值就是函数在区域上的最大值定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）（最小值）解解如图如图,解解由由无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时

44、甚至是不可能的不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z=f(x,y)其几何意义是其几何意义是其中点其中点(x,y)在曲线在曲线 L 上上假定点假定点P(x0,y0)为条件极值点为条件极值点在在(x0,y0)的某个邻域内的某个邻域内 且不同时为且不同时为0f(x,y)可微可微确定了一个隐函数确定了一个隐函数y=y(x)故故 z=f x,y(x)在在P(x0,y0)处取得极值处取得极值故故即即又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知代入上式代入上式令令得得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为为条件极值

45、点的必要条件为xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.例例4求内接于椭球求内接于椭球 的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为则长方体的体积为V=8xyz令令解得解得或或两式相除两式相除同理同理即即代入解得代入解得三式相加得三式相加得解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 0且且u 在在D上连续，故必存在上连续，故必存在 最大值，且一定在最大值，

46、且一定在D内取得内取得另一方面另一方面由于由于 u 和和 lnu 在在D内有相同的极值点内有相同的极值点故问题转化为求故问题转化为求lnu 在条件在条件 x+y+z=m 下的极值。下的极值。令令则则与与 x+y+z=m 联立解得联立解得注注若一元函数若一元函数 f(u)在区间在区间 I 上严格单调增上严格单调增一般情形一般情形多元函数多元函数 g(P)在区域在区域D上有定义上有定义则则 f(u)与复合函数与复合函数 f g(P)有相同的极值点有相同的极值点利用这一结论可将求利用这一结论可将求f g(P)的驻点转化为的驻点转化为f(u)的驻点的驻点或相反地将求或相反地将求f(u)的驻点转化为求的

47、驻点转化为求f g(P)的驻点的驻点使问题简化使问题简化 转移大法转移大法四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课一、主要内容一、主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数概念多元函数概念多元函数多元函数的极限的极限极极 限限 运运 算算多元函数多元函数连续的概念连续的概念多元连续函数多元连续函数的性质的性质全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念方向导数方向导

48、数全微分全微分的应用的应用复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数的极值多元函数的极值1 1、多元函数的极限、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元）二元函数的极限运算法则与一元函数类似函数类似存在性存在性定义，夹逼定理定义，夹逼定理不存在不存在特殊路径、两种方式特殊路径、两种方式求法求法运算法则、定义验证、夹逼定理运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等消去致零因子、化成一元极

49、限等2 2、多元函数的连续性、多元函数的连续性3 3、偏导数概念、偏导数概念定义、求法定义、求法偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系高阶偏导数高阶偏导数纯偏导、混合偏导纯偏导、混合偏导4 4、全微分概念、全微分概念定义定义可微的必要条件可微的必要条件可微的充分条件可微的充分条件利用定义验证不可微利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导5 5、复合函数求导法则、复合函数求导法则“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”法则的推广法则的推广任意多个中间变量，任意多任意多个中间变量，任意多

50、 个自变量个自变量如何求二阶偏导数如何求二阶偏导数6 6、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.7 7、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法8 8、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线求直线、平面的方程求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲线：参数式，一般式给出